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第三节可测函数的构造 第四章可测函数 可测函数 简单函数是可测函数 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限 问 可测函数是否可表示成一列连续函数的极限 可测集E上的连续函数为可测函数 鲁津定理 实变函数的三条原理 J E Littlewood 1 任一可测集差不多就是开集 至多可数个开区间的并 设f x 为E上几乎处处有限的可测函数 则使得m E F 且f x 在F上连续 去掉一小测度集 在留下的集合上成为连续函数 即 可测函数 基本上 是连续函数 2 任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列 3 任一可测函数差不多就是连续函数 引理 证明 由于mE f 0 故不妨令f x 为有限函数 1 当f x 为简单函数时 当x Ei时 f x ci 所以f x 在Fi上连续 而Fi为两两不交闭集 故f x 在上连续 显然F为闭集 且有 设f x 为E上几乎处处有限的可测函数 则使得m E F 且f x 在F上连续 鲁津定理 Lusin 2 当f x 为有界可测函数时 存在简单函数列 n x 在E上一致收敛于f x 由 n x 在F连续及一致收敛于f x 易知f x 在闭集F上连续 利用 1 的结果知 则g x 为有界可测函数 应用 2 即得 3 当f x 为一般可测函数时 作变换 g x 为E上几乎处处有限可测函数 则使得m E F 且g x 在F上连续 故 f x 在F上为连续函数 注1 鲁津定理另外一种形式 若f x 为上几乎处处有限的可测函数 使得在F上g x f x 且m E F 且sup g x x R sup f x x F inf g x x R inf f x x F 对n维空间也成立 分 由鲁津定理 则及R上的连续函数g x 则且f x 在F上连续 下面只需将f x 延拓为R上的连续函数g x 即可 若f x 为上几乎处处有限可测 由于FC为R上的开集 根据R上开集构造 FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并 bi ai 则g x 满足要求 且在R上连续 参见课本p91 注2 鲁津定理的逆定理成立 设f x 为E上几乎处处有限的实函数 若使得m E F 且f x 在F上连续 则f x 在E上为可测函数 例1对ER1上的a e 有限的可测函数f x 一定存在R上的连续函数列使于E 从而 令 即得我们所要的结果 证明 由鲁津定理另外的形式知 再由Riesz
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