函数的插值法5v.ppt

北京科技大学数理学院卫宏儒weihr 计算方法 第7章插值法 插值法是函数逼近的重要方法之一 有着广泛的应用 在生产和实验中 函数f x 或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值 或其导数值 此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 x 或为各种离散数据建立连续模型 使其近似的代替f x 具体有很多种插值法 其中以拉格朗日 Lagrange 插值和牛顿 Newton 插值为代表的多项式插值最有特点 常用的插值还有Hermit插值 分段插值和样条插值 求近似函数的方法 由实验或测量的方法得到所求函数y f x 在互异点x0 x1 xn处的值y0 y1 yn 构造一个简单函数p x 作为函数y f x 的近似表达式y f x p x 使p x0 y0 p x1 y1 p xn yn a 这类问题称为插值问题 f x 称为被插值函数 p x 称为插值函数 x0 x1 xn称为插值节点 a 式称为插值条件 常用的插值函数是多项式 基本概念 估计f x 在区间 a b 中某点的值时 当属于包含结点的最小闭区间时 相应的插值称为内插 否则称为外插 在某一逼近函数类中选取的一组线性无关的函数 此时对应的插值函数为 由插值条件确定函数组称为插值基函数 最简单的插值函数是代数多项式Pn x a0 a1x anxn 1 这时插值问题变为 求n次多项式Pn x 使满足插值条件pn xi yi i 0 1 2 n 2 只要求出Pn x 的系数a0 a1 an即可 为此由插值条件 2 知Pn x 的系数满足下列n 1个代数方程构成的线性方程组a0 a1x0 anx0n y0a0 a1x1 anx1n y1 a0 a1xn anxnn yn 3 而ai i 0 1 2 n 的系数行列式是Vandermonde行列式 4 由于xi互异 所以 4 右端不为零 从而方程组 3 的解a0 a1 an存在且唯一 解出ai i 0 1 2 n Pn x 就可构造出来了 但遗憾的是方程组 3 是病态方程组 当阶数n越高时 病态越重 为此我们从另一途径来寻求获得Pn x 的方法 Lagrange插值和Newton插值 Lagrange插值 一 Lagrange插值多项式先从最简单的线性插值 n 1 开始 这时插值问题 2 就是求一次多项式L1 x a0 a1x使它满足条件L1 x0 y0 L1 x1 y1 令L1 x l0 x y0 l1 x y1 由于l0 x0 1 l0 x1 0 l1 x0 0 l1 x1 1 这样l0 x 含有因子x x1 令l0 x x x1 再利用l0 x0 1确定其中的系数 结果得到x x1l0 x x0 x1类似的可得到x x0l1 x x1 x0这样 5 l0 x l1 x 称为以x0 x1为节点的插值基函数 线性插值仅仅用两个节点以上的信息 精确度较差 为了提高精确度 我们进一步考察以下三点的插值问题 作二次多项式L2 x a0 a1x a2x2使其满足条件L2 x0 y0 L2 x1 y1 L2 x2 y2令L2 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 由l0 x0 1 l0 x1 0 l0 x2 0 l1 x0 0 l1 x1 1 l1 x2 0 l2 x0 0 l2 x1 0 l2 x2 1 这样l0 x 含有x x1 x x2两个因子 令l0 x x x1 x x2 利用l0 x0 1确定其中的系数 得 x x1 x x2 l0 x x0 x1 x0 x2 类似的可以得出l1 x l2 x x x0 x x2 x x0 x x1 l1 x l2 x x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 于是 x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 L2 x y0 y1 y2 6 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 l0 x l1 x l2 x 称为以x0 x1 x2为节点的插值基函数 仿照线性插值和二次插值的办法 进一步讨论一般形式的n次多项式Ln x a0 a1x a2x2 anxn 使其满足Pn x0 y0 Pn x1 y1 Pn xn yn 7 我们仍从构造插值基函数着手 先对某个固定的下标i 作n次多项式li x 使其满足条件 8 容易求得 x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn li x xi x0 xi x1 xi xi 1 xi xi 1 xi xn 9 公式 9 就是Lagrange插值多项式 li x 称为以x0 x1 xn为节点的Lagrange插值基函数 二 Lagrange插值的截断误差定理 设Ln x 是过点x0 x1 x2 xn的n次插值多项式 f n 1 x 在 a b 上存在 其中 a b 是包含点x0 x1 x2 xn的任一区间 则对任意给定的x a b 总存在一点 a b 依赖于x 使 10 其中 f n 1 是f x 的n 1阶微商在 的值 证明 记Rn x f x Ln x 显然Rn xi 0 i 0 1 n 故可设Rn x K x n 1 x 现在 a b 上任意固定一点x 引进辅助函数g t f t Ln t K x n 1 t 则g t 在 a b 上具有n阶连续导数 在 a b 内存在n 1阶导数 在t x0 x1 xn x诸点处皆等于零 即g t 在 a b 中有n 2个零点 由Rolle定理知g t 在 a b 中有n 1个零点 如此反复 最后可推知g n 1 t 在 a b 中有1个零点 即有g n 1 0 a b 因为 n 1 t 是n 1次多项式 n 1 n 1 t n 1 又因为Ln t 是次数为n的多项式 因此Ln n 1 t 0 这样 由 式便有由此得K x f n 1 n 1 代入Rn x K x n 1 x 定理得证 上式称为带余项的Lagrange插值公式 只要f x 具有n 1阶导数 就有上式成立 其余项为特别 当n 1时 取x0 a x1 b 则有令x1 x0 b a h x x0 th 0 t 1则易证 当0 t 1时 t 1 t 的最大值为1 4 应当指出 余项表达式只有在f x 的高阶导数存在时才能应用 在 a b 内的具体位置通常不可能给出 如果我们可以求出那么插值多项式pn x 逼近f x 的截断误差是 11 性质 假设x0 x1 xn是n 1个互异节点 函数f x 在这组节点的值f xk k 0 1 n 是给定的 那么存在唯一的n次次多项式pn x 满足pn xk f xk k 0 1 n 三 例题 已给sin0 32 0 314567 sin0 34 0 333487 sin0 36 0 352274 用线性插值及抛物插值计算sin0 3367的值并估计截断误差 解 由题意取x0 0 32 y0 0 314567 x1 0 34 y1 0 333487 x2 0 36 y2 0 352274 用线性插值及抛物插值计算 取x0 0 32及x1 0 34 又由公式得y1 y0sin0 3367 L1 0 3367 y0 0 3367 x0 x1 x00 01892 0 314567 0 0167 0 330365 0 02 其截断误差得其中 因f x sinx f x sinx 可取 于是 R1 0 3367 sin0 3367 L1 0 3367 1 2 0 3335 0 0167 0 0033 0 92 10 5 若取x1 0 34 x2 0 36为节点 则线性插值为 其截断误差为 其中于是用抛物插值计算sin0 3367时 可得 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样 这说明查表时用二次插值精度已相当高了 其截断误差得其中于是 例2 已测得某地大气压强随高度变化的一组数据 高度 m 0100300100015002000 压强 kgf m2 0 96890 93220 89690 85150 79840 7485试用二次插值法求1200米处的压强值 解 设x为高度 y为大气压强的值 选取 1000 0 8515 1500 0 7984 2000 0 7485 三点构造二次插值多项式 x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 p2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 代入已知的数值 得p2 1200 0 8515 1200 1500 1200 2000 1000 1500 1000 2000 0 7984 1200 1000 1200 2000 0 7485 1200 1000 1200 1500 2000 1000 2000 1500 300 800 0 8515 500 1000 200 800 0 7984 500 500 200 300 0 7485 500 1000 0 82980所以y 1200 p2 1200 0 82980 kgf m2 插值函数 插值节点n次插值基函数范德蒙 Vandermonde 行列式拉格朗日 Lagrange 插值多项式插值余项 由前讨论 需掌握 用代数多项式作为研究插值的工具 就是所谓的代数插值 对代数插值来说 问题的提法是这样的 当给出了n 1个点上的一张函数表后 要构造一个多项式p x 满足下面两个条件 1 p x 是一个不超过n次的多项式 2 在给定的点xi I 0 1 n 上与f xi 取相同值 即p xi yi I 0 1 n 我们称p x 为f x 的插值函数 点xi为插值节点 插值函数是计算方法的基本工具 若n次多项式li x i 0 1 n 在n 1个节点x0 x1 xn上满足条件就称这n 1个n次多项式l0 x l1 x ln x 为节点x0 x1 xn上的n次插值基函数 插值余项 若在 a b 上用pn x 近似f x 则截断误差为Rn x f x pn x 也称为插值多项式的余项 Vandermonde行列式 形如的插值多项式Ln x 称为拉格朗日 Lagrange 插值多项式 插值基函数性质 则有 Newton插值 拉格朗日插值多项式形式对称 计算较方便但由于p x 依赖于全部基点 若算出所有p x 后又需要增加基点 则必须重新计算 为了克服这个缺点 我们引进牛顿差商插值多项式 为了使Newton插值多项式具有承袭性 令插值函数具有下列形式 式中称为Newton插值基函数 为求出Nn x 利用插值条件 我们先给出差商概念 差商及其性质定义给定一个函数表记 一般的 f x 关于xi xi 1 xi k的k阶差商记作f xi xi 1 xi k 定理 差商具有如下性质 1 差商与函数值的关系为 2 差商的值与结点排列顺序无关 因此 每增加一个结点 Newton插值多项式只增加一项 克服了Lagrange插值的缺点 必须注意 n次代数插值问题的解是存在且唯一的 因此 Newton插值与Lagrange插值只是形式上不同 若将它们按x的幂展开 所得的多项式是完全一样的 插商表 例1 给定数据表f x lnx数据表xi2 202 402 602 803 00f xi 0 788460 875470 955511 029621 098611 构造差商表2 用二次Newton差商插值多项式 近似计算f 2 65 的值3 写出四次Newton差商插值多项式N4 x 解 差商表 N2 x 0 87547 0 40010 x 2 40 0 073875 x 2 40 x 2 60 f 2 65 N2 2 65 N4 x 0 78846 0 43505 x 2 20 0 087375 x 2 20 x 2 40 0 0225 x 2 20 x 2 40 x 2 60 0 00755 x 2 20 x 2 40 x 2 60 x 2 80 所以有 结论成立 余项为 数值微分 在实际问题中 往往会遇到某函数f x 是用表格表示的 用通常的导数定义无法求导 因此要寻求其他方法近似求导 插值法是我们找到的一个最简单的方法 因为用f x 的代数插值函数p x 来代替它 提醒我们用p x 的导数来代替f x 导数作近似计算 插值型求导公式 设pn x 是f x 的过点 x0 x1 x2 xn a b 的n次插值多项式 由Laglange插值余项知对任意给定的x a b 总存在如下关系式 若取数值微分公式 误差为 因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值 常用的数值微分公式是n 1 2 3的插值型微分公式 如 当n 1时 有 当n 2时 有 Hermite插值 一 问题描述二 定义三 定理四 构造函数五 例题六 一般插值 假设函数y f x 是在 a b 上有一定光滑性的函数 在xo xn处是n 1个异点 f x 在这些点上取值yo yn 求一个确定的函数p x 在上面n 1个点上满足p xi yii 0 1 n 这是最简单的插值问题 如果除了知道f x 在插值基点上的取值外 还知道f x 在插值基点上的其他描述 如知道f x 在插值基点上的导数值 如何来构造插值函数呢 一 问题描述 Hermite插值也叫带指定微商值的插值 它要构造一个插值函数 不但在给定节点上取函数值 而且取已知微商值 使插值函数和被插函数的密和程度更好 f x 是区间 a b 上n 1个互异节点a x0 x1 x2 xn b 定义在 a b 上的函数f x 在节点上满足f xi yif xi y ii 0 1 2 n求一个次数不高于2n 1次的插值多项式H x 满足2n 2个条件H xi yiH xi y ii 0 1 2 n若H x 存在 则称为函数f x 的Hermite插值多项式 因为H x 是一个次数不高于2n 1次的多项式 常记为H2n 1 x 二 定义 定理一 满足插值条件H xi yiH xi y ii 0 1 2 n且次数不大于2n 1的多项式是唯一的 三 定理 证明 令p x 和q x 是两个次数不高于2n 1的多项式且在插值基点都满足以上插值条件 即 p xi q xi yi p xi q xi y i i 0 1 2 n令F x p x q x 有F xi 0 F xi 0 i 0 1 2 n故F x 有2n 2个根 由于p x q x 都是次数不高于2n 1的多项式 由代数基本定理知F x p x q x 0 所以有p x q x 多项式唯一 定理二 f x 在区间 a b 存在2n 2阶导数 则其Hermite插值余项为 设Hermite插值函数nnH2n 1 x Li x yi hi x y ii 0i 0Li x hi x 都是不高于2n 1次的多项式 类似Lagrange插值 利用Hermite插值条件可得 Li xj ijhi xj 0L i xj 0h i xj iji j 0 1 2 n从而可设Li x aix bi li x 2hi x cix di li x 2 四 构造函数 这里li x x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn ai bi ci di为待定系数 分别由Li xi 1和Li xi 0及hi xi 1 i 0 1 2 n 确定 三次Hermite插值函数的构造 n 1 2n 1 3 已知数表 xx0 x1yy0y1y y0 y1 求一个三次Hermite插值函数H3 x 解 H3 x y0L0 x y1L1 x y0 h0 x y1 h1 x 对x x0 有L0 x0 1L1 x0 0h0 x0 0h1 x0 0L0 x0 0L1 x0 0h0 x0 1h1 x0 0对x x1 有L0 x1 0L1 x1 1h0 x1 0h1 x1 0L0 x1 0L1 x1 0h0 x1 0h1 x1 1 L0 x a0 x b0 x x1 2h0 x a x x0 x x1 2解之得L0 x 1 2 x x0 x1 x0 x x1 x0 x1 2h0 x x x0 x x1 x0 x1 2同理有L1 x 1 2 x x1 x0