添加辅助线解特殊四边形题答案

添加辅助线解特殊四边形题添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形 矩形 菱形 正方形和梯形 在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线 下面介绍一 些辅助线的添加方法 一 和平行四边形有关的辅助线作法 1 利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例 1 如图 已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点 四边 形 OCDE 是平行四边形 求证 OE 与 AD 互相平分 2 利用两组对边平行构造平行四边形 例 2 如图 在 ABC 中 E F 为 AB 上两点 AE BF ED AC FG AC 交 BC 分别为 D G 求证 ED FG AC 3 利用对角线互相平分构造平行四边形 例 3 如图 已知 AD 是 ABC 的中线 BE 交 AC 于 E 交 AD 于 F 且 AE EF 求证 BF AC 二 和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线 借助菱形的 判定定理或性质定定理解决问题 例 4 如图 在 ABC 中 ACB 90 BAC 的平分线交 BC 于点 D E 是 AB 上一点 且 AE AC EF BC 交 AD 于点 F 求证 四边形 CDEF 是菱形 例 5 如图 四边形 ABCD 是菱形 E 为边 AB 上一个定点 F 是 AC 上一个动点 求证 EF BF 的最小值等于 DE 长 三 与矩形有辅助线作法 例 6 如图 已知矩形 ABCD 内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 PD 的长 四 与正方形有关辅助线的作法 例 7 如图 过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE AC 且 AE AC 又 CF AE 求证 BCF 2 1 AEB 五 与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的 主要涉及以下几种类型 1 作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形 2 作梯形 的高 构造矩形和直角三角形 3 作一对角线的平行线 构造直 角三角形和平行四边形 4 延长两腰构成三角形 5 作两腰 的平行线等 例 8 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB AC BAC 90 BD BC BD 交 AC 于点 0 求证 CO CD 例 9 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD AD BC 10 DE BC 于 E 求 DE 的长 六 和中位线有关辅助线的作法 例 10 如图 在四边形 ABCD 中 AC 于 BD 交于点 0 AC BD E F 分 别是 AB CD 中点 EF 分别交 AC BD 于点 H G 求证 OG OH 答案 例 1 例 2 例 3 例 1 证明 连结 AE OD 因为是四边形 OCDE 是平行四边形 所以 OC DE OC DE 因为 0 是 AC 的中点 所以 A0 ED AO ED 所以四边形 AODE 是平行四边形 所以 AD 与 OE 互相平分 说明 当已知条件中涉及到平行 且要求证的结论中和平行四边形 的性质有关 可试通过添加辅助线构造平行四边形 例 2 证明 过点 E 作 EH BC 交 AC 于 H 因为 ED AC 所以四边形 CDEH 是平行四边形 所以 ED HC 又 FG AC EH BC 所以 AEH B A BFG 又 AE BF 所以 AEH FBG 所以 AH FG 所以 FG DE AH HC AC 说明 当图形中涉及到一组对边平行时 可通过作平行线构造另一 组对边平行 得到平行四边形解决问题 例 3 证明 延长 AD 到 G 使 DG AD 连结 BG CG 因为 BD CD 所以四边形 ABGC 是平行四边形 所以 AC BG AC BG 所以 1 4 因为 AE EF 所以 1 2 又 2 3 所 以 1 4 所以 BF BG AC 例 4 例 5 例 6 例 4 证明 连结 CE 交 AD 于点 O 由 AC AE 得 ACE 是等腰三角 形 因为 AO 平分 CAE 所以 AO CE 且 OC OE 因为 EF CD 所以 1 2 又因为 EOF COD 所以 DOC 可以看成由 FOE 绕点 O 旋转而成 所以 OF OD 所以 CE DF 互相垂直平分 所以四边形 CDEF 是菱形 例 5 证明 连结 BD DF 因为 AC BD 是菱形的对角线 所以 AC 垂直 BD 且平分 BD 所以 BF DF 所以 EF BF EF DF DE 当且仅当 F 运动到 DE 与 AC 的交点 G 处时 上式等号成立 所以 EF BF 的最小值恰好等于 DE 的长 说明 菱形是一种特殊的平行四边形 和菱形的有关证明题或计算 题作辅助线的不是很多 常见的几种辅助线的方法有 1 作菱形 的高 例 6 解 过点 P 分别作两组对边的平行线 EF GH 交 AB 于 E 交 CD 于 F 交 BC 于点 H 交 AD 于 G 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 PF2 CH2 PC2 PH2 DF2 AE2 AP2 EP2 PH2 PE2 BP2 所以 PD2 PC2 PH2 AP2 EP2 PC2 AP2 PB2 52 32 42 18 所以 PD 32 说明 本题主要是借助矩形的四个角都是直角 通过作平行线构造 四个小矩形 然后根据对角线得到直角三角形 利用勾股定理找到 PD 与 PA PB PC 之间的关系 进而求到 PD 的长 例 7 例 8 例 7 证明 连接 BD 交 AC 于 O 作 AH BE 交 BE 于 H 在正方形 ABCD 中 AC BD AO BO 又 BE AC AH BE 所以 BO AC 所以四边形 AOBH 为正方形 所以 AH AO 2 1 AC 因为 AE AC 所以 AEH 30 因为 BE AC AE CF 所以 ACFE 是菱形 所以 AEF ACF 30 因为 AC 是正方形的对角线 所以 ACB 45 所以 BCF 15 所以 BCF 2 1 AEB 说明 本题是一道综合题 既涉及正方形的性质 又涉及到菱形的 性质 通过连接正方形的对角线构造正方形 AHBO 进一步得到菱形 借助菱形的性质解决问题 例 8 证明 过点 A D 分别作 AE BC DF BC 垂足分别是 E F 则四边形 AEFD 为矩形 因为 AE DF AB AC AE BC BAC 90 所以 AE BE CE 2 1 BC ACB 45 所以 AE DF 2 1 又 DF BC 所以在 Rt DFB 中 DBC 30 又 BD BC 所以 BDC BCD 75 2 180DBC 所以 DOC DBC ACB 30 45 75 所以 BDC DOC 所以 C0 CD 例 9 解 过点 D 作 DF AC 交 BC 的延长线于 F 则四边形 ACFD 为平行四边形 所以 AC DF AD CF 因为四边形 ABCD 为等腰梯形 所以 AC DB BD FD 因为 DE BC 所以 BE EF 2 1 BF 2 1 BC CF 2 1 BC AD 2 1 10 5 因为 AC DF BD AC 所以 BD DF 因为 BE FE 所以 DE BE EF 5 即 DE 的长为 5 例 9 例 10 例 10 证