2010年浙江省高中数学竞赛试卷

2010 年浙江省高中数学竞赛试卷 说明 本试卷分为 A 卷和 B 卷 A 卷由本试卷的 2 题组成 即 10 道选择题 7 道填空题 3 道解答题和 2 道附加题 B 卷由本试卷的前 20 题组成 即 10 道 选择题 7 道填空题和 3 道解答题 一 选择题 本大题共有 10 小题 每题只有一个正确答案 将正确答案的序号 填入题干后的括号里 多选 不选 错选均不得分 每题 5 分 共 50 分 1 化简三角有理式的值为 A xxxx xxxx 2266 2244 cossin2cossin cossinsincos A 1 B C D 1 sincosxx sin cosxxsin cosxx 解答为 A 22442222 sincos sincossincos 2sincosxxxxxxxx 分母 4422 sincossincosxxxx 2 若 则是的 B 2 1 30 2pxxxq x pq A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解答为 B p 成立 所以 p 成立 推不出 q 一定成立 3x 3 集合 P 则集合为 D 363 xxRxx R C P A B 6 3 x xx 或 6 3 x xx 或 C D 6 3 x xx 或 6 3 x xx 或 解答 D 画数轴 由绝对值的几何意义可得 63x 63 6 3 R PxxC Px xx 或 4 设 为两个相互垂直的单位向量 已知 r k a b OP a OQ b OR a b 若 PQR 为等边三角形 则 k r 的取值为 C A B 13 2 kr 1313 22 kr C D 13 2 kr 1313 22 kr 解答 C PQQRPR 即 2222 13 1 1 2 2 rkrk 解得r k 5 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB BB1 则 CA1与 C1B 所成的角的大2 小是 C A 60 B 75 C 90 D 105 解答 C 建立空间直角坐标系 以所在的直线为轴 在平面上垂直于 11 ABx 111 ABC 的直线为轴 所在的直线为轴 则 11 ABy 1 BBz 11 26 2 0 0 0 22 AC 26 1 22 C 0 0 1 B 1111 2626 1 1 0 2222 CAC BCAC B 6 设 分别为等差数列与等比数列 且 则以 n a n b 1144 4 1abab 下结论正确的是 A A B C D 22 ab 33 ab 55 ab 66 ab 解答 A 3 1144 2 4 1 2 abab 设等差数列的公差为d 等比数列公比为q 由 得d 1 q 33 33 22335566 24 3 2 2 2 4 0 1 24 abababab 得 7 若的二项式展开式中系数最大的项为 D 15 12 xRx 则 A 第 8 项 B 第 9 项 C 第 8 项和第 9 项 D 第 11 项 解答 D r 10 第 11 项最大 115121 2932 2 33 rr rrrrr TCTTTTr 由 8 设 则下述关系 cos 5 x f x 1 2 111 log log log e e afbfcf e 式正确的是 D A B C D abc bca cab bac 解答 D 函数为偶函数 在 0 上 为减函 cos 5 x f x 2 cosf xx 数 而 1 2 1111 loglog log log2log log eee ee e 所以 log2log1 0 5log554 ee e bac 9 下面为某一立体的三视图 则该立体的体积为 C 正视图 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形 侧视图 半径为 1 的 圆以及高为 1 的矩形 1 4 俯视图 半径为 1 的圆 A B C D 3 2 2 3 4 3 3 4 解答 C 根据题意 该立体图为圆柱和一个 1 4 的球的组合体 10 设有算法如下 如果输入 A 144 B 39 则输出的结果是 B A 144 B 3 C 0 D 12 解答 B 1 A 144 B 39 C 27 2 A 39 B 27 C 12 3 A 27 B 12 C 3 4 A 12 B 3 C 0 所以 A 3 二 填空题 本大题共有 7 小题 将正确答案填入题干后的横线上 每空 7 分 共 49 分 11 满足方程所有实数解为2009220102009220102xxxx 20102011x 解答 变形得 解得 22 20101 20101 2020101xxx 20102011x 12 函数的最小正周期为 xR 2sin3cos 23 xx f x 12 解答 2sin43cos 12 23 xx f x 的周期为 的周期为6 所以函数的周期为 13 设 P 是圆上一动点 A 点坐标为 当 P 在圆上运动时 22 36xy 20 0 线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为 22 10 9xy 解答 设 M 的坐标为 00 x yPxy 设点坐标为则有 00 20 22 xy xy 因为 P 点在圆上 所以 所以 P 点轨迹 00 220 2xxyy 22 220 2 36xy 为 22 10 9xy 14 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D 使得 AD 把 ABC 分成两个等腰三 角形 试求 ABC 的最小内角的取值范围为 30 x 45 或 22 5 x 30 解答 如图 1 AD AC BD 2 DC AC AD BD A C D B 1 A C D B 2 在 1 中 设最小的角为 x 则 2x 90 得 x 45 又 x 180 4x30 所以 30 x 45 在 2 中 设最小的角为 x 则 3x 90 得 x 30 又 180 4x22 5 所以 22 5 x 30 15 设 z 是虚数 且 则 z 的实部取值范围为 1 wz z 12w 1 1 2 a 解答 设 2222 120 abib zabiabib abab 22 01bab 或 当 无解 当 0b 22 1 11 2 aba 16 设 如果对任何 都有 则 442 1 1 xxxxkxf 1 0 x0 xf k 的最小值为 1 192 解答 1 1 2 24 xx xx k 222 13313 1 1 24424 xxxxxx 因为时最小值为 分子 所以 k 的最小值为 448 111 1 1 222 xxxxx 时 取最大值 1 192 17 设 当函数的零点多于 1 个时 在Rqp qxpxxf 2 xf xf 以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0 或 q 解答 因为函数为偶函数 由对称性以及图象知道 qxpxxf 2 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值 0 或 q xf 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 3 小题 每题小题 每题 17 分 共分 共 51 分 分 18 设数列 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 1 1k kk 问 1 这个数列第 2010 项的值是多少 2 在这个数列中 第 2010 个值为 1 的项的序号是多少 解 1 将数列分组 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 1 1 k kk 因为 1 2 3 62 1953 1 2 3 63 2016 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数 即为 10 分 57 7 2 由以上分组可以知道 每个奇数组中出现一个 1 所以第 2010 个 1 出现 在第 4019 组 而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位 所以第 2010 个值为 1 的项的序号为 1 2 3 4018 2010 809428 17 分 19 设有红 黑 白三种颜色的球各 10 个 现将它们全部放入甲 乙两个袋子 中 要求每个袋子里三种颜色球都有 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相 等 问共有多少种放法 解 设甲袋中的红 黑 白三种颜色的球数为 则有 且 x y z1 9x y z 1 10 10 10 xyzxyz 5 分 即有 2 50050 5 xyzxyzxyyzzx 于是有 因此中必有一个取 5 不妨设 代入 1 式 得到5 xyz x y z5x 10 分10yz 此时 y 可取 1 2 8 9 相应地 z 取 9 8 2 1 共 9 种放法 同理可得 y 5 或者 z 5 时 也各有 9 种放法 但有时二种放法重复 xyz 因此可得共有 9 3 2 25 种放法 17 分 20 已知椭圆 以 0 1 为直角顶点 边 AB BC 1 1 2 2 2 ay a x Rt ABC A 与椭圆交于两点 B C 若 ABC 面积的最大值为 求的值 27 8 a 解 不妨设的方程 则的方程为 AB 01 kkxyAC1 1 x k y 由得 1 1 2 2 2 y a x kxy 02 1 2222 kxaxka 2 22 2 1 B a k x a k 由得 2 2 2 1 1 1 yx k x y a 2222 20akxa kx 2 22 2 C a k x ak 从而有 22 2 22222 212 1 1 1 a ka k ABkAC a kkak 于是 2 44 2222 224 2 1 1 1 22 1 2 1 1 ABC k kk k SAB ACaa a kak aka k 令 有 1 2tk k 10 分 44 222 222 2 22 1 1 ABC a ta S aa ta a t t 因为 时等号成立 22 22 1 2 1 a a ta a t 2 1a t a 因此当 14 分 23 max 2 1 1 ABC aa S aa t 令 3 2 2 273297 3 839 03 1816 a aaaaa a 17 分 2 13297 212 3 16 a aaa a 不合题意 舍去 四 附加题 本大题共有四 附加题 本大题共有 2 小题 每题小题 每题 25 分 共分 共 50 分 分 21 设 D E F 分别为 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 记 证明 AB AF CA CE BC BD ABCDEF SS 证明 由 5 分 sin 1 sin BFD ABC BDBFBS SBCBAB 10 分 1 1 DECAEF ABCABC SS SS 同理 所以 1 1 1 1 ABCBFDDECAEFDEF ABCABC SSSSS SS 20 1 1 1 111 等号成立或或 分 因此 等号成立 当且仅当 D 与 C 重合 或 E 与 A 重合 或 F 与 B ABCDEF SS 重合 25 分 22 1 设 平面上的点如其坐标都是整数 则称之为格点 今有曲线过0a 3 yax 格点 n m 记对应的曲线段上的格点数为 N 证明 1xn 3 3 11 nm kk k Nakmn a 2 进而设 a 是一个正整数 证明 3 2 3 1 1 31 4 an k ka nnnn a 注表示不超过 x 的最大整数 x 证明 1 考虑区域且该区域上的格点为 nm 个 又该区域由区域0 0 xnym E 以及区域 F 组成 3 0 0 xnyax 3 0 0 y ymx a 在区域 E