常见递推数列通项的求法

常见递推数列通项的求法 类型 1 型 ngaa nn 1 解题思路 利用累差迭加法 将 1 1 ngaa nn 各式相加 正负抵消 即得 1n a 2 n a 2 ng 2 a 1 a 1 g n a 例 1 在数列 中 求通项公式 n a3 1 a 1 1 1 nn aa nnn a 解 原递推式可化为 1 11 1 nn aa nn 则 2 1 1 1 12 aa 3 1 2 1 23 aa 4 1 3 1 34 aa nn aa nn 1 1 1 1 逐项相加得 故 n aan 1 1 1 n an 1 4 例 2 在数列中 且 求通项 n a0 1 a12 1 naa nnn a 解 依题意得 把以0 1 a 32112 3 1 12312 nnaaaaaa nn 上各式相加 得 2 1 2 3211 3231 n nn nan 评注 由递推关系得 若是一常数 即第一种类型 直接可得是一等差数列 若 ng 非常数 而是关于的一个解析式 可以肯定数列不是等差数列 将递推式中的分别用 nn aa 1 n n an 代入得个等式相加 目的是为了能使左边相互抵消得 而右边往往可以2 3 4 2 1 nn1 n n a 转化为一个或几个特殊数列的和 例 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3a132aa 1 n n1n a n 解 由132aa n n1n 得132aa n n1n 则 112232n1n1nnn a aa aa aa aa a 3 1n 3333 2 3 132 132 132 132 122n1n 122n1n 所以1n32n 31 33 2a n n n 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而132aa n n1n 132aa n n1n 求出 即得数列的通项公式 112232n1n1nn a aa aa aa aa a n 练习 1 已知 n a 满足 1 1 a 1 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式 2 已知 n a 的首项 1 1 a naa nn 2 1 Nn 求通项公式 3 已知 n a 中 3 1 a n nn aa2 1 求 n a 类型 2 型 nn anfa 1 解题思路 利用累乘法 将各式相乘得 1 2 1 1 2 2 1 1 f a a nf a a nf a a n n n n 即得 121 1 2 2 1 1 fnfnf a a a a a a n n n n LL n a 例 4 在数列中 求通项 n a1 1 a 1 1 n n a a n n n a 解 由条件等式得 得 1 1 n n a a n n nn n n n a a a a a a n n n n 1 2 1 1 21 1 2 2 1 1 n an 1 评注 此题亦可构造特殊的数列 由得 则数列是以 1 1 n n a a n n 1 1 1 n n na an n na 为首项 以 1 为公比的等比数列 得 1 a 111 1 1 n n qana n an 1 例 5 设数列 是首项为 1 的正项数列 且则它的通项公式是 2000 年高考 15 题 n a n a 解 原递推式可化为 0 1 11nnnn aanaan 0 nn aa 1 1 1 n n a a n n 则 4 3 3 2 2 1 3 4 2 3 1 2 a a a a a a n n a a n n 1 1 逐项相乘得 即 na an1 1 n a n 1 练习 1 已知 3 1 1 a 1 12 12 nn a n n a 2 n 求数列 n a 的通项 2 已知 n a 中 nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式 类型 3 型 1 0 1 ccdcaa nn 解题思路 利用待定系数法 将化为的形式 从而构造新dcaa nn 1 xacxa nn 1 数列是以为首项 以为公比的等比数列 xan xa 1 c 例 6 数列满足 求 n a212 11 aaa nn n a 解 设 即对照原递推式 便有axax nn 1 2 2 1 xaa nn x 1 故由得 即 得新数列是以 12 1 nn aa 1 21 1 nn aa2 1 1 1 n n a a 1 n a 为首项 以 2 为公比的等比数列 1121 1 a n 1 2 3 即通项 1 21 n n a12 1 n n a 评注 本题求解的关键是把递推式中的常数 作适当的分离 配凑成等比数列的结构 从1 而构造出一个新的等比数列 练习 1 已知 n a 满足 3 1 a 12 1 nn aa 求通项公式 2 已知 n a 中 1 1 a 23 1 nn aa 2 n 求 n a 分析 构造辅助数列 则 1 31 1 nn aa13 n n a 同类变式 1 已知数列满足 且 求通项 na 12 2 1 naa nn 2 1 a n a 分析 待定系数 构造数列使其为等比数列 bknan 即 解得 2 1 1 bknabnka nn 1 2 bk 求得1225 1 na n n 2 已知 1 1 a 2 n 时 12 2 1 1 naa nn 求 n a 的通项公式 解 设 1 2 1 1 BnAaBAna nn BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得 6 4 B A 364 1 a 64 nan 是以 3 为首项 2 1 为公比的等比数列 1 2 1 364 n n na 64 2 3 1 na n n 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3a132a3a 1 n n1n a n 解 两边除以 得 132a3a n n1n 1n 3 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 则 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 故 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a a a a a 3 a 3 a 1 1 1 2 2 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n n n 3 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 22n1nn 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1n 2 22n1nnn 因此 n 1n n n n 32 1 2 1 3 n2 1 31 31 3 1 3 1n 2 3 a 则 2 1 3 2 1 3n 3 2 a nn n 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进132a3a n n1n 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 而求出 即得数列的通项 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n 3 a 3 a 3 a 1 1 1 2 2 3 a n n 公式 最后再求数列的通项公式 a n 类型 4 型 ngaca nn 1 例 7 已知数列的前项和满足 n an n SnaS nn 22 1 写出数列的前 3 项 321 aaa 2 求数列的通项公式 n a 解 1 由 得 22 111 aSa2 1 a 由 得 42 2221 aSaa6 2 a 由 得 321 aaa 62 33 aS14 3 a 2 当时 有 即 2 n 22 11 nnnnn aaSSa22 1 nn aa 令 则 与 比较得 1 2 nn aa 1 2 nn aa2 是以为首项 以 2 为公比的等比数列 2 n a42 1 a 故 11 22 4 2 nn n a22 1 n n a 引申题目 1 已知 n a 中 1 1 a n nn aa22 1 2 n 求 n a 2 在数列 中 求通项公式 n a 342 1 1 11 n nn aaa n a 解 原递推式可化为 3 23 1 1 n n n n aa 比较系数得 4 式即是 34 234 1 1 n n n n aa 则数列是一个等比数列 其首项 公比是 2 34 1 n n a534 11 1 a 即 11 2534 nn n a 11 2534 nn n a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n n n1n 23a2a 2a1 a n 解 两边除以 得 则 n n1n 23a2a 1n 2 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 故数列是以为首 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 a n n 1 2 2 2 a 1 1 2 3 所以数列的通项公式为 2 3 1n 1 2 a n n a n n n 2 2 1 n 2 3 a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数列是 n n1n 23a2a 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 2 a n n 等差数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数列的通项公式 2 3 1n 1 2 a n n a n 4 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 1 1 1 32 3 n nn a aan A 5 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 1 1 3 2 3 n nn a aan A 6 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 6a53a2a 1 n n1n a n 解 设 5xa 25xa n n 1n 1n 将代入 式 得 等式两边消去 n n1n 53a2a n n 1nn n 5x2a25x53a2 n a2 得 两边除以 得 则 x 1 代入 式 n1nn 5x25x53 n 5x25x3 得 5a 25a n n 1n 1n 由 0 及 式 得 则 则数列是以1565a 1 1 05a n n 2 5a 5a n n 1n 1n 5a n n 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 故15a 1 1 1nn n 215a n1n n 52a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 从而 n n1n 53a2a 5a 25a n n 1n 1n 可知数列是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列的通项公 5a n n 5a n n a n 式 类型 5 取倒数 例 8 已知数列 中 其中 且当 n 2 时 求通项公式 n a 1 1 a 12 1 1 n n n a a a n a 解 将两边取倒数得 这说明是一个等差数列 首项 12 1 1 n n n a a a2 11 1 nn aa 1 n a 是 公差为 2 所以 即 1 1 1 a 122 1 1 1 nn an12 1 n an 例 9 数列中 且 求数列的通项公式 na 3 1 1 a 12 2 1 n n n a a a na 提示 1 1 2 11 1 nn aa 例 10 求1 12 11 a a a a n n n nn a 解 即 n nn aa 2 11 1 n nn bb2 1 则 12 1 12221 21 212 1 1 n n nn n n abb 例 11 数列 n a 中 n n n n n a a a 1 1 1 2 2 2 1 a 求 n a 的通项 解 n n n n n a a a 1 1 1 2 21 1 1 2 111 n nn aa 设 n n a b 1 1 1 2 1 n nn bb n nn bb 2 1 1 n nn bb 2 1 1 1 21 2 1 n nn bb 2 32 2 1 n nn bb 3 23 2 1 bb 2 12 2 1 bb n n bb 2 1 2 1 2 1 32 1 n n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n n b 2 12 2 1 2 1 2 1 12 2 n n n a 练习 1 在数列中 求 n a 3 1 11 n n n a a aa n a 类型 6 取对数法 例 12 若数列 中 3 且 n 是正整数 则它的通项公式是 n a 1 a 2 1nn aa n a 解 由题意知 0 将两边取对数得 即 所以数 n a 2 1nn aa nn aalg2lg 1 2 lg lg 1 n n a a 列是以 为首项 公比为 2 的等比设 n n a b 1 1 1 2 1 n nn bb lg n a 1 lga3lg n nn bb 2 1 1 n nn bb 2 1 1 1 21 2 1 n nn bb 2 32 2 1 n nn bb 3 23 2 1 bb 2 12 2 1 bb n n bb 2 1 2 1 2 1 32 1 n n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n n b 2 12 2 1