数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法数列通项公式的十种求法 一 公式法一 公式法 例例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解 两边除以 得 则 故数列 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 是以为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 n n a 1 2 2 2 a 1 1 2 3 所以数列的通项公式为 3 1 1 22 n n a n n a 31 2 22 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数 1 23 2n nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 列是等差数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数 2 n n a3 1 1 22 n n a n 列的通项公式 n a 二 累加法二 累加法 例例 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而 1 21 nn aan 1 21 nn aan 求出 即得数列的通项公式 11232211 nnnn aaaaaaaaa n a 三 累乘法三 累乘法 例例 5 例例 6 2004 年全国 I 第 15 题 原题是填空题 已知数列满足 n a 求的通项公式 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 1 1 2 nn ana n 故 1 1 2 n n a nn a 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 则 又 1231 23 1 2 nn aaaanan 212 22naaa 取得 21 aa 知 则 代入 得 1 1a 2 1a 1 3 4 5 2 n n an 所以 的通项公式为 n a 2 n n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 进而求出 从而可得当的表达式 最后再求出数列 13 2 122 nn nn aaa a aaa 2 n na 时 的通项公式 n a 四 待定系数法四 待定系数法 例例 7 例例 8 的通项公式 最后再求出数列的通项公式 n a 六 迭代法六 迭代法 例例 11 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 121 323 1 232 12 nnn nnn nnn aaa 2 2 1 32 2 1 3 3 2 1 11 2 3 2 1 1 1 2 3 1 2 2 3 2 23 1 2 3 3 2 1 2 3 32 3 2 1 2 1 3 2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn n nnn n a a a a a 又 所以数列的通项公式为 1 5a n a 1 1 2 3 2 5 n n n n n a 评注 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式 即先将等式 两边取常用对数得 即 再 3 1 2 1 n n nn aa 1 lg3 1 2lg n nn ana 1 lg 3 1 2 lg n n n a n a 由累乘法可推知 从而 1 1 2 3 2 132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n n nn n nn aaaa aa aaaa 1 1 3 2 2 5 n n n n n a 七 数学归纳法七 数学归纳法 例例 12 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 评注 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项 进而猜出数列的通 项公式 最后再用数学归纳法加以证明 八 换元法八 换元法 例例 13 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则 即 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 可化为 1 1 3 3 2 nn bb 所以是以为首项 以为公比的等比数 3 n b 11 31243124 132ba 2 1 列 因此 则 即 得 12 11 32 22 nn n b 2 1 3 2 n n b 2 1 124 3 2 n n a 2 111 3 423 nn n a 评注 本题解题的关键是通过将的换元为 使得所给递推关系式转化124 n a n b 形式 从而可知数列为等比数列 进而求出数列的通项公 1 13 22 nn bb 3 n b 3 n b 式 最后再求出数列的通项公式 n a 九 不动点法九 不动点法 例例 14 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx 的两个不动点 因为 2124 41 x f x x 所以数列 1 1 2124 2 24121242 41 1326213 2124 321243 41 92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 是以为首项 以为公比的等比数列 故 2 3 n n a a 1 1 242 2 343 a a 9 13 1 213 2 39 n n n a a 则 1 1 3 13 2 1 9 n n a 评注 本题解题的关键是先求出函数的不动点 即方程的 2124 41 x f x x 2124 41 x x x 两个根 进而可推出 从而可知数列为等比 12 23xx 1 1 2213 393 nn nn aa aa 2 3 n n a a 数列 再求出数列的通项公式 最后求出数列的通项公式 2 3 n n a a n a 例例 15 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 72 2 23 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数的不动点 72 23 x x x 2 2420 xx 1x 31 47 x f x x 因为 所以 1 7255 11 2323 nn n nn aa a aa 2 111 3 423 nn n a 评注 本题解题的关键是通过将的换元为 使得所给递推关系式转化124 n a n b 形式 从而可知数列为等比数列 进而求出数列的通项公 1 13 22 nn bb 3 n b 3 n b 式 最后再求出数列的通项公式 n a 九 不动点法九 不动点法 例例 14 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx 的两个不动点 因为 2124 41 x f x x 所以数列 1 1 2124 2 24121242 41 1326213 2124 321243 41 92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 是以为首项 以为公比的等比数列 故 2 3 n n a a 1 1 242 2 343 a a 9 13 1 213 2 39 n n n a a 则 1 1 3 13 2 1 9 n n a 评注 本题解题的关键是先求出函数的不动点 即方程的 2124 41 x f x x 2124 41 x x x 两个根 进而可推出 从而可知数列为等比 12 23xx 1 1 221