新人教版九年级上册全册教案

人教版九年级上册全书教案人教版九年级上册全书教案 第二十一章第二十一章 二次根式二次根式 教材内容教材内容 1 本单元教学的主要内容 二次根式的概念 二次根式的加减 二次根式的乘除 最简二次根式 2 本单元在教材中的地位和作用 二次根式是在学完了八年级下册第十七章 反比例正函数 第十八章 勾股定理及 其应用 等内容的基础之上继续学习的 它也是今后学习其他数学知识的基础 教学目标教学目标 1 知识与技能 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 理解a a 0 是一个非负数 a 2 a a 0 2 a a a 0 3 掌握a b ab a 0 b 0 ab a b a b a b a 0 b 0 a b a b a 0 b 0 4 了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减 2 过程与方法 过程与方法 1 先提出问题 让学生探讨 分析问题 师生共同归纳 得出概念 再对概念 的内涵进行分析 得出几个重要结论 并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化 简 2 用具体数据探究规律 用不完全归纳法得出二次根式的乘 除 法规定 并 运用规定进行计算 3 利用逆向思维 得出二次根式的乘 除 法规定的逆向等式并运用它进行化 简 4 通过分析前面的计算和化简结果 抓住它们的共同特点 给出最简二次根式 的概念 利用最简二次根式的概念 来对相同的二次根式进行合并 达到对二次根式进 行计算和化简的目的 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 通过本单元的学习培养学生 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神 经过探 索二次根式的重要结论 二次根式的乘除规定 发展学生观察 分析 发现问题的能 力 教学重点教学重点 1 二次根式a a 0 的内涵 a a 0 是一个非负数 a 2 a a 0 2 a a a 0 及其运用 2 二次根式乘除法的规定及其运用 3 最简二次根式的概念 4 二次根式的加减运算 教学难点教学难点 1 对a a 0 是一个非负数的理解 对等式 a 2 a a 0 及 2 a a a 0 的理解及应用 2 二次根式的乘法 除法的条件限制 3 利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 教学关键教学关键 1 潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力 突出重点 突破难点 2 培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力 培养学生一丝 不苟的科学精神 单元课时划分单元课时划分 本单元教学时间约需 11 课时 具体分配如下 21 1 二次根式 3 课时 21 2 二次根式的乘法 3 课时 21 3 二次根式的加减 3 课时 教学活动 习题课 小结 2 课时 2121 1 1 二次根式二次根式 第一课时 教学内容教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标教学目标 理解二次根式的概念 并利用a a 0 的意义解答具体题目 提出问题 根据问题给出概念 应用概念解决实际问题 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 形如a a 0 的式子叫做二次根式的概念 2 难点与关键 利用 a a 0 解决具体问题 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们独立完成下列三个问题 问题 1 已知反比例函数 y 3 x 那么它的图象在第一象限横 纵坐标相等的点的 坐标是 问题 2 如图 在直角三角形 ABC 中 AC 3 BC 1 C 90 那么 AB 边的长 是 B A C 问题 3 甲射击 6 次 各次击中的环数如下 8 7 9 9 7 8 那么甲这次射击的 方差是 S2 那么 S 老师点评 问题 1 横 纵坐标相等 即 x y 所以 x2 3 因为点在第一象限 所以 x 3 所 以所求点的坐标 3 3 问题 2 由勾股定理得 AB 10 问题 3 由方差的概念得 S 4 6 二 探索新知二 探索新知 很明显3 10 4 6 都是一些正数的算术平方根 像这样一些正数的算术平 方根的式子 我们就把它称二次根式 因此 一般地 我们把形如a a 0 的式子 叫做二次根式 称为二次根号 学生活动 议一议 1 1 有算术平方根吗 2 0 的算术平方根是多少 3 当 a0 0 4 2 2 1 xy xy x 0 y 0 分析分析 二次根式应满足两个条件 第一 有二次根号 第二 被开方数是正 数或 0 解 二次根式有 2 x x 0 0 2 xy x 0 y 0 不是二 次根式的有 3 3 1 x 4 2 1 xy 例例 2 当 x 是多少时 31x 在实数范围内有意义 分析分析 由二次根式的定义可知 被开方数一定要大于或等于 0 所以 3x 1 0 31x 才能有意义 解 由 3x 1 0 得 x 1 3 当 x 1 3 时 31x 在实数范围内有意义 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P 练习 1 2 3 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 当 x 是多少时 23x 1 1x 在实数范围内有意义 分析分析 要使23x 1 1x 在实数范围内有意义 必须同时满足23x 中的 0 和 1 1x 中的 x 1 0 解 依题意 得 230 10 x x 由 得 x 3 2 由 得 x 1 当 x 3 2 且 x 1 时 23x 1 1x 在实数范围内有意义 例例 4 1 已知 y 2x 2x 5 求 x y 的值 答案 2 2 若1a 1b 0 求 a2004 b2004的值 答案 2 5 五 归纳小结五 归纳小结 学生活动 老师点评 本节课要掌握 1 形如a a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 2 要使二次根式在实数范围内有意义 必须满足被开方数是非负数 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P8复习巩固 1 综合应用 5 2 选用课时作业设计 3 课后作业 同步训练 第一课时作业设计第一课时作业设计 一 选择题一 选择题 1 下列式子中 是二次根式的是 A 7 B 3 7 C x D x 2 下列式子中 不是二次根式的是 A 4 B 16 C 8 D 1 x 3 已知一个正方形的面积是 5 那么它的边长是 A 5 B 5 C 1 5 D 以上皆不对 二 填空题二 填空题 1 形如 的式子叫做二次根式 2 面积为 a 的正方形的边长为 3 负数 平方根 三 综合提高题三 综合提高题 1 某工厂要制作一批体积为 1m3的产品包装盒 其高为 0 2m 按设计需要 底面 应做成正方形 试问底面边长应是多少 2 当 x 是多少时 23x x x2在实数范围内有意义 3 若3x 3x 有意义 则 2 x 4 使式子 2 5 x 有意义的未知数 x 有 个 A 0 B 1 C 2 D 无数 5 已知 a b 为实数 且5a 2102a b 4 求 a b 的值 第一课时作业设计答案第一课时作业设计答案 一 1 A 2 D 3 B 二 1 a a 0 2 a 3 没有 三 1 设底面边长为 x 则 0 2x2 1 解答 x 5 2 依题意得 230 0 x x 3 2 0 x x 当 x 3 2 且 x 0 时 23x x x2在实数范围内没有意义 3 1 3 4 B 5 a 5 b 4 21 121 1 二次根式二次根式 2 2 第二课时 教学内容教学内容 1 a a 0 是一个非负数 2 a 2 a a 0 教学目标教学目标 理解a a 0 是一个非负数和 a 2 a a 0 并利用它们进行计算和化 简 通过复习二次根式的概念 用逻辑推理的方法推出a a 0 是一个非负数 用具 体数据结合算术平方根的意义导出 a 2 a a 0 最后运用结论严谨解题 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 a a 0 是一个非负数 a 2 a a 0 及其运用 2 难点 关键 用分类思想的方法导出a a 0 是一个非负数 用探究的方 法导出 a 2 a a 0 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 口答 1 什么叫二次根式 2 当 a 0 时 a叫什么 当 a0 2 a2 0 3 a2 2a 1 a 1 0 4 4x2 12x 9 2x 2 2 2x 3 32 2x 3 2 0 所以上面的 4 题都可以运用 a 2 a a 0 的重要结论解题 解 1 因为 x 0 所以 x 1 0 1x 2 x 1 2 a2 0 2 a 2 a2 3 a2 2a 1 a 1 2 又 a 1 2 0 a2 2a 1 0 2 21aa a2 2a 1 4 4x2 12x 9 2x 2 2 2x 3 32 2x 3 2 又 2x 3 2 0 4x2 12x 9 0 2 4129xx 2 4x2 12x 9 例例 3 3 在实数范围内分解下列因式 1 x2 3 2 x4 4 3 2x2 3 分析分析 略 五 归纳小结五 归纳小结 本节课应掌握 1 1 a a 0a 0 是一个非负数 是一个非负数 2 2 a 2 2 a a a 0a 0 反之反之 a a a 2 2 a 0a 0 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P8 复习巩固 2 1 2 P9 7 2 选用课时作业设计 3 课后作业 同步训练 第二课时作业设计第二课时作业设计 一 选择题一 选择题 1 下列各式中15 3a 2 1b 22 ab 2 20m 144 二次根 式的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 2 数 a 没有算术平方根 则 a 的取值范围是 A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 二 填空题二 填空题 1 3 2 2 已知1x 有意义 那么是一个 数 三 综合提高题三 综合提高题 1 计算 1 9 2 2 3 2 3 1 2 6 2 4 3 2 3 2 5 2 33 2 2 33 2 2 把下列非负数写成一个数的平方的形式 1 5 2 3 4 3 1 6 4 x x 0 3 已知1xy 3x 0 求 xy的值 4 在实数范围内分解下列因式 1 x2 2 2 x4 9 3x2 5 第二课时作业设计答案第二课时作业设计答案 一 1 B 2 C 二 1 3 2 非负数 三 1 1 9 2 9 2 3 2 3 3 1 2 6 2 1 4 6 3 2 4 3 2 3 2 9 2 3 6 5 6 2 1 5 5 2 2 3 4 3 4 2 3 1 6 1 6 2 4 x x 2 x 0 3 103 304 xyx xy xy 34 81 4 1 x2 2 x 2 x 2 2 x4 9 x2 3 x2 3 x2 3 x 3 x 3 3 略 21 121 1 二次根式二次根式 3 3 第三课时 教学内容教学内容 2 a a a 0 教学目标教学目标 理解 2 a a a 0 并利用它进行计算和化简 通过具体数据的解答 探究 2 a a a 0 并利用这个结论解决具体问题 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 2 a a a 0 2 难点 探究结论 3 关键 讲清 a 0 时 2 a a 才成立 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容 1 形如a a 0 的式子叫做二次根式 2 a a 0 是一个非负数 3 a 2 a a 0 那么 我们猜想当 a 0 时 2 a a 是否也成立呢 下面我们就来探究这个问题 二 探究新知二 探究新知 学生活动 填空 2 2 2 0 01 2 1 10 2 2 3 2 0 2 3 7 老师点评 根据算术平方根的意义 我们可以得到 2 2 2 2 0 01 0 01 2 1 10 1 10 2 2 3 2 3 2 0 0 2 3 7 3 7 因此 一般地 2 a a a 0 例例 1 化简 1 9 2 2 4 3 25 4 2 3 分析分析 因为 1 9 32 2 4 2 42 3 25 52 4 3 2 32 所以都可运用 2 a a a 0 去化简 解 1 9 2 3 3 2 2 4 2 4 4 3 25 2 5 5 4 2 3 2 3 3 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P7练习 2 四 应用拓展四 应用拓展 例例 2 填空 当 a 0 时 2 a 当 aa 则 a 可以是什么数 分析分析 2 a a a 0 要填第一个空格可以根据这个结论 第二空格就不行 应变形 使 2 中的数是正数 因为 当 a 0 时 2 a 2 a 那么 a 0 1 根据结论求条件 2 根据第二个填空的分析 逆向思想 3 根据 1 2 可知 2 a a 而 a 要大于 a 只有什么时候才能保证呢 aa 即使 a a 所以 a 不存在 当 aa 即使 a a a 0 综上 a2 化简 2 2 x 2 1 2 x 分析分析 略 五 归纳小结五 归纳小结 本节课应掌握 2 a a a 0 及其运用 同时理解当 a 2 a 2 a C 2 a 2 a 2 a 2 a 二 填空题二 填空题 1 0 0004 2 若20m是一个正整数 则正整数 m 的最小值是 三 综合提高题三 综合提高题 1 先化简再求值 当 a 9 时 求 a 2 1 2aa 的值 甲乙两人的解答如下 甲的解答为 原式 a 2 1 a a 1 a 1 乙的解答为 原式 a 2 1 a a a 1 2a 1 17 两种解答中 的解答是错误的 错误的原因是 2 若 1995 a 2000a a 求 a 19952的值 提示 先由 a 2000 0 判断 1995 a 的值是正数还是负数 去掉绝对值 3 若 3 x 2 时 试化简 x 2 2 3 x 2 1025xx 答案答案 一 1 C 2 A 二 1 0 02 2 5 三 1 甲 甲没有先判定 1 a 是正数还是负数 2 由已知得 a 2000 0 a 2000 所以 a 1995 2000a a 2000a 1995 a 2000 19952 所以 a 19952 2000 3 10 x 2121 2 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 第一课时 教学内容教学内容 a b ab a 0 b 0 反之ab a b a 0 b 0 及其运 用 教学目标教学目标 理解a b ab a 0 b 0 ab a b a 0 b 0 并利用它 们进行计算和化简 由具体数据 发现规律 导出a b ab a 0 b 0 并运用它进行计算 利用逆向思维 得出ab a b a 0 b 0 并运用它进行解题和化简 教学重难点关键教学重难点关键 重点 a b ab a 0 b 0 ab a b a 0 b 0 及它们 的运用 难点 发现规律 导出a b ab a 0 b 0 关键 要讲清ab a 0 b 0 并验证你的结论 答案答案 一 1 B 2 C 3 A 4 D 二 1 136 2 12s 三 1 设 底面正方形铁桶的底面边长为 x 则 x2 10 30 30 20 x2 30 30 2 x 30 30 2 302 2 a 2 1 a a 2 1 a a a 验证 a 2 1 a a 3 2 22 11 aa a aa 33 222 111 aaaaaa aaa 2 22 1 11 a aa aa 2 1 a a a 2121 2 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 第二课时 教学内容教学内容 a b a b a 0 b 0 反过来 a b a b a 0 b 0 及利用它们进行计算和化 简 教学目标教学目标 理解 a b a b a 0 b 0 和 a b a b a 0 b 0 及利用它们进行运算 利用具体数据 通过学生练习活动 发现规律 归纳出除法规定 并用逆向思维写 出逆向等式及利用它们进行计算和化简 教学重难点关键教学重难点关键 1 重点 理解 a b a b a 0 b 0 a b a b a 0 b 0 及利用它们进行 计算和化简 2 难点关键 发现规律 归纳出二次根式的除法规定 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下列各题 1 写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2 填空 1 9 16 9 16 2 16 36 16 36 3 4 16 4 16 4 36 81 36 81 规律 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 3 利用计算器计算填空 1 3 4 2 2 3 3 2 5 4 7 8 规律 3 4 3 4 2 3 2 3 2 5 2 5 7 8 7 8 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 老师点评 二 探索新知二 探索新知 刚才同学们都练习都很好 上台的同学也回答得十分准确 根据大家的练习和回答 我们可以得到 一般地 对二次根式的除法规定 a b a b a 0 b 0 反过来 a b a b a 0 b 0 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例例 1 计算 1 12 3 2 31 28 3 11 416 4 64 8 分析分析 上面 4 小题利用 a b a b a 0 b 0 便可直接得出答案 解 1 12 3 12 3 4 2 2 31 28 313 83 4 282 3 23 3 11 416 111 16 4164 4 2 4 64 8 64 8 8 22 例例 2 化简 1 3 64 2 2 2 64 9 b a 3 2 9 64 x y 4 2 5 169 x y 分析 直接利用 a b a b a 0 b 0 就可以达到化简之目的 解 1 3 64 33 864 2 2 2 64 9 b a 2 2 648 3 9 bb a a 3 2 9 64 x y 2 93 8 64 xx y y 4 2 5 169 x y 2 55 13 169 xx y y 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P14 练习 1 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 已知 99 66 xx xx 且 x 为偶数 求 1 x 2 2 54 1 xx x 的值 分析 分析 式子 a b a b 只有 a 0 b 0 时才能成立 因此得到 9 x 0 且 x 6 0 即 6 x 9 又因为 x 为偶数 所以 x 8 解 由题意得 90 60 x x 即 9 6 x x 60 和 a b a b a 0 b 0 及其运用 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P15 习题 21 2 2 7 8 9 2 选用课时作业设计 3 课后作业 同步训练 第二课时作业设计第二课时作业设计 一 选择题一 选择题 1 计算 112 121 335 的结果是 A 2 7 5 B 2 7 C 2 D 2 7 2 阅读下列运算过程 133 3333 22 52 5 5555 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作 分母有理化 那么 化简 2 6 的结果 是 A 2 B 6 C 1 3 6 D 6 二 填空题二 填空题 1 分母有理化 1 1 3 2 2 1 12 3 10 2 5 2 已知 x 3 y 4 z 5 那么yzxy 的最后结果是 三 综合提高题三 综合提高题 1 有一种房梁的截面积是一个矩形 且矩形的长与宽之比为3 1 现用直径为 315cm 的一种圆木做原料加工这种房梁 那么加工后的房染的最大截面积是多少 2 计算 1 3 2 nn mm 3 3 1n mm 3 2 n m m 0 n 0 2 3 22 2 33 2 mn a 2 3 2 mn a 2 a mn a 0 答案答案 一 1 A 2 C 二 1 1 3 6 2 3 6 3 10252 22 52 5 2 15 3 三 1 设 矩形房梁的宽为 x cm 则长为3xcm 依题意 得 3x 2 x2 315 2 4x2 9 15 x 3 2 15 cm 3x x 3x2 135 4 3 cm2 2 1 原式 4 25 2 nn mm 3 2 n m 43 25 2 2 nnm mmn 3 222 nnnn n mmmm 2 3 n n m 2 原式 2 22 2 3 2 mn mnaa amnmn 2 2 3 2 a 6a 21 221 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 3 3 第三课时 教学内容教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 教学目标教学目标 理解最简二次根式的概念 并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念 并根据它的特点来检验最后 结果是否满足最简二次根式的要求 重难点关键重难点关键 1 重点 最简二次根式的运用 2 难点关键 会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下列各题 请三位同学上台板书 1 计算 1 3 5 2 3 2 27 3 8 2a 老师点评 3 5 15 5 3 2 27 6 3 8 2a 2 a a 2 现在我们来看本章引言中的问题 如果两个电视塔的高分别是 h1km h2km 那 么它们的传播半径的比是 它们的比是 1 2 2 2 Rh Rh 二 探索新知二 探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果 可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点 二次根式有如下两个特点 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢 如果不是 把它们化成最简二次根式 学生分组讨论 推荐 3 4 个人到黑板上板书 老师点评 不是 1 2 2 2 Rh Rh 1 2 11 222 2 2 hhRhh Rhhh 例例 1 1 1 5 3 12 2 2442 x yx y 3 23 8x y 例例 2 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 2 5cm BC 6cm 求 AB 的长 B A C 解 因为 AB2 AC2 BC2 所以 AB 22 2 56 2 516916913 36 2424 6 5 cm 因此 AB 的长为 6 5cm 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P14 练习 2 3 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 3 观察下列各式 通过分母有理数 把不是最简二次根式的化成最简二次根式 1 21 1 21 21 2 1 21 21 2 1 1 32 1 32 32 32 32 32 3 2 同理可得 1 43 4 3 从计算结果中找出规律 并利用这一规律计算 1 21 1 32 1 43 1 20022001 2002 1 的值 分析 分析 由题意可知 本题所给的是一组分母有理化的式子 因此 分母有理化后就 可以达到化简的目的 解 原式 2 1 3 2 4 3 2002 2001 2002 1 2002 1 2002 1 2002 1 2001 五 归纳小结五 归纳小结 本节课应掌握 最简二次根式的概念及其运用 六 布置作业 1 教材 P15 习题 21 2 3 7 10 2 选用课时作业设计 3 课后作业 同步训练 第三课时作业设计第三课时作业设计 一 选择题一 选择题 1 如果 x y y 0 是二次根式 那么 化为最简二次根式是 A x y y 0 B xy y 0 C xy y y 0 D 以上都不对 2 把 a 1 1 1a 中根号外的 a 1 移入根号内得 A 1a B 1 a C 1a D 1 a 3 在下列各式中 化简正确的是 A 5 3 315 B 1 2 1 2 2 C 4 a b a2 b D 32 xx x1x 4 化简 3 2 27 的结果是 A 2 3 B 2 3 C 6 3 D 2 二 填空题二 填空题 1 化简 422 xx y x 0 2 a 2 1a a 化简二次根式号后的结果是 三 综合提高题三 综合提高题 1 已知 a 为实数 化简 3 a a 1 a 阅读下面的解答过程 请判断是否正确 若不正确 请写出正确的解答过程 解 3 a a 1 a aa a 1 a a a 1 a 2 若 x y 为实数 且 y 22 441 2 xx x 求xyxy A的值 答案答案 一 1 C 2 D 3 C 4 C 二 1 x 22 xy 2 1a 三 1 不正确 正确解答 因为 3 0 1 0 a a 所以 aOC 分析 要证明 OA OB OC 必然把 OA OB OC 转为在一个三角形内 应用两边之和大 于第三边 两点之间线段最短 来说明 因此要应用旋转 以 A 为旋转中心 旋转 60 便可把 OA OB OC 转化为一个三角形内 解 如图 把 AOC 以 A 为旋转中心顺时针方向旋转 60 后 到 AO B 的位置 则 AOC AO B AO AO OC O B 又 OAO 60 AO O 为等边三角形 AO OO 在 BOO 中 OO OB BO 即 OA OB OC 四 归纳小结 学生总结 老师点评 四 归纳小结 学生总结 老师点评 本节课应掌握 中心对称的两条基本性质 1 关于中心对称的两个图形 对应点所连线都经过对称中心 而且被对称中心所 平分 2 关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用 五 布置作业五 布置作业 1 教材 P74 复习巩固 1 综合运用 6 7 2 选作课时作业设计 第二课时作业设计第二课时作业设计 一 选择题一 选择题 1 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A 直角 B 等边三角形 C 直角梯形 D 两条相交直线 2 下列命题中真命题是 A 两个等腰三角形一定全等 B 正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少 C 菱形既是中心对称图形 又是轴对称图形 D 两直线平行 同旁内角相等 3 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠 得到如图的所示的图形 已知 CED 60 则 AED 的大小是 A 60 B 50 C 75 D 55 二 填空题二 填空题 1 关于中心对称的两个图形 对称点所连线段都经过 而且被对称中心 所 2 关于中心对称的两个图形是 图形 3 线段既是轴对称图形又是中心对称图形 它的对称轴是 它的对称中 心是 三 综合提高题三 综合提高题 1 分别画出与已知四边形 ABCD 成中心对称的四边形 使它们满足以下条件 1 以顶点 A 为对称中心 2 以 BC 边的中点 K 为对称中心 2 如图 已知一个圆和点 O 画一个圆 使它与已知圆关于点 O 成中心对称 3 如图 A B C 是新建的三个居民小区 我们已经在到三个小区距离相等的地方 修建了一所学校 M 现计划修建居民小区 D 其要求 1 到学校的距离与其它 小区到学校的距离相等 2 控制人口密度 有利于生态环境建设 试写居民小 区 D 的位置 答案答案 一 1 D 2 C 3 A 二 1 对称中心 平分 2 全等 3 线段中垂线 线段中点 三 1 略 2 作出已知圆圆心关于 O 点的对称点 O 以 O 为圆心 已知圆的半 径为半径作圆 3 连结 AB AC 分别作 AB AC 的中垂线 PQ GH 相交于 M 学校 M 所在位置 就 是 ABC 外接圆的圆心 小区 D 是在劣弧 BC 的中点即满足题意 www 1230 org 初中数学资源网 23 223 2 中心对称中心对称 3 3 第三课时 教学内容教学内容 1 中心对称图形的概念 2 对称中心的概念及其它们的运用 教学目标教学目标 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念 掌握这两个概念的应 用 复习两个图形关于中心对称的有关概念 利用这个所学知识探索一个图形是中心对 称图形的有关概念及其它的运用 重难点 关键重难点 关键 1 重点 中心对称图形的有关概念及其它们的运用 2 难点与关键 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形 教具 学具准备教具 学具准备 小黑板 三角形 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 1 老师口问 口答 关于中心对称的两个图形具有什么性质 老师口述 关于中心对称的两个图形 对称点所连线段都经过对称中心 而且 被对称中心所平分 关于中心对称的两个图形是全等图形 2 学生活动 作图题 1 作出线段 AO 关于 O 点的对称图形 如图所示 AO B A C D O 2 作出三角形 AOB 关于 O 点的对称图形 如图所示 B A O 2 延长 AO 使 OC AO 延长 BO 使 OD BO 连结 CD 则 COD 为所求的 如图所示 二 探索新知二 探索新知 从另一个角度看 上面的 1 题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180 因为 OA OB 所以 就是线段 AB 绕它的中点旋转 180 后与它重合 上面的 2 题 连结 AD BC 则刚才的两个关于中心对称的两个图形 就成平行四 边形 如图所示 AO OC BO OD AOB COD AOB COD AB CD 也就是 ABCD 绕它的两条对角线交点 O 旋转 180 后与它本身重合 因此 像这样 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够与原来 的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对称中心 学生活动 例 1 从刚才讲的线段 平行四边形都是中心对称图形外 每一位同学 举出三个图形 它们也是中心对称图形 老师点评 老师边提问学生边解答 学生活动 例 2 请说出中心对称图形具有什么特点 老师点评 中心对称图形具有匀称美观 平稳 例例 3 3 求证 如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形 B A C D O 分析 中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点 也是对应点间的线段中点 因此 直接可得到对角线互相平分 证明 如图 O 是四边形 ABCD 的对称中心 根据中心对称性质 线段 AC BD 必过 点 O 且 AO CO BO DO 即四边形 ABCD 的对角线互相平分 因此 四边形 ABCD 是平行 四边形 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P72 练习 四 应用拓展四 应用拓展 例例 4 4 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 若将矩形折叠 使 C 点和 A 点重合 求折 痕 EF 的长 分析 将矩形折叠 使 C 点和 A 点重合 折痕为 EF 就是 A C 两点关于 O 点对称 这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用 对称点连线被对称轴垂直平分 进而 转化为中垂线性质和勾股定理的应用 求线段长度或面积 解 连接 AF 点 C 与点 A 重合 折痕为 EF 即 EF 垂直平分 AC AF CF AO CO FOC 90 又四边形 ABCD 为矩形 B 90 AB CD 3 AD BC 4 设 CF x 则 AF x BF 4 x 由勾股定理 得 AC2 BC2 AB2 52 AC 5 OC 1 2 AC 5 2 AB2 BF2 AF2 32 4 x 2 x2 x 25 8 FOC 90 21085 OF2 FC2 OC2 25 8 2 5 2 2 15 8 2 OF 15 8 同理 OE 15 8 即 EF OE OF 15 4 五 归纳小结 五 归纳小结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 中心对称图形的有关概念 2 应用中心对称图形解决有关问题 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P74 综合运用 5 P75 拓广探索 8 9 2 选用作业设计 作业设计作业设计 一 选择题一 选择题 1 下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 A 等边三角形 B 等腰梯形 C 平行四边形 D 正六边形 2 下列图形中 是中心对称图形 但不是轴对称图形的是 A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 平行四边形 3 如图所示 平放在正立镜子前的桌面上的数码 21085 在镜子中的像是 A 21085 B 28015 C 58012 D 51082 二 填空题二 填空题 1 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 那么这个图形叫做 2 请你写出你所熟悉的三个中心对称图形 3 中心对称图形具有什么特点 至少写出两个 三 解答题三 解答题 1 在平面内 如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合 那么就 称这个图形是旋转对称图形 转动的这个角称为这个图形的一个旋转角 例如 正方形 绕着它的对角线的交点旋转 90 后能与自身重合 所以正方形是旋转对称图形 应有一 个旋转角为 90 1 判断下列命题的真假 在相应括号内填上 真 或 假 等腰梯形是旋转对称图形 它有一个旋转角为 180 矩形是旋转对称图形 它有一个旋转角为 180 2 填空 下列图形中是旋转对称图形 且有一个旋转角为 120 是 写出 所有正确结论的序号 正三角形 正方形 正六边形 正八边形 3 写出两个多边形 它们都是旋转对称图形 却有一个旋转角为 72 并且分别 满足下列条件 是轴对称图形 但不是中心对称图形 既是轴对称图形 又是中心 对称图形 2 如图 将矩形 A1B1C1D1沿 EF 折叠 使 B1点落在 A1D1边上的 B 处 沿 BG 折叠 使 D1点落在 D 处且 BD 过 F 点 1 求证 四边形 BEFG 是平行四边形 2 连接 BB 判断 B1BG 的形状 并写出判断过程 D1 C1 B1 A1 B A C E D GF 3 如图 直线 y 2x 2 与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 将 AOB 绕点 O 顺时针旋 转 90 得到 A1OB1 1 在图中画出 A1OB1 2 设过 A A1 B 三点的函数解析式为 y ax2 bx c 求这个解析式 O B A 1 y x 2 答案 答案 一 1 D 2 D 3 D 二 1 中心对称图形 2 答案不唯一 3 答案不唯一 三 1 1 假 真 2 3 例如正五边形 正十五边形 例如正十边 正二十边形 2 1 证明 A1D1 B1C1 A1BD C1FB 又 四边形 ABEF 是由四边形 A1B1EF 翻折的 B1FE EFB 同理可得 FBG D1BG www 1230 org 初中数学资源网 EFB 90 1 2 C1FB FBG 90 1 2 A1BD EFB FBG EF BG EB FG 四边形 BEFG 是平行四边形 2 直角三角形 理由 连结 BB BD1 FC1 BGF D1BG FGB FBG 同理可得 B1BF FB1B B1BG 90 B1BG 是直角三角形 3 解 1 如右图所示 B1 A1 O B A 21 1 y x 2 2 1 1 2 由题意知 A A1 B1三点的坐标分别是 1 0 0 1 2 0 0 1 042 abc c abc 解这个方程组得 1 2 1 2 1 a b c 所求五数解析式为 y 1 2 x2 1 2 x 1 www 1230 org 初中数学资源网 23 223 2 中心对称 中心对称 4 4 第四课时 教学内容教学内容 两个点关于原点对称时 它们的坐标符号相反 即点 P x y 关于原点的对称点 为 P x y 及其运用 教学目标教学目标 理解 P 与点 P 点关于原点对称时 它们的横纵坐标的关系 掌握 P x y 关于原 点的对称点为 P x y 的运用 复习轴对称 旋转 尤其是中心对称 知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系 及其运用 重难点 关键重难点 关键 1 重点 两个点关于原点对称时 它们的坐标符号相反 即点 P x y 关于原点 的对称点 P x y 及其运用 2 难点与关键 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用 它解决实际问题 教具 学具准备教具 学具准备 小黑板 三角尺 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下面三题 1 已知点 A 和直线 L 如图 请画出点 A 关于 L 对称的点 A l A 2 如图 ABC 是正三角形 以点 A 为中心 把 ADC 顺时针旋转 60 画出旋转 后的图形 3 如图 ABO 绕点 O 旋转 180 画出旋转后的图形 老师点评 老师通过巡查 根据学生解答情况进行点评 略 二 探索新知二 探索新知 学生活动 如图 23 74 在直角坐标系中 已知 A 3 1 B 4 0 C 0 3 D 2 2 E 3 3 F 2 2 作出 A B C D E F 点关于原点 O 的中心对称点 并写出它们的坐标 并回答 这些坐标与已知点的坐标有什么关系 3 3 3 O B A C 2 2 1 1 y x 3 4 D 4 2 2 1 1 老师点评 画法 1 连结 AO 并延长 AO 2 在射线 AO 上截取 OA OA 3 过 A 作 AD x 轴于 D 点 过 A 作 A D x 轴于点 D AD O 与 A D O 全等 AD A D OA OA A 3 1 同理可得 B C D E F 这些点关于原点的中心对称点的坐标 学生活动 分组讨论 每四人一组 讨论的内容 关于原点作中心对称时 它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系 纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系 坐 标与坐标之间符号又有什么特点 提问几个同学口述上面的问题 老师点评 1 从上可知 横坐标与横坐标的绝对值相等 纵坐标与纵坐标的绝对 值相等 2 坐标符号相反 即设 P x y 关于原点 O 的对称点 P x y 两个点关于原点对称时 它们的坐标符号相反 即点 P x y 关于原点 O 的对称点 P x y 例例 1 1 如图 利用关于原点对称的点的坐标的特点 作出与线段 AB 关于原点对称的 图形 3 3 3 O B A 2 2 1 1 y x 3 4 4 2 2 1 1 分析 要作出线段 AB 关于原点的对称线段 只要作出点 A 点 B 关于原点的对称点 A B 即可 解 点 P x y 关于原点的对称点为 P x y 因此 线段 AB 的两个端点 A 0 1 B 3 0 关于原点的对称点分别为 A 1 0 B 3 0 连结 A B 则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A B 学生活动 例 2 已知 ABC A 1 2 B 1 3 C 2 4 利用关于原点对 称的点的坐标的特点 作出 ABC 关于原点对称的图形 老师点评分析 先在直角坐标系中画出 A B C 三点并连结组成 ABC 要作出 ABC 关于原点 O 的对称三角形 只需作出 ABC 中的 A B C 三点关于原点的对称点 依次连结 便可得到所求作的 A B C 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P73 练习 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 3 如图 直线 AB 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 将直线 AB 绕点 O 顺时针 旋转 90 得到直线 A1B1 1 在图中画出直线 A1B1 2 求出线段 A1B1中点的反比例函数解析式 3 是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y kx b 我们发现互相平行的两条直线 斜率 k 值相等 它与双曲线只有一个交点 若存在 求此直线的函数解析式 若不存在 请说明理由 3 3 3 O B A 2 2 1 1 y x 3 4 4 2 2 1 1 分析 1 只需画出 A B 两点绕点 O 顺时针旋转 90 得到的点 A1 B1 连结 A1B1 2 先求出 A1B1中点的坐标 设反比例函数解析式为 y k x 代入求 k 3 要回答是否存在 如果你判断存在 只需找出即可 如果不存在 才加予说 明 这一条直线是存在的 因此 A1B1与双曲线是相切的 只要我们通过 A1B1的线段作 A1 B1关于原点的对称点 A2 B2 连结 A2B2的直线就是我们所求的直线 解 1 分别作出 A B 两点绕点 O 顺时针旋转 90 得到的点 A1 1 0 B1 2 0 连结 A1B1 那么直线 A1B1就是所求的 2 A1B1的中点坐标是 1 1 2 设所求的反比例函数为 y k x 则 1 2 1 k k 1 2 所求的反比例函数解析式为 y 1 2 x 3 存在 设 A1B1 y k x b 过点 A1 0 1 B1 2 0 1 02 b kb 1 1 2 b k y 1 2 x 1 把线段 A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线 根据点 P x y 关于原点的对称点 P x y 得 A1 0 1 B1 2 0 关于原点的对称点分别为 A2 0 1 B2 2 0 A2B2 y kx b 1 02 b kb 1 2 1 k b A2B2 y 1 2 x 1 下面证明 y 1 2 x 1 与双曲线 y 1 2 x 相切 1 1 2 1 2 yx y x 1 2 x 1 1 2 x x 2 1 x x2 2x 1 0 b2 4ac 4 4 1 1 0 直线 y 1 2 x 1 与 y 1 2 x 相切 A1B1与 A2B2的斜率 k 相等 A2B2与 A1B1平行 A2B2 y 1 2 x 1 为所求 五 归纳小结五 归纳小结 学生总结 老师点评 本节课应掌握 两个点关于原点对称时 它们的坐标符号相反 即点 P x y 关于原点的对称点 P x y 及其利用这些特点解决一些实际问题 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P74 复习巩固 3 4 2 选用作业设计 作业设计作业设计 一 选择题一 选择题 1 下列函数中 图象一定关于原点对称的图象是 A y 1 x B y 2x 1 C y 2x 1 D 以上三种都不可能 2 如图 已知矩形 ABCD 周长为 56cm O 是对称线交点 点 O 到矩形两条邻边的距离之 差等于 8cm 则矩形边长中较长的一边等于 O B A C D A 8cm B 22cm C 24cm D 11cm 二 填空题二 填空题 1 如果点 P 3 1 那么点 P 3 1 关于原点的对称点 P 的坐标是 P 2 写出函数 y 3 x 与 y 3 x 具有的一个共同性质 用对称的观点写 三 综合提高题三 综合提高题 1 如图 在平面直角坐标系中 A 3 1 B 2 3 C 0 2 画出 ABC 关于 x 轴对称的 A B C 再画出 A B C 关于 y 轴对称的 A B C 那么 A B C 与 ABC 有什么关系 请说明理由 3 3 3 B A C 2 2 1 1 y x3 4 4 2 2 1 1 O 2 如图 直线 AB 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 且 A 0 3 B 3 0 现将直 线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到直线 A1B1 1 在图中画出直线 A1B1 2 求出过线段 A1B1中点的反比例函数解析式 3 是否存在另一条与直线 A1B1平行的直线 y kx b 我们发现互相平行的两条直 线斜率 k 相等 它与双曲线只有一个交点 若存在 求此直线的解析式 若不存在 请 说明不存在的理由 3 3 3 B A 2 2 1 1 y x3 4 4 2 2 1 1 O 答案答案 一 1 A 2 B 二 1 3 1 2 答案不唯一 参考答案 关于原点的中心对称图形 三 1 画图略 A B C 与 ABC 的关系是关于原点对称 2 1 如右图所示 连结 A1B1 2 A1B1中点 P 1 5 1 5 设反比例函数解析式为 y k x 则 y 2 25 x 3 A1B1 设 y k1x b1 1 1 3 033 b k 1 1 1 3 k b y x 3 与 A1B1直线平行且与 y 2 25 x 相切的直线是 A1B1 旋转而得到的 所求的直线是 y x 3 下面证明 y x 3 与 y 2 25 x 相切 3 2 25 yx y x www 1230 org 初中数学资源网 x2 3x 2 25 0 b2 4ac 9 4 1 2 25 0 y x 3 与 y 2 25