泛函分析ppt课件.ppt

泛函分析大家以前多学过一些数学方面的课程 比如分析方面的数学分析 实 复 变函数等等 都是归并于经典分析 其思想是 如果某个量难以被直接了解 那就将它放到某个变化过程中去考虑 后通过对该过程的考察以获取所求量的信息 产生了变量 函数 极限 连续 微分和积分等基本概念 类似的 如果对某个变量 如函数 本身难以被直接了解 那能否转而研究一族变动的变量 如函数空间 然后通过施以变量一定的运算和极限 获得有关原变量的知识 参考书 应用泛函分析 薛小平 哈工大 胡适耕 华中科技大 程曹宗 北京工大 以上学校图书馆都有 当然还有外文的 不列举了泛函分析导论及应用 加 欧文克雷斯齐格 1 2 3 4 泛函分析 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的数学分支 用的统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化 运用代数学 几何学等学科的观点和方法研究分析学的课题 可以看作无限维的分析学 今天 它的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科中 起着重要的作用 已成为近代分析的基础之一 泛函分析的最基本的内容 三个空间 四个定理 5 第一章预备知识 1 集合所谓集合 是指具有某种特定性质事物的全体 构成集合的 事物 称为集合的元素 集合的表示方法 1 列举法 2 描述法 相关的概念和符号 集合相等 子集 真子集 有限集 空集 无穷集合 数集的常用符号NQZRC 注 对于给定的集合A 一元素a是否属于A是确定的 6 2 集合的运算 集合的交 并 差 A B 取余 A是B的子集 B A 集合的运算性质 有限交 并 满足结合律 交换律和分配律 任意交 并 满足对偶原理集合的笛卡尔积集合列的上下极限 7 3 映射 定义 设A B是两个非空集合 若存在由A到B的一个对应关系f 满足对A中任意一元素x 都有B中唯一元素y f x 与之对应 映射的分类 单的 满的 双射 逆映射 恒定映射注 1 当B是数集时 映射f称为泛函 A B都是数集时 映射f称为函数 2 即使逆映射不存在 也可以进行取原像运算 3 在A B引入拓扑以后 就可以定义映射的连续的概念 开集的原像是开集 8 4 集合的基数 主要应用于无限集合的分类 可数集和不可数集 集合AB对等 A B 存在由A到B的双射f对等关系是个等价关系 满足自反性 对称性和传递性 证明常用Bernstein定理 与自然数集对等的集合称为可数集或可列集 有限集和可数集统称至多可数集 其余的集合称为不可数集 例如闭区间 0 1 可数基数a 连续基数c 9 主要结论 1 可数集的子集至多可数 2 有限或可数多个可数集合的并是可数集 3 有限个可数集的直积是可数集 4 无限集必于它的某真子集对等 含可数子集 可数集的例子 整数集 有理数集 n维欧式空间中的有理点集 实数的基本定理 确界存在原理 单调有界原理 闭区间套引理 聚点定理 有限覆盖定理等等都当成已知 10 5 Lebesgue积分 N L积分的可积的函数类不够广泛 积分运算很不灵活 1902年 法国的Lebesgue引入新积分 另一方法分划求和取极限 相关概念 L 测度 可测集合 函数 相关结果 Lusin定理 Egoroff定理 Fubini定理 Riesz定理等等 L 积分与R 积分的关系 函数列的收敛 逐点 一致 以测度 更详细的知识大家可以查阅有关实变函数的参考书 11 12 选择公理 泛函分析的研究必须首先承认一些事情选择公理 设C为一个由非空集合所组成的集合 那么 我们可以从每一个在C中的集合中 都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合 Zorn引理 设 P 是偏序集 若P的每一个全序子集在P中都有上界 则P必有极大元良序原理 所有集合能被良序化 换句话说 对每一个集合来说 都存在一种排序方法 使得它的所有子集都有极小元素Zorn引理是集论的一个重要工具 与选择公理 良序原理都是彼此等价的 主要应用于数学上存在性定理的证明 而不具体描述寻求的方法 13 第一章距离空间 1 1距离空间的定义和例子1 2距离空间的拓扑1 3距离空间的稠密性1 4距离空间的可分性1 5距离空间的完备性1 6距离空间的紧性1 7不动点定理及其应用 14 15 16 17 18 19 20 21 22 常用的几个公式 赫尔德不等式 p q 1 1 p 1 q 1 则等号相等当且仅当它们线性相关 23 常用的几个公式 Minkowski不等式 设p不小于1 则等号相等当且仅当它们线性相关 24 例子 以出租车距离定义的平面距离空间 序列空间函数空间C a b 离散距离空间 R上函数 x y 2 x y 1 2是距离吗 Hamming距离 X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合 总数为8 元素x y的距离是x y中不同的对应分量的个数 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用 25 距离空间的拓扑 空间引入距离 才有了空间上映射的连续性概念 开集的原像是开集 称X的子集B x r y p x y r 为以x为心半径为r的开球称X的子集S x r y p x y r 为以x为心半径为r的球面注 在研究距离空间中 沿用了大家熟悉的欧式空间中类似的术语 有着很大优越和方便之处 但并不完全一致 如 离散距离空间中的球面只有两种可能 空集或全空间其他概念 聚点 闭包 有界集 拓扑空间注 A的闭包是包含A的最小的闭集 A是闭集当且仅当A与其闭包相等 取闭包运算满足分配律 26 27 设A是X的子集 x是X中定点 x与A的关系 1 x 附近 全是A中的点 内点 2 x 附近 没有A中的点 外点 3 x 附近 有A中点也有不是A中点 边界点 4 x的任意邻域都含A x 中点 A的聚点 5 x的某个邻域不含A x 中点 孤立点 练习 设X是距离空间 A B是X的子集 则 28 距离空间上的连续映射 概念 映射T在x点连续 连续映射 同胚T在x处连续的判定 定义 海涅定理T是连续的判定 开集的原象是开集 闭集的原象是闭集 定义同胚的几何解释 拓扑空间的拓扑性质在同胚变化下是保持不变的练习 证明从离散空间X到任意距离空间Y的映射T是连续映射 29 证明稠密性具有传递性 即若A在B中稠密 B在C中稠密 则A在C中稠密 30 不可分空间的例子 有界数列空间在最大值定义的距离下是不可分的 31 注 Cauchy序列一定是有界序列 如果有收敛的子列 那么Cauchy序列必是收敛的 32 空间的完备性的判定 欧式空间 C a b 按极大模 都是完备的 后者的证明用到函数列收敛的有关结论 距离空间的完备子空间是闭集 一个完备的距离空间的闭子空间是完备的闭球套定理 给出了距离空间X是完备的一个充分必要条件 33 例子 实直线 复平面都是可分的完备的距离空间离散距离空间X是可分的当且仅当X是可数集L p a b p 1 在上面定义的距离意义下都是完备的 可分的不可分距离空间 例如有界序列空间 利用 0 1 中点是不可数多个 C a b 按L 1距离就不是完备的 它的完备化空间是L 1 存在连续函数序列 L 1收敛到不连续的可积函数 有理数点构成的距离空间也不完备 34 距离空间的完备化 我们知道有理直线Q是不完备的 但可以扩展为完备的实直线R 空间不完备时 考虑问题就要特别小心 将不完备空间完备化是个有意义的工作处理方程解的存在性问题时 在不完备的距离空间中解方程 即使近似解的序列是基本列 也不能保证该序列有极限 从而不能保证方程在该空间内有解 我们还希望完备化后得到的空间能是唯一的最好 相差不多也好 等距映射 距离空间X Y是等距的等距映射一定是同胚的 等距的距离空间 由距离导出的性质全一样 故当仅限于考虑与距离有关的性质时 彼此可以不加区分 35 36 37 距离空间的紧性 设A的距离空间X的子集 称A是紧的 如果A的任意一个开覆盖都存在有限子覆盖 如果A中任意一个序列都存在一个子列收敛于A中某点 称A是列紧的 如果A中任意一个序列都存在一个子列收敛于X中某点 若空间X本身是紧 列紧 集 则称X是紧 列紧 空间 例 实直线R是完备的距离空间 但不是紧的 也不是列紧的 R中任意有界闭集M按R的距离是紧空间 有界开集N是列紧的 在欧式空间中 有界性和列紧性是一致的 38 距离空间的紧性 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难 称距离空间X的子集A是全有界的 对任意r 0 都有A中有限个点 满足以其为心 r为半径的开球的并覆盖了A 相关结论 1 全有界集是有界的 可分的 2 列紧集是全有界的 反证法 3 若X是完备距离空间 列紧等价于全有界 C a b 的子集A是列紧的充要条件是A是一致有界且等度连续的 39 距离空间的紧性 设X是距离空间 则下述结论成立1 X是紧的当且仅当X是列紧的2 紧空间X的闭子集M是紧的 3 X的列紧的子集是有界集 紧集的连续象是紧集紧集上的连续函数是一致连续的 能取到最大值和最小值 空间X是有限维的当且仅当X的闭单位球是紧集 非紧的空间 可以通过一点紧致化 进而利用紧空间的性质来研究 40 小结 我们讨论距离空间的基本性质距离空间就是赋予距离的集合 是三维立体空间概念的推广 二者既有相同又不完全相同 研究的空间的目的 在于把由实际问题归纳出来的某些集合抽象为具有某种属性的空间 从而利用数学上已有的结论去分析他们的性质 如 关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输出稳定性 控制算法的收敛性等密切相关 下面我们介绍的这个结论 不仅在数学上 在其它的学科也能看到广泛的应用 41 42 43 动态控制系统状态轨线的存在性和唯一性 控制论中 确定性动态控制系统可以用如下常微分方程来描述x t 表示时间段T上系统的状态轨线 函数 是n维的向量函数 u t 是控制输入函数 都视为距离空间中的点 上式等价于如下形式的积分方程 44 定理 对由上式所描述的系统 假设T是有界区间 是连续的 即注 只要常微分方程满足定理条件 就可以利用数值积分和迭代算法来求方程的近似解 Picard逐次逼近法 45 定理3 Picard 设是矩形上的二元连续函数 设 又在D上关于x满足Lipschitz条件 即存在常数K 使对任意的 有 那么方程在区间上有唯一的满足初值条件的连续函数解 其中 min 压缩映射原理不仅证明了方程解的存在性和唯一性 而且也提供了求解的方法 逐次逼近法 即只要任取 令 则解 如果在 3 中 令