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12 5三角形全等的判定 初二 5 6 班 1 一 知识回顾 1 什么叫全等三角形 能够重合的两个三角形叫全等三角形 2 已知 ABC DEF 找出其中相等的边与角 AB DE CA FD BC EF A D B E C F 全等三角形性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 几何语言 全等三角形 的对应边相等对应角相等 题设 结论 ABC DEF AB DE CA FD BC EF A D B E C F 3 把性质定理的题设和结论交换 题设 结论 对应边相等 对应角相等的三角形 是全等三角形 AB DE CA FD BC EF B E C F ABC DEF A D 三角形全等的判定 判定三角形全等是否需要这么条件 4 AB DE CA FD BC EF A D B E C F 1 满足这六个条件可以保证 ABC DEF吗 2 如果只满足这些条件中的一部分 那么能保证 ABC DEF吗 思考 5 1 只给一条边时 3 3 1 只给一个条件 45 2 只给一个角时 45 结论 只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等 探究一 6 两边 两角 一边一角 2 如果满足两个条件 你能说出有哪几种可能的情况 7 如果三角形的两边分别为4cm 6cm时 6cm 6cm 4cm 4cm 结论 两条边对应相等的两个三角形不一定全等 8 三角形的一条边为4cm 一个内角为30 时 4cm 4cm 30 30 结论 一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等 9 如果三角形的两个内角分别是30 45 时 结论 两个角对应相等的两个三角形不一定全等 10 两个条件 两角 两边 一边一角 结论 只给出一个或两个条件时 都不能保证所画的三角形一定全等 一个条件 一角 一边 11 三角 三边 两边一角 两角一边 3 如果满足三个条件 你能说出有哪几种可能的情况 探索三角形全等的条件 12 已知两个三角形的三个内角分别为30 60 90 它们一定全等吗 这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等 三个角 13 已知两个三角形的三条边都分别为3cm 4cm 6cm 它们一定全等吗 三条边 14 知识回顾 1 已知三角形的两边长为6 7 求第三边的取值范围 2 已知等腰三角形的边为7 8 则三角形的周长为 3 三角形的外角和是 4 9边形的内角和 外角和 5 如果三角形的三边分别为5 8 2a 1 则a的取值范围 15 除了SSS外 还有其他情况吗 继续探索三角形全等的条件 思考 2 三条边 1 三个角 3 两边一角 4 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时 有四种情况 SSS 不能 SAS ASA AAS 16 除了SSS外 还有其他情况吗 继续探索三角形全等的条件 思考 2 三条边 1 三个角 3 两边一角 4 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时 有四种情况 SSS 不能 17 继续探讨三角形全等的条件 两边一角 思考 已知一个三角形的两条边和一个角 那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢 图一 图二 在图一中 A 是AB和AC的夹角 符合图一的条件 它可称为 两边夹角 符合图二的条件 通常说成 两边和其中一边的对角 18 1 在下列图中找出全等三角形 19 探索边边角 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗 已知 AC 10cm BC 8cm A 45 ABC的形状与大小是唯一确定的吗 20 探索边边角 SSA不存在 显然 ABC与 AB C不全等 21 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为 边边边 或 SSS 在 ABC和 DEF中 ABC DEF SSS 用符号语言表达为 三角形全等判定方法1 22 三角形全等判定方法2 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS F E D C B A 23 A B D A B C SSA不能判定全等 24 两边及一角对应相等的两个三角形全等吗 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的判定方法 SSS SAS 25 几何语言 在Rt ABC和Rt A B C 中 AB A B BC B C Rt ABC Rt A B C HL 4 斜边 直角边 公理 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 简写为 斜边 直角边 或 HL 26 除了SSS外 还有其他情况吗 继续探索三角形全等的条件 思考 2 三条边 1 三个角 3 两边一角 4 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时 有四种情况 SSS 不能 SAS 27 几何语言 在 ABC和 A B C 中 ABC A B C ASA 3 角边角公理 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 28 几何语言 在 ABC和 A B C 中 ABC A B C AAS 4 角角边公理 AAS 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 29 除了SSS外 还有其他情况吗 继续探索三角形全等的条件 思考 2 三条边 1 三个角 3 两边一角 4 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时 有四种情况 SSS 不能 SAS HL ASA AAS 30 在 ABC与 A B C 中 ABC A B C SSS 用符号语言表达 1 边边边公理 SSS 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 31 证明 D是BC中点 BD DC 在 ABD与 ACD中 ABD ACD SSS 例1 如图 有一个三角形钢架 AB AC AD是连接点A与BC中点D的支架 求证 ABD ACD 32 归纳 准备条件 证全等时要用的条件要先证好 三角形全等书写三步骤 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论 证明的书写步骤 33 三步走 准备条件 摆齐条件 得结论 注重书写格式 34 练习 已知 如图 AB AD BC DC 求证 ABC ADC A B C D AC AC AB AD BC DC ABC ADC SSS 证明 在 ABC和 ADC中 已知 已知 公共边 35 如图 ABC和 EFD中 AB EF AC ED 点B D C F在一条直线上 1 添加一个条件 由 SSS 判定 ABC EFD 2 在 1 的基础上 求证 AB EF 36 BC CB DCB BF CD 1 填空题 解 ABC DCB理由如下 AB CDAC BD ABC z SSS 1 如图 AB CD AC BD ABC和 DCB是否全等 试说明理由 或BD FC 37 已知 如图 四边形ABCD中 AD CB AB CD求证 A C A C D B 分析 要证两角或两线段相等 常先证这两角或两线段所在的两三角形全等 从而需构造全等三角形 构造公共边是常添的辅助线 1 2 3 4 38 几何语言 在 ABC和 A B C 中 ABC A B C SAS 2 边角边公理 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 SAS 39 例 如图 AC BD CAB DBA 你能判断BC AD吗 说明理由 证明 在 ABC与 BAD中 AC BD CAB DBAAB BA ABC BAD SAS 已知 已知 公共边 BC AD 全等三角形的对应边相等 40 例如图 有一池塘 要测池塘两端A B的距离 可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C 连接AC并延长至D 使CD CA 连接BC并延长至E 使CE CB 连接ED 那么量出DE的长就是A B的距离 为什么 41 证明 在 ABC和 DEC中 ABC DEC SAS AB DE 全等三角形的对应边相等 42 证明 在 ABE和 ACD中 ABE ACD ASA AE AD 例1如图 点D在AB上 点E在AC上 BA AC B C 求证 AD AE 43 证明 DAB EAC DAC EAB AE BE AD DC D E 90 在 ADC和 AEB中 例2如图 AE BE AD DC CD BE DAB EAC 求证 AB AC 44 ADC AEB AAS AC AB 例2如图 AE BE AD DC CD BE DAB EAC 求证 AB AC 证明 45 练习如图 E F在线段AC上 AD CB AE CF 若 B D 求证 DF BE 证明 AD CB A C AE CF AF CE 在 ADF和 CBE中 46 练习如图 E F在线段AC上 AD CB AE CF 若 B D 求证 DF BE ADF CBE AAS DF BE 证明 47 练习1如图 C是路段AB的中点 两人从C同时出发 以相同的速度分别沿两条直线行走 并同时到达D E两地 DA AB EB AB D E与路段AB的距离相等吗 为什么 48 如图 AB CD AE BC DF BC 垂足分别为E F CE BF 求证 AE DF 49 如图 D是 ABC的BC边上的中点 DE AC DF AB 垂足分别为E F 且DE DF 求证 ABC是等腰三角形 50 经验总结 三角形全等判定方法的灵活运用 证明三角形全等时 一般需要3个条件 如果已知两组边相等 就试着去找第三边或两边的夹角 利用 SSS SAS 来证明 如果已知两组角相等 就试着去找一组边 利用 AAS ASA 来证明 51 课堂练习 1 已知 如图 AB AD AC AE 1 2 求证 ABC ADE 2 已知 如图 AE是 ABC的中线 D是BC延长线上一点 且CD AB BCA BAC 求证 AD 2AE A B C D E 点评 这里 1和 2不是所证三角形中的角 BAC和 DAE才是三角形的内角 所以须证 BAC DAE 才能满足 三个条件 分析 通过添加辅助线 构造全等三角形是一种常用的思考方法 若已知条件中有中线 常延长中线成两倍关系 构成全等三角形 F 52 证明题 3 已知 如图 AD BC AD CB 求证 AB CD 4 已知 如图 1 2 BD CA 求证 A D 提示 先证 ABC ADC 53 求证 1 AE CF 2 AE CF 3 AFE CEF 5 已知 如图 B F E D在一条直线上 AB CD BF ED B D 提示 先证 ABE DCF 6 已知 如图 ABC为直线 EB AC BD BC AB BE 求证 AF EC 提示 求证 ABD EBC 得 A E 因为 ADB EDF A ADB 90 所以 E EDF 90 AF EC 54 已知 如图 点A B C D在同一条直线上 AC DB AE DF EA AD FD AD 垂足分别是A D 求证 EAB FDC 55 已知 如图 AB AC AD AE 1 2 求证 ABD ACE 证明 1 2 1 E