第8章-静电场中的导体与电介质

第八章第八章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 问题问题 8 18 1 有人说 某一高压输电线的电压有 因此你不可与之接触 500 kV 这句话是对还是不对 维修工人在高压输电线路上是如何工作的 解解 这种说法不正确 可以利用空腔导体的静电屏蔽原理 使维修工人穿上导 电性能良好的屏蔽服 电场不会深入到人体 从而可以保证维修工人的安全 8 28 2 将一个带电小金属球与一个不带电的大金属球相接触 小球上的电荷会 全部转移到大球上去吗 解解 不会 带电小金属球与不带电的大金属球相接触后会达到静电平衡 内部 电场强度为零 若小球上的电荷全部转移到大球上去 则两球组成的整体内部电场 强度不可能为零 8 38 3 在高压电器设备周围 常围上一接地的金属栅网 以保证栅网外的人安 全 试说明其道理 解解 这是利用空腔导体的静电屏蔽作用 金属栅网就是一个金属壳体 将栅网 接地 栅网外部将不受栅网内部电场的影响 8 48 4 在绝缘支柱上放置一闭和的金属球壳 球壳内有一人 当球壳带电并且 电荷越来越多时 他观察到的球壳表面的电荷面密度 球壳内的场强是怎样的 当 一个带有跟球壳相异电荷的巨大带电体移近球壳时 此人又将观察到什么现象 此 人处在球壳内是否安全 解解 带电金属球壳由于静电平衡 电荷分布于球壳表面 当电荷越多 球壳表 面的电荷面密度增大 球壳内场强为零 当带有异号电荷的巨大带电体移近球壳时 会发生放电现象 由于静电屏蔽作用 球壳空间电场不受外部空间场强的影响 所 以人处于球壳内不会有危险 8 58 5 电介质的极化现象和导体的静电感应现象有些什么区别 解解 导体的静电感应现象是在外电场作用下导体中的自由电荷作定向运动而使 自由电荷重新分布 电介质的极化现象是在外电场的作用下介质表面产生极化电荷 二者有着实质的区别 静电感应所产生的电荷是导体内部的自由电荷 而极化现象 中出现在介质表面上的电荷则是束缚电荷 而且它们形成的方式也不同 静电感应 是导体内部自由电荷的运动 而极化实质是电介质内部电偶极矩的产生 8 68 6 在下列情况下 平行平板电容器的电势差 电荷 电场强度和所贮的能 量将如何变化 1 断开电源 并使极板间距加倍 此时极板间为真空 2 断 开电源 并使极板间充满相对电容率的油 3 保持电源与电容器两极 r 2 5 相连 使极板间距加倍 此时极板间为真空 4 保持电源与电容器两极相连 使极板间充满相对电容率的油 r 2 5 解解 设最初平行平板电容器的电容为 电势差为 电荷为 电场强度CUQ 为 所贮的能量为 我们可以根据 E e WCs d CQ U EQs 等来判断不同情况下各物理量的变化 e 1 2 WQU 1 断开电源 极板间距加倍即变为 电荷不变 电场强度不变 d2dQE 电势差 所贮的能量增为 2U e 2W 2 断开电源 并使极板间充满相对电容率的油 电荷不变 电场 r 2 5 Q 强度减为 电势差减少为 所贮的能量减少为 E r E r U er W 3 保持电源与电容器两极相连 使极板间距加倍 极板间为真空 电容器电 容变为原来的一半 电势差不变 电荷减少为原来的一半 电场强度减少为原来的 一半 所贮的能量也减少为原来的一半 4 保持电源与电容器两极相连 极板间充满相对电容率的油 电容 r 2 5 器的电容为原来的倍 即 电势差不变 电荷增为原来的倍 所贮的能 r 2 5C r 量增加为原来的倍 r 8 78 7 一平行板电容器被一电源充电后 将电源断开 然后将一厚度为两极板 间距一半的金属板放在两极板之间 试问下述各量如何变化 1 电容 2 极 板上面电荷 3 极板上的电势差 4 极板间的电场强度 5 电场的能量 解解 设极板间距为 断开电源后电容器带电为 插入金属板达到静电平dQ 衡后 金属板与电容器极板相对应的两表面分别带上大小为的异种感应电荷 Q 此时的电容器可以看作是两个带电为 间距为的平行板电容器的串联 则Q4d 插入金属板后的电容为 即为原来的两倍 极板上电荷不变 极板上的电 0 2s d 势差为原来的 极板内除金属板内电场强度为零 剩余空间场强不变 电场能1 2 量减少为原来的 1 2 8 88 8 如果圆柱形电容器的内半径增大 使两柱面之间的距离减为原来的一半 此电容器的电容是否增大为原来的两倍 解解 不是 圆柱形电容器电容 其中为外半径 为内半 0r BA 2 ln l C RR B R A R 径 设两柱面间距为 即 当两柱面之间的距离减为原来的一半 d BA RRd 即 此时 BA 2RRd 2CC 8 98 9 1 一个带电的金属球壳里充满了均匀电介质 外面是真空 此球壳的 电势是否等于 为什么 2 若球壳内为真空 球壳外是无限大均匀 0r 1 4 Q R 电介质 这时球壳的电势为多少 为球壳上的自由电荷 为球壳半径 为QR r 介质的相对电容率 解解 1 此时球壳内的电势等于 2 若均匀电介质充满球壳外空 0 1 4 Q R 间 球壳电势为 0r 1 4 Q R 8 108 10 把两个电容各为和的电容器串联后进行充电 然后断开电源 把 1 C 2 C 它们改成并联 问它们的电能是增加还是减少 为什么 解解 两电容器串联后电容器等效电容为 小于之前两电容器的电容 12 12 C C CC 并联后两电容器的等效电容为 大于之前电容器的电容 可见两电容器并 12 CC 联后的等效电容大于串联后的等效电容 又因为充电后断开电源 串联与并联的两 种情况电容器电荷总量不变 由可知 改为并联之后电能减少 Q 2 e 1 2 Q W C 习题习题 8 18 1 一真空二极管 其主要构件是一个半径的圆柱型阴极 4 1 5 0 10mR 和一个套在外 半径为的同轴圆筒型阳极 阳极电势比阴极电势 3 2 4 5 10mR 高 阴极和阳极的长均为 假设电子从阴极射出时的初速300 V 2 2 5 10mL 度为零 求 1 该电子到达阳极时所具有的动能和速率 2 电子刚从阴极射出时 所受的力 解解 由于二极管内圆柱半径远远小于圆柱长 所以可将两极看作 1 RL 两无限长同轴圆柱面 两极之间的电场呈轴对称分布 1 电子从阴极射出 初速度为零 经过两极电场受到电场力的作用 到达阳 极时所获得的动能等于电场力所作的功 即电势能的减少 所以 17 kP 4 8 10JEEeV 此时 电子所具有的速度为 71 k 21 03 10 m svEm 2 由高斯定理可知 两极间距离中心轴为的一点处电场强度为r 0 2 r r Ee 两极间的电势差为 22 11 2 001 ln 22 RR RR R Vddr rR Er 其中负号表示阴极电势比阳极电势低 由上可知 阴极附近的电场强度为 2 1 1 ln r V R R R Ee 其中300 VV 所以电子刚从阴极射出时所受的电场力为 14 4 37 10N r e FE e 8 28 2 一导体球半径为 外罩一半径为的同心薄导体球壳 外球壳所带 1 R 2 R 总电荷为 而内球的电势为 求此系统的电势和电场分布 Q 0 V 解解 假设内球带电量为 当达到静电平衡后 q 两球电荷分布如图所示 由于导体球壳电荷分布呈 球对称 我们可以取半径为同心球面为高斯面 由r 高斯定理可得此系统各区域的电 0 s dq A ES 场分布为 1 0Er 1 rR 2 2 0 4 q Er r 12 RrR 3 2 0 4 qQ Er r 2 rR 利用电势与电场强度的积分关系 可得各区域电势分布如下 当时 1 rR 12 12 1123 RR rrRR V rdddd ElElElEl 0102 44 qQ RR 当时 12 RrR 2 2 223 R rrR V rddd ElElEl 1 R 2 R q q Qq 002 44 qQ rR 当时 2 rR 33 0 4 rr qQ V rdd r ElEl 又由题意可得 内球的电势为 即 0 V 10 0102 44 qQ VV RR 所以内球带电量为 1 010 2 4 R qRVQ R 将值带入到各区域电场 电势表达式中可得q 当时 1 rR 1 0E 10 VV 当时 12 RrR 101 2 22 02 4 RVRQ E rR r 1 10 2 02 4 rR QRV V rR r 当时 2 rR 21 10 3 22 02 4 RR QRV E rR r 21 10 3 02 4 RR QRV V rR r 8 38 3 在两块面积均为且相互平行带电薄导体板 A B 之间 平行插入两块不S 带电薄导体板 C D 如图 a 其中 A 和 C C 和 D D 和 B 的间距均为 已3d 知 C D 未插入时 A B 之间的电势差为 1 分析各导体板上的电荷分布 求U 各区域的电场强度和电势差 2 用导线将 C D 相连后 如图 AC U CD U DB U b 将导线撤去 再求 1 3 最后用导线将 A B 相连 如图 c 然 后断开 再求 1 ACDB 3d3d3d q q q qq q a ACDB q q q q b ACDB 1 q 1 q 2 q 2 q 1 q 1 q c 解解 1 根据静电平衡条件 设板 A 内表面带电为 则平衡后电荷分布如q a 所示 各板间电场为匀强电场且电场强度相同 所以有 3 ABCDDB U UUU 123 U EEEE d 0 0 SU qSES d 2 用导线将 C D 相连后断开 则 此时电荷分布如图 b 所示 0 CD U 由于 C D 板电势相等 所以 C D 之间电场强度为零 既 由静电平衡知 2 0E A 与 C D 与 B 相对的表面电荷分布不变 所以这两个区域内的电势与场强分布不 变 即 1 3 ACDB UUU 13 U EE d 3 用导线将 A B 相连后断开 则 静电平衡后电荷分布如图 c 0 AB U 所示 由于导体板 C D 分别所带的电荷仍不变 即 1 0 12 SU qqq d 又因为 A B 电势差为零 即 2 121 000 0 333 AB qqqddd U SSS 由 1 2 式可得 0 1 3 S qU d 0 2 2 3 S qU d 所以 C D 之间的电场强度与电势差为 2 2 3 U E d 2 9 CD UU A 与 C D 与 B 之间的电场强度和电势差分别为 13 3 U EE d 1 9 ACDB UUU 8 48 4 如图所示 在真空中将半径为的金属球接地 在与球心相距为 ROr 处放置一点电荷 不计接地导线上电荷的影响 求金属球表面上的感应rR q 电荷总量 解解 由题可知 金属球为等势体 且电势为 零 设金属球表面感应电荷总量为 其内任 q 意一点的电势等于球外点电荷与球面上感应电q 荷在球心激发的电势的叠加 又感应电荷 q O 在球心处激发的电势为 球外点电荷在球心激发的电势为O 0 4 q V R O 由上分析可知在球心的电势为 0 4 q V r O 00 0 44 O qq V rR 所以 金属球表面的感应电荷总量为 R qq r 8 58 5 有一个平板电容器 充电后极板上电荷面密度为 52 0 4 5 10C m 现将两极板与电源断开 然后再把相对电容率为的电介质插入两极板之间 r 2 0 此时电介质中的和各为多少 DE 解解 电容器冲电后断开电源 插入电介质 极板上自由电荷面密度不变 由介质 中的高斯定理可得介质中的电位移矢量大小为 0 D 52 4 5 10C m 其方向由正极板指向负极板 由可得介质中的电场强度大小为 0r DE 61 0r 2 5 10 V m D E 其方向也是由正极板指向负极板 8 68 6 在一半径为的长直导线外套有氯丁橡胶绝缘护套 护套外半径为 1 R 2 R 相对电容率为 设沿轴线单位长度上导线的电荷密度为 试求介质层内的 r O R q q r 和 DE 解解 我们可将此导线看作无限长 且自由电荷均匀分布 于表面 导线上自由电荷密度为 同时在绝缘介质层内 外表面分别有极化电荷产生 且呈轴对称分布 由电荷分布的对称性 我们可以取与导线同轴 半径为 r 长为的圆柱面为高斯面 如图 由介质中的高斯定理有L 2 S dDrL L A DS 即 2 r r De 由可得介质层内的电场强度为 0r DE 0r0r 2 r r D Ee 8 78 7 地球和电离层可当作一个球形电容器 它们之间相距约为 试估100 km 算地球 电离层系统的电容 设地球与电离层之间为真空 解解 地球相当于球形电容器的内壳层 电离层相当于电容器的外壳层 即 6 1 6 37 10 mR 56 21 1 00 10 m6 47 10 mRR 由球形电容器电容公式可得 2 12 0 21 44 58 10F R R C RR 8 88 8 两线输电线的导线半径为 两线中心相距 输电线位于3 26 mm0 50 m 地面上空很高处 因而大地影响可以忽略 求输电线单位长度的电容 解解 由教材 8 4 节例 4 可知两输电线的电势差为 0 ln dR U R 所以 输电线单位长度的电容为 0 ln C dR U R 又导线半径远小于两线间距 所以Rd l 1 R 2 R r 12 0 4 86 10F ln C d R 8 98 9 如图所示 两块相距为的薄金属板 A B 构成的空气平板电容器 0 50 mm 被屏蔽在一个金属盒 金属盒上 下两壁与 A B 分别相距 金属板K0 25 mm 面积为 求 1 被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍 2 若电容 2 30 40 mm 器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰 问此时的电容又为原来的几倍 解解 1 薄金属板 A B 与金属盒一起相当 于三个电容器串联构成的一个回路 如图 a 其中为 A B 板构成 为 A 板与金属盒上 1 C 2 C 壁构成 由 B 板与金属盒 X 下壁构成 3 C A B 间的等效电容相当于 串联之后再 2 C 3 C 与并联所得的电容 又 1 C 所以 因此 123 22ddd 231 2CCC A B 间的总电容为 23 11 23 2 CC CCC CC 即被屏蔽后电容器电容增大为原来的 2 倍 2 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰 相当于或极板短接 如 2 C 3 C 图 被短接的电容为零 则总电容为 b 1 3CC 即被屏蔽后电容器电容增大为原来的 3 倍 8 108 10 如图所示 在点和点A 之间有五个电容器 其连接如图所B 示 1 求 两点之间的等效电AB 容 2 若 之间的电势差为AB K A B 1 C 2 C 3 C A B a 1 C 2 C A B b 2 8 FC 1 4 FC 3 6 FC 4 2 FC 5 24 FC ACDB 求 12 V AC U CD U DB U 解解 1 由电容器的串 并联可得 之间电容为 AC 12 12F AC CCC 之间电容为CD 34 8F CD CCC 所以之间电容满足AB 5 1111 ABACCD CCCC 由上可知 之间等效电容为AB 4F AB C 2 由于 ABABAB UQC ACACAC UQC CDCDCD UQC DBDBDB UQC 根据 各处电流相等可知 所以有ABCD ABACCDDB QQQQ 4 V AB ACAB AC C UU C 6 V AB CDAB CD C UU C 2 V AB DBAB DB C UU C 8 118 11 一片二氧化钛晶片 其面积为 厚度为 把平行平 2 1 0 cm0 10 mm 板电容器的两极板紧贴在晶片两侧 求 1 电容器的电容 2 电容器两极加上 电压时 极板上的电荷为多少 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少 12 V 3 求电容器内的电场强度 解解 1 二氧化钛相对电容率为 将平行板电容器充满此介质后 其电 r 173 容 9 0r 1 53 10F S C d 2 若在电容器两极加上电压 极板上的电荷12 V 8 1 84 10CQCU 此时极板上自由电荷面密度 42 0 1 84 10C m Q S 晶片表面极化电荷面密度为 42 r 00 r 1 1 83 10C m 3 电容器内的电场强度 51 1 2 10 V m U E d 8 128 12 如图所示 球形电极浮在相对电容率为的油槽中 球的一半浸 r 3 0 没在油中 另一半在空气中 已知电极所带净电荷 问球的上下 6 0 2 0 10CQ 两部分各有多少电荷 解解 由于球形导体一半浸在油中 一半在空 气中 球面电荷不再是均匀分布 上下两部分电 荷也不相同 但由于静电平衡 导体为一个等 势体 我们可以将导体球等效为两个孤立半球 电容器的并联 这两个半球电容器分别处于空 气和油中 处于空气中的上半球的电容为 10 2CR 处于油中的下半球的电容为 20r 2CR 设这上 下两个半球所带电荷分别为 则 1 Q 2 Q 120 QQQ 又两个半球电势相等 即 1122 Q CQC r R 由以上两式可得上下两半球所带的电荷分别为 6 1 100 12r 1 0 50 10C 1 C QQQ CC 6 2r 200 12r 1 5 10C 1 C QQQ CC 8 138 13 如图 有一空气平板电容器极板面积为 间距为 现将该电容器Sd 接在端电压为的电源上充电 当 1 充足电后 2 然后平行插入一块面积U 相同 厚度为 相对电容率为的电介质板 3 将上述电介质换为相 d r 同大小的导体板时 分别求极板上的电荷 极板间的电场强度和电容器的电QE 容 C 解解 1 空气平板电容器电容 0 0 S C d 将电容器接在电源上充电 两极板间电势差等 于为电源端电压 充电后 极板上的电荷为 0 00 S QC UU d 极板间电场强度为 0 EU d 2 插入电介质板后 两极板间电势差保持不变 设极板上电荷为 则有 1 Q 11 00r QQ Ud SS 此时电容器电容为 0r 11 r S CQ U d 极板上电荷为 0r 1 r SU Q d 极板间空气中电场强度为 1r 1 0r QU E Sd d S U 介质中电场强度为 1 1 0rr QU E Sd 3 若将介质换为导体板 达到静电平衡后 导体为等势体 此时的电容器相 当于极板间距减少为 其电容和极板上的电荷分别为 d 0 2 S C d 0 2 S QU d 空气中电场强度为 2 U E d 导体中电场强度为 2 0E 8 148 14 如图所示 在平板电容器中填入两种介质 每一种介质各占一半体积 试证其电容为 0r1r2 2 S C d 证明证明 此电容器可视为极板面积均为 分2S 别充满相对电容率为 的两个平板电容器的 r1 r2 并联 这两个平板电容器的电容分别为 0r1 1 2 S C d 0r2 2 2 S C d 所以原平板电容器的电容为 0r1r2 12 2 S CCC d 8 158 15 为了实时检测纺织品 纸张等材料的厚度 待测材料可视为相对电容率 为的电介质 通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置 其中 A B 为平 r 板电容器的导体极板 为两极板间的间距 试说明检测原理 并推出直接测量 0 d 量电容与间接测量量厚度之间的函数关系 如果要检测铜板等金属材料的厚Cd 度 结果又将如何 d r1 r2 S 解解 将待测材料 厚度为 平行放置于平板电容器两极板间 由 8 13 题第d 2 问可知 此时电容器的电容与材料厚度之间的关系式为 0r 0r0 S C ddd 当我们直接测得电容 由上式即可得到待测材料的厚度C 0rr 0 rr 11 S dd C 以此判断待测材料是否符合要求 如果要检测金属材料的厚度 同样将材料平行放于电容器两极板间 由 8 13 题第 3 问可知 此时电容器的电容与材料厚度之间的关系为 0 0 S C dd 0 0 S dd C 8 168 16 有一平行平板电容器 两极板间被厚度为的聚四氟乙烯薄膜0 01mm 所隔开 求该电容器的额定电压 解解 聚四氟乙烯的击穿电场强度为 所以此电容器两极 71 b 1 9 10 V mE 板间的电场强度应满足 同时极板间所能承受的最大电压 即额定电压的 b EE 大小为 b 190 VUE d 8 178 17 一空气平板电容器 空气层厚 两极间电压为 这电容1 5cm40 kV 器会被击穿吗 现将一厚度为的玻璃板插入此电容器 并与两板平行 若0 30 cm 该玻璃的相对电容率 击