数列复习教学案（印）

1 数列复习教学案数列复习教学案 基础知识 一 数列的基本概念 1 数列的定义 数列是按一定的顺序排列的一列数 数列的一般形式为 a1 a2 an 简记为 an 其中 an是数列 an 的第 项 2 数列的通项公式 一个数列 an 的 与 之间的函数关系 如果可用一 个公式 an f n 来表示 我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 3 数列的递推公式 数列的递推公式是已知数列的 或 利用其任意项 或 来给出数列的一种方法 由递推公式可求出数列的每一项 4 数列 an 的前 n 项的和 Sn 二 等差数列二 等差数列 1 等差数列的定义式 d d 为常数 或 d d 为常数 2 等差数列的通项公式 an a1 d an am d 3 等差数列的前 n 项和公式 Sn Sn 4 等差中项 如果 a b c 成等差数列 则 b 叫做 a 与 c 的等差中项 即 b 5 判断数列 an 是等差数列的两个重要结论 利用定义 数列 an 的通项公式可写成 an pn q p q R 即为关于 n 的一次函数 数列 an 的前 n 项和公式可写成 Sn an2 bn a b R 即为关于 n 的二次函数 且常数项为 0 6 等差数列 an 的两个重要性质 m n p q N 若 m n p q 则 数列 an 的前 n 项和为 Sn S2n Sn S3n S2n成 数列 三 典型例题 等差数列中 若条件中有两个方程 一般都可以代入通项公式或者前 项和 列方程组求解 例 1 在等差数列 an 中 1 已知 a15 10 a45 90 求 a60 2 已知 S12 84 S20 460 求 S28 3 已知 a6 10 S5 5 求 a8和 S8 在等差数列 an 中 a3 9 a9 3 则a12 A 0 B 3 C 6 D 3 等差数列中 见 两项的和 一般都要考虑性质 若 m n p q 则 例 1 在等差数列 an 中 a5 3 a6 2 则 a4 a5 a10 2 在等差数列 an 中 则 962 1581 aaa 109 a a A 24 B 22 C 20 D 8 等差数列 an 中 已知 a5 a7 10 Sn是数列 an 的前 n 项和 则 S11 2 A 45 B 50 C 55 D 60 等差数列的证明 一般利用性质 只需证明后一项与前一项的差等于个常数即可 即 例如 已知数列 an 满足 a1 2a an 2a n 2 其中 a 是不为 0 的常数 令 bn 1 2 n a a aan 1 求证 数列 bn 是等差数列 求数列 an 的通项公式 三 等比数列 1 等比数列的定义 q q 为不等于零的常数 2 等比数列的通项公式 an an 3 等比数列的前 n 项和公式 Sn 1 1 q q 4 等比中项 如果 a b c 成等比数列 那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项 即 b2 或 b 5 等比数列 an 的几个重要性质 m n p q N 若 m n p q 则 Sn是等比数列 an 的前 n 项和且 Sn 0 则 Sn S2n Sn S3n S2n成 数列 典型例题 已知等比数列 条件中有两个方程 一般都可以代入通项公式或者前 项和 列方程组求解 例 1 已知等比数列 an a2 8 a5 512 1 求 an 的通项公式 2 令bn log2an 求数列 bn 的前n项和Sn 练习 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 S6 4S3 则a4 设各项均为实数的等比数列 an 的前n项和为Sn 若S10 10 S30 70 则S40 A 150 B 200 C 150 或 200 D 400 或 50 3 等比数列中 见 两项的积 一般都要考虑性质 若 m n p q 则 例 设各项都为正数的等比数列 an 中 若第五项与第六项的积为 81 则 log3a1 log3a2 log3a10的值是 A 5 B 10 C 20 D 40 已知等比数列 an 中 a1 a9 64 a3 a7 20 则 a11 等比数列的证明 一般利用性质 只需证明后一项与前一项的比等于个常数即可 即 例如 2009 陕西 21 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 n N an an 1 2 1 令bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 在数列 an 中 a1 2 n N 134 1 naa nn 1 证明数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的前 n 项和 Sn 一 不知道数列类型 常见的题型有 1 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 求 an 做题步骤 例 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 求通项 Sn 3n 2 Sn n2 3n 1 4 变式训练 1 已知数列 an 的前 n 项的和 Sn满足关系式 lg Sn 1 n n N 则数列 an 的通项公式为 2 已知数列 an 的前n项和Sn n3 则a3 a6的值为 A 91 B 152 C 218 D 279 3 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2 an 1 则a2等于 A 4 B 2 C 1 D 2 2 已知数列 an 的递推公式 求 an 类型一 若递推公式是 an 1 an f n 的形式 则采用累加法 做题步骤 例如 已知数列 an 中 a1 20 an 1 an 2n 1 则数列 an 的通项公式 an a1 1 an n 2 求an 1 1 3 n n a 在数列 an 中 a1 1 an 1 an 2n 求an 类型二 若递推公式是 f n 的形式 则采用累乘法 n n a a 1 做题步骤 例如 在数列 an 中 an 1 an a1 4 求an n 2 n a1 1 an n 2 求an 1 1 n a n n 5 三 数列求和 求数列的前 n 项和 一般有下列几种方法 1 等差数列的前 n 项和公式 Sn 针对练 2009 重庆 5 设 an 是公差不为 0 的等差数列 a1 2 且 a1 a3 a6成 等比数列 则 an 的前 n 项和 Sn A B C D n2 n n2 4 7n 4 n2 3 5n 3 n2 2 3n 4 2 等比数列的前 n 项和公式 当 q 1 时 Sn 当 q 1 时 Sn 针对练 2009 辽宁 17 本小题满分 12 分 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 S3 S2 成等差数列 1 求 an 的公比 q 2 若 a1 a3 3 求 Sn 3 倒序相加法 将一个数列倒过来排列与原数列相加 主要用于倒序相加后对应项之和有 公因子可提的数列求和 4 错位相减法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 针对练 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn bn an 2n 求数 2 1 2 Nn an 列 bn 的前 n 项和 Tn 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n2 bn 为等比数列 且 a1 b1 b2 a2 a1 b1 求数列 an 和 bn 通项公式 设 Cn 求数列 Cn 前 n 项和 Tn n n b a 5 裂项求和法 把一个数列分成几个可直接求和的数列 针对练 1 数列前 n 项