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文档简介

7 8有理数域上的不可约多项式 第七章多项式环 一 整系数多项式的可约性 定义1 本原多项式 例如 本原多项式的加 减运算所得的未必是本原多项式 但相乘之后必是本原多项式 是本原多项式 引理 高斯定理 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式 证 设 都是本原多项式 现考虑 定理1 证 充分性显然 下证必要性 于是 故p 1 从而rs是一个整数 C上不可约多项式只能是一次 R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式 Q上不可约多项式的特征是什么 下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题 问题 定理2 Eisenstein判别法 若存在素数p 使 证 反证法 若 在Q上可约 在Z上可约 即存在 使 其中 但两者不能同时成立 即 现考虑 但p能整除其它项 故 由Eisenstein判别法知 Q上存在任意次不可约多项式 例1 是Q上不可约多项式 p是素数 在Q上是否可约 解 分别取p 2 p 3即知 解 取素数p即知 Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件 但不是必要条件 注意 例 不可约 但找不到素数p 也是本原的 二 整系数多项式的有理根 定理3 设 则 证 有一次因式 即 2 设 是整数 的有理根只能是 定理4 证 由 此课件下
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