数学经典易错题会诊与高考试题预测16

1 经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题预届高考试题预 测 十六 测 十六 考点考点 1616 复数复数 复数的概念 复数的代数形式及运算 复数概念的应用 复数的代数形式及运算 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 复数的概念复数的概念 1 典型例题 若 z1 a 2i z2 3 4i 且 2 1 z z 为纯虚数 则实数 a 的值为 考场错解 z1 a 2i z2 3 4i 25 46 25 83 169 46 83 43 43 43 2 43 2 2 1 i aaiaa ii iiaia z z 又 2 1 z z 为纯虚数 0 25 83 a a 3 8 填 3 8 专家把脉 复数 z a bi a b R 为纯虚数的充要条件是 a 0 且 b 0 因此上面解答虽然 答案是正确的 但解答过程错了 在由 0 25 83 a 解得 a 3 8 时还需满足0 25 46 a 对症下药 z1 a 2i z2 3 4i i aaiaa ii iia i ia z z 25 46 25 83 25 46 83 43 43 43 2 43 2 2 1 2 1 z z 为纯虚数 0 25 46 0 25 83 a a 解得 a 3 8 填 3 8 2 典型例题 z i 1 1 的共轭复数是 A 2 1 2 1 i B 2 1 2 1 i C 1 i D 1 i 2 考场错解 选 C z i 1 1 1 i z 为纯虚数为 1 i 专家把脉 z i 1 1 1 i 是错误的 因为 1 i 1 i 1 i 2 z 1 对症下药 选 B z i 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 i i ii i z i 1 1 的共轭复数是 2 1 2 1 i 3 典型例题 已知复数 z1 3 4i z2 t i 且 21 zz 是实数 则实数 t A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 考场错解 选 C z1 2 z R 2121 zzzz 0 即 3 4i t i 3 4i t i 0 t 3 4 专家把脉 z R z z z 为纯虚数 z z 0 z 0 因此上面解答应用的是 Z 为纯虚数的 充根条件 因而求出的 t 是 z1 2 z为纯虚数的结果 显然是错误的 对诊下药 解法 1 z1 2 z 3 4i t i 3 4i t i z1 2 z为实数 4t 3 0 t 4 3 解法 2 z1 2 z R z1 2 z 21z z 3 4i t i 3 4i t i 3t 4 4t 3 i 3t 4 3 4t i 4t 3 3 4t t 4 3 4 典型例题 已知 z 是复数 z 2i i z 2 均为实数 i 为虚数单位 且复数 2 ai 2 在复平面上对应的点在第一象限 求实数 a 的取值范围 考场错解 设 z x yi x y R z 2i x y 2 i 由题意得 y 2 5 1 2 2 2 i ix i z x 2 2 i 5 1 2x 2 5 1 x 4 i 由题意得 x 4 z 4 2i z ai 2 4 a 2 i 2 12 4a a2 8 a 2 i z ai 2在复平面上的点在第一象限 0 2 8 0412 2 a aa 解得 2 a 6 实数 a 的取值范围是 2 6 3 专家把脉 复数 z a bi a b R 对应点 a b 在第一象限的充要条件是 a 0 b 0 a 0 对应点在虚轴上 b 0 对应点在实轴上 不属于任何象限 因此 a 2 b 6 对症下药 设 z x yi x y R z 2i x y 2 i 由题意得 y 2 又 5 1 2 2 2 2 ii iz i z 2x 2 5 1 x 4 i 由题意得 x 4 z 4 2i z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 根据条件 可知 0 2 8 0412 2 a aa 解得 2 a 6 实数 a 的取值范围是 2 6 专家会诊专家会诊 1 深刻理解复数 实数 虚数 纯虚数 模 辐角 辐角主值 共轭复数的概念和得数 的几何表示 复数 z a bi a b R 与复平面内的点 a b 及向量OP是一一对 应的 在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想 如纯虚数与虚轴上的点对应 实数与实轴上的点对应 复数的模表示复数对应的点到原点的距离 2 要善于掌握化虚为实的转化方法 即设复数 z a bi a b R 但有时给许多问题的 求解带来不必要的运算困难 而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法 则能事半功倍 同时要注意复数几何意义的应用 考场思维训练考场思维训练 1 若复数 i ia 21 3 a R i 为虚数单位 是纯虚数 则实数 a 的值为 A 2 B 4 C 6 D 6 答案 C 解析 6 0 5 23 0 5 5 23 55 23 21 21 21 3 21 3 a a ba i abaiaba ii iia i ia 解得依有题意有 2 复数 z i i 1 1 1 在复平面内 z 所对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 B 解析 z ii ii i i 1 2 1 11 1 1 1 1 11 1 2 Bzi i 内选所对应的点在第二象限 3 设复数 z 满足i z z 1 1 则 1 z 4 A 0 B 1 C 2 D 2 答案 C 解析 由 2 1 1 1 1 1 2 i i i i zi z z 1 z 1 i 211 22 C选 4 已知复数 z1满足 1 i z1 1 5i a2 a 2 i 其中 i 为虚数单位 a R 若 z1 2 z z1 求 a 的取值范围 答案 解 由题意得于是 32 1 51 1 i i i z 13 4 4 24 1 2 21 zaiazz 由 0 78 134 4 22 aaa得 1 a 7 命题角度命题角度 2 2 复数的代数形式及运算复数的代数形式及运算 1 典型例题 复数 i i 21 2 3 A i B i C 22 i D 22 i 考场错解 选 C 22 1 22 21 21 2 21 2 21 2 3 i iii i i i i 专家把脉 上面解答错误认为 i2 1 导致结果错误 对症下药 A 解法 1 3 222 21 21 21 2 21 2 21 2 3 i ii ii ii i i i i 故选 A 解法 2 1 2 2 2 2 21 2 2 3 i i ii i ii i i i 2 典型例题 复数 i i 31 31 5 的值是 A 16 B 16 C 4 1 D 8 8i 3 考场错解 选 D i i ii i i i 388 4 31 2 31 12 31 2 3 2 1 2 31 31 5 3 5 5 3 5 35 5 选 D 专家把脉 上面解答似乎很有 道理 但 2 1 i 2 3 5 2 1 i 2 3 3 3 5 是错误的 zmn zm n在数 范围内 必须是 m n 均正整数时才成立 这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算 5 法则 所以对于数学中的有关定理 定义 法则 性质等 在应用时 必须注意成立的条 件 否则会产生错误 对症下药 选A 原式 2 3 2 1 16 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 555 55 iw ww ww w w i i 令 3 满足条件 z i 3 4i 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 考场错解 选 A 由 z i 3 4i 知 z 在复平面上对应的图形是点 0 1 和 3 4 的垂直平分线 专家把脉 上面解答把条件看成 z i z 3 4i 这类型题应用复数的代数形式 z x yi x y R 代入计算才能确定答案 对症下药 选 C 设 z x yi x y R 代入 z i 3 4i 中计算得 5 1 22 yx即 x2 y 1 2 25 z 的轨迹是表示以 0 1 为圆心 以 5 为半径的圆 选 C 4 05 上海卷 证明 在复数范围内 方程 z 2 1 i z 1 i z i i 2 55 i 为虚数单 位 无解 考场错解 z z 原方程化简为 两边取模的 z 2 1 i 1 i z 1 3i 10 z 2 2i z 10 z 2 10 2i z z R z 2 10 R 而 2i z 为纯虚数或 0 当 z 0 显然不成立 当 2i z 为纯虚数 也不成立 综合得 原方程无解 专家把脉 以上解答错在两边取模的计算 因为 z1 z2 z1 z2 只有当 z1 z2 R 时成立 而从题设条件中是无法得到这一条件的 对症下药 原方程化简为 z 2 1 i z 1 i z 1 3i 设 z x yi x y R 代入上述方程得 x2 y2 2xi 2yi 1 3i 2 322 1 1 22 yx yx 将 2 代入 1 整理得 8x2 12x 5 0 16 0 方程 无实数解 原方程在复数范围内无解 6 专家会诊 1 复数的加 减 乘 除运算一般用代数形式进行 2 求解计算时 要充分利用 i w 的性质 可适当变形 创造条件 从而转化 i w 转化 的计算问题 3 在复数的求解过程中 要注意复数整体思想的把握和运用 考场思维训练考场思维训练 1 i ii 1 21 1 A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 答案 C 解析 2 2 21 2 1 1 21 1 1 21 1 2 i ii ii ii i ii 2 z i i2 i3 i4的值是 A 1 B 0 C 1 D i 答案 B 解析 z i i2 i3 i4 i 1 i 1 0 3 1 31 2 i i 答案 3 2 3 321 1 31 3 2 2 i i i i i i 解析 4 已知复数 z 1 i 求实数 a b 使 az 2bZ a 2z 2 答案 解 z 1 i 代入 az 2b中 2 2 zaz 得 a 1 i 2b 1 i a 2 2i 2即 a 2b a 2 2 4 3a 2b 8 i 0 2 4 1 2 823 04 2 2 2 b a b a ba aba 或解得 5 设 i 是虚数单位 复数 z 和 w 满足 zw 2iz 2iw 1 0 1 若 z 和 w 又满足w z 2i 求 z 和 w 值 答案 012 2 2 01222 2 iwiwiwiwizzwiwzizw中得代入 025605 2 4 0 524 22 xiyyxyixiyixiyixyixRyxyixw wiiwww 则上式可变为设 3 5 5 0 1 0 02 056 22 iziwiziw y x y x x yyx 或 或 2 求证 如果 z 3 那么 w 4i 的值是一个常数 并求这个常数 7 答案 由 wz 2iz 2iw 1 0 有 z w 2i 2iw 1 z w 2i 2iw 1 设 w x yi 则有 44 2 2 2 2222 yyxyxiyxiw 14444 12 212 12 2222 yyxxyxiyiw 又 z 3 故 式可变为 3 x2 y2 4y 4 4x2 4y2 4y 1 x2 y2 8y 11 33 4 331116 168 4 4 4 22 42 且等于的值是常数iw yyx yxiyxiw 探究开放题预测探究开放题预测 预测角度预测角度 1 1 复数概念的应用复数概念的应用 下列命题中 1 两个复数不能比较大小 2 若 z a bi 则当且仅当 a 0 b 0 时 z 为纯虚数 3 z1 z2 2 z2 z3 2 0 则 z1 z2 z3 4 x yi 1 i x y 1 5 若实数 a 与 ai 对应 则实数集与纯虚集一一对应 其中正确的命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解题思路 关键是理解复数及其有关的概念 证明它们之间的关系 若对复数概念理解 不透彻 导致判断失误 解答 选 A 都不正确 1 因为当两个复数是实数时 可以比较大小 2 若 b i 时 则有 z 0 i2 1 R 3 只有当 z1 z2 z3 R 时 命题才成立 当 z1 1 z2 0 z2 i 满足条件 故结论不成立 4 只有当 x y R 时 命题才正确 5 若 a 0 则 a i 0 不再是纯虚数 2 复数 z log2 z2 3x 3 ilog2 x 3 当 x 为何实数时 1 z R 2 z 为虚数 3 z 为纯虚数 4 z log449 i 5 在复平面上 z 的对应 点们于第三象限 解题思路 讨论此类问题时 首先将原式化为复数 z a bi a b R 的形式 然后根据复数的 分类求解 解答 1 一个复数是实数的充要条件是虚部为 0 8 0 3 log 033 2 2 x xx 解得 x 4 当 x 4 时 x R 2 一个复数是虚数的充要条件是虚部非 0 0 3 log 033 2 2 x xx 解得 2 213 x4 即 x 2 213 4 4 时 Z 为虚数 3 一个复数是纯虚数 则其实部为零且虚部不为零 0 3 log 0 33 log 2 2 2 x x xx 解得即 x 不存在 4 log2 x2 3x 3 ilog2 x 3 log49 i 根据两个复数相等的条件 1 3 log 49log 33 log 2 4 2 2 x xx 解得 x 5 当 x 5 时 z log449 i 5 依题意有 0 3 log 0 33 log 2 2 2 x xx 解得 2 213 x 4 当 2 213 x 4 时 复数 z 对应的点位于第三象限 预测角度预测角度 2 2 复数的代数形式及运算复数的代数形式及运算 1 计算 1 31 22 5 4 i i 2 解题思路 利用 w 的性质和 in的周期性进行运算 解答 1 原式 31 2 3 2 1 22 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 6 2 5 22 5 4 iiw w wi w ii 2 原式 2 2 2 1 2 321 321 1003100310032 iii i i i i ii 2 设复数 z i ii 2 1 3 1 2 若 z2 az b 1 i 求实数 a b 的值 解题思路 与实数集中求值问题类似 应先化简后代入求值 解答 z 1 5 55 2 2 2 3 2 3 2 1 32 2 1 3 1 2 i i ii ii i i i ii i ii 9 将 z 1 i 代入 z2 az b 1 i 得 1 i 2 a 1 i b 1 i 即 a b a b i 1 i 4 3 1 2 1 b a a ba 解得 3 若 z c 且 z 2 2i 1 则 z 2 2i 的了小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 解题思路 运用数形结合的思想求解 解答 B z 2 2i 1 即 z 2 2i 1 点 z 的轨迹是以 2 2 为圆心 以 1 为半径的圆 z 2 2i 表示圆上一点到定点 A 2 2 的最小距离 AP AC 1 10 22 22 4 1 3 4 设 z 是虚数 w z z 1 为实数 且 1 w 2 1 求 z 的值及 z 的实部的取值范围 2 设 u z z 1 1 求证 u 为纯虚数 3 求 w u2的最小值 解题思路 设 z a bi a b R b 0 代入 w 整理为 w x yi 形式 w 是实数的条件去创造 等量关系 解答 1 设 z a bi a b R b 0 w a bi 1 2222 i ba b b ba a a bia w 是实数 b 0 a2 b2 1 即 z 1 w 2a 1 w 2 z 的实部的取值范围是 2 1 1 2 u 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 22 22 i a b ba bba bia bia bia bia bia bia z z 又 a 2 1 1 b 0 u 为纯虚数 3 w u2 2a 13223 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a b 2 a 1 1 2 a 即 a 0 2 1 1 时 上式等号成立 w u2的最小值为 1 考点高分解题综合训练 1 已知复数 Z1 3 4i Z2 1 i 则 Z1 2 Z等于 A 7 i B 7 i C 1 7i D 1 7i 10 答案 A 解析 由 z2 1 I 得 7 1 43 1 212 iiizziz 于是 2 在复平面内 设向量 1 p x1 y1 2 p x2 y2 设复数 Z1 x1 y1i x1 y1 x2 y2 R 则 1 p 2 p等于 A 1 ZZ2 2 ZZ1 B 1 ZZ2 Z1 2 Z C 2 1 1 ZZ2 Z1 2 Z D 2 1 1 ZZ2 Z1 2 Z 答案 D 解析 2 1 2 1 2121 2 1221122112121 PPyyxxiyxiyxiyxiyxzzzz 3 若复数Z满足 Z 1 Z i 则Z在复平面所对应的点集合构成的图形是 A 圆 B 直线 C 椭圆 D 双曲线 答案 B 解析 z 1 表示 z 对应的点到 1 0 的距离 z i 表示 z 到对应的点到点 0 1 的距离 z 1 z i 表示复平面内到 1 0 和 0 1 距离相等的点的轨迹 即点 1 0 和 0 1 连结的垂 直平分线 选B 4 设复数Z满足 Z i Z 1 2i3 则复数Z对应的点位于复平面内 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 A 解析 由 2 i z 1 2i3 i3 i 可得 z 5 3 5 4 5 3 5 4 5 34 2 2 2 21 21 Azi i ii ii iz i 位于第一象限选对应的点 5 i i 3 31 2 A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i 答案 C 解析 3 3 31 2 3 31 2 Ci i i i i 选 6 44 1 4 1 2 ii 的值为 A 2 B 2 C 0 D 1 11 答案 B解析 2 2 2 4 2 4 1 4 1 4 1 2 1 2 244 44 i iii ii 7 当Z 2 1 i 时 Z100 Z50 1的值等于 A i B i C 1 D 1 答案 B 解析 1 2 2 2 1 422 zi ii z 1 11 1 242525450100 iiiizzz 8 已知Z1 2 3 21 1 2 i Z Z i i 中Z2 2 Z的值是 A 10 B 10 1 C 10 D 10 10 答案 B 解析 z1 10 71 10 3 21 3 21iii i i 10 1 50 139 50 2 71 2 10 71 22 2 2 2 zzz iii i i z又 9 定义运算 d b c a