椭圆的参数方程(教案)

8 2 椭圆的几何性质 5 椭圆的参数方程 教案 齐鲁石化五中 翟慎佳 2002 10 25 一 目的要求 1 了解椭圆参数方程 了解系数 a b 含义 2 进一点完善对椭圆的认识 并使学生熟悉的掌握坐标法 3 培养理解能力 知识应用能力 二 教学目标 1 知识目标 学习椭圆的参数方程 了解它的建立过程 理解它与普通 方程的相互联系 对椭圆有一个较全面的了解 2 能力目标 巩固坐标法 能对简单方程进行两种形式的互化 能运用 参数方程解决相关问题 3 德育目标 通过对椭圆多角度 多层次的认识 经历从感性认识到理 性认识的上升过程 培养学生辩证唯物主义观点 三 重点难点 1 重点 由方程研究曲线的方法 椭圆参数方程及其应用 2 难点 椭圆参数方程的推导及应用 四 教学方法 引导启发 计算机辅助 讲练结合 五 教学过程 一 引言 意义 人们对事物的认识是不断加深 层层推进的 对椭圆的认识也遵循这一规 律 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用 进一步完善对椭圆认识本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用 进一步完善对椭圆认识 二 预备知识 复习相关 1 求曲线方程常用哪几种方法 答 直接法 待定系数法 转换法 代入法 参数法 2 举例 含参数的方程与参数方程 例如 y kx 1 k 参数 含参方程 而 t 参数 是参数方 14 2 ty tx 程 3 直线及圆的参数方程 各系数意义 三 推导椭圆参数方程 1 提出问题提出问题 教科书例 5 例题 例题 如图 以原点为圆心 分别以 a b a b 0 为半径作两个圆 点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点 过点 A 作 ANOx 垂足为 N 过点 B 作 BMAN 垂足为 M 求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的 轨迹的参数方程 2 分析问题分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题 但动点较多 不易把握 故采 用间接法 参数法 引导学生阅读题目 回答问题 1 动点 M 是怎样产生的 M 与 A B 的坐标有何联系 2 如何设出恰当参数 设 AOX 为参数较恰当 3 解决问题解决问题 板演 解解 设点 M 的坐标 x y 是以 Ox 为始边 OA 为终边的正角 取为参数 那么 x ON OA cos y NM OB sin 即 引为点 M 的轨迹参数方程 为参数 sin cos by ax 4 更进一步更进一步 板演 化普通方程 分别将方程组 的两个方程变形 得 两式平方后相加 sin cos b y a x 消去参数得方程1 2 2 2 2 b y a x 由此可知 点 M 的轨迹是椭圆 方程 是椭圆的参数方程 为参数 为离心角 常数 a b 分别是椭圆长半轴和短半轴长 5 加深理解 1 椭圆参数方程 为参数 参数有明显几何意义 sin cos by ax 离心角与 MOX 一般不同 参数方程提供了设点的方法 2 椭圆参数方程与普通方程可互相转化 设参 消参 3 椭圆的参数方程也可由 a b 0 三角换元直接得出 1 2 2 2 2 b y a x 即令 双曲线也有类似换元 cos a x sin b y 4 可仿 P95 例 3 将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程 四 参数方程的应用 四 参数方程的应用 例题分析 例例 1 参数方程普通方程互化 1 2 sin5 cos3 y x 1 162 2 2 y x 例例 2 练习 练习 参数方程普通方程互化 1 2 ty tx sin10 cos8 1 96 22 yx 例例 3 在椭圆上求点 P 使 P 到 L x y 4 0 的距离最小 88 22 yx 分析分析 1 目标函数法 设 P x y 为椭圆上任一点 由得88 22 yx 则 P 到 L 的距离 2 88yx 2 488 2 yy d 再想办法求最值 但太繁不可取 分析分析 2 几何法 把直线 L 平移到 L1与椭圆相切 此时切点 P 为所求的点 即设 L1 x y m 0 由 88 0 22 yx myx 整理得 9y2 2my m2 8 0 由 4m2 4 9 m2 8 0 得 m 3 如图可知 m 3 时最小 可计算平行 线间的距离 此时 P 2 2 2 34 d 3 1 3 8 分析分析 3 参数法 设 P 2cos sin 则有2 y L x L1 其中 2 4 sin 3 2 4sincos22 d22tan 当时 d 有最小值 2 2 2 则 即P 3 22 sincos 3 1 cossin 3 1 3 8 方法小结方法小结 1 本题运用参数方程比普通方程简单 2 当直接设点的坐标不易求解时 可尝试建立参数方程 例例 4 P x y 为椭圆上任一点 求 2x y 的最大值 1 4 2 2 y x 例例 5 设椭圆上一点 P 使 OP 与 x 轴正向所成 sin32 cos4 是参数 y x 角 POX 求 P 点坐标 3 分析分析 本题容易产生错误 认为 代入椭圆参数方程 3 x 2 y 3 从而 P 2 3 事实上 若注意 P 对应参数与 POX 关系 可避免此误 解解 设 P 由 P 与 x 轴正向所成的角为 cos4 sin32 3 即 tan 2 而 sin 0 cos 0 cos4 sin32 3 tan cos sin P 点坐标为 5 5 5 52 5 54 5 154 四 教学小结 四 教学小结 1 坐标法推导出椭圆的参数方程 学习了 a b 的几何意义 2 通过学习 完善了对椭圆的认识 椭圆的两个定义及两种方程都是 等价的 3 参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的 4 通过学习增强运用参数解题的意识 五 补充练习 1 点 P 在椭圆 7x2 4y2 28 上 则点 P 到直线 3x 3y 16 0 的距离的最大 值为 A B C D 13 1312 13 1316 13 1324 13 1328 2 P 是椭圆上任意一点 F1 F2是两个焦点 且满足 PF1PF21 2 2 2 y x 的点 P 有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 已知直线 y kx 1 与椭圆相切 则 k a 之间关系式为 1 4 22 a yx A a 4k2 1 B 4k2 a 1 C a 4k2 1 D a 4k2 1 4 点 P 0 1 到椭圆上点最大距离是 1 2 2 2 y x 5 设 a 为大于 0 的常数 椭圆 x2 2ax a2y2 0 的长轴长是短轴长的 2 倍 则 a 的值为 A B C 2 或 D 2 2 1 2 2 1 6 已知点 P 在圆 x2 y 4 2 1 上移动 点 Q 在椭圆上移动 1 4