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文档简介

9 10多元函数的极值及其求法 多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法 一 多元函数的极值和最值 一 多元函数的极值和最值 1 多元函数极值的定义 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 设P Rn 函数u f p 在p0的某邻域U p0 内有定义 对任何p U p0 p p0 都有f p f p0 称函数u f p 在p0点有极小值 1 2 3 例1 例 例 2 多元函数取得极值的条件 证 前提 多元函数在 X0 Y0 处有偏导 注 1 极值点处的切平面平行于xoy平面 2 使一阶偏导数同时为零的点 称为函数的驻点 驻点 极值点 如何判定驻点是否为极值点 注意 求最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 3 多元函数的最值 第三步 比较以上两步所得各函数值 最大者为M 最小者为m 故M 25 m 9 解 舍去x1 解 由 x y 无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外 并无其他条件 实例 小王有200元钱 他决定用来购买两种急需物品 计算机磁盘和录音磁带 设他购买张磁盘 盒录音磁带达到最佳效果 效果函数为 设每张磁盘8元 每盒磁带10元 问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质 求在条件下的极值点 二 条件极值拉格朗日乘数法 条件极值 对自变量有附加条件的极值 解 则 2x 3y y 2z 解 可得 即 1 在椭圆上求一点 使其到直线 的距离最短 解设P x y 为椭圆上任意一点 则P到直线 的距离为 求d的最小值点即求的最小值点 作 由lagrange乘数法 令 得方程组 解此方程组得 于是 由问题的实际意义最短距离存在 因此即为所求点 3 解 分析 得 P1
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