数学经典易错题会诊与高考试题预测2

1 经典易错题会诊与经典易错题会诊与 20122012 届高考试题届高考试题 预测预测 二二 考点考点 2 2 函数函数 1 1 函数的定义域和值域 函数单调性的应用 函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 综合运用函数奇偶性 周期性 单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域函数的定义域和值域 1 典型例题 对定义域 Df Dg的函数 y f x y g x 规定 函数 h x gf gf gf DxDxxg DxDxxf DxDxxgxf 且当 且当 且当 1 若函数 f x 1 1 x g x x2 写出函数 h x 的解析式 2 求问题 1 中函数 h x 的值域 考场错解考场错解 1 f x 的定义域 Df为 1 1 g x 的定义域 Dg为 R h x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x x x x x 2 当 x 1 时 h x 1 2 x x x 1 1 1 x 2 4 或 h x 1 1 x 0 0 h x 的值域为 4 当 x 1 时 h x 1 综合 得 h x 的值域为 1 4 专家把脉专家把脉 以上解答有两处错误 一是当 x Df但 x Dg时 应是空集而不是 x 1 二是求 h x 的值域时 由 x 1 求 h x x 1 1 1 x 2 的值域应分 x 1 和 x1 则 x 1 0 h x 2 1 1 1 x x 2 4 当且仅当 x 2 时等号成立 若 x 1 则 x 1 0 h x x 1 1 1 x 2 2 2 0 当且仅当 x 0 时等号成 立 当 x 1 时 h x 1 综上 得 h x 的值域为 0 1 4 2 典型例题 记函数 f x 1 3 2 x x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a x a 1 的定义域为 B 1 求 A 2 若 B A 求实数 a 的取值范围 考场错解考场错解 1 由 2 3 3 x x 0 得 1 1 x x 0 x 1 或 x 1 即 A 1 1 2 由 x a 1 2a x 0 得 x a 1 x 2a 0 当 a 1 时 B B A 当 a2a B 2a a 1 B A 2a 1 或 a 1 1 即 a 2 1 或 a 2 而 a 1 2 1 a 1 或 a 2 故当 B A 时 实数 a 的取值范围是 2 2 1 1 专家把脉专家把脉 由函数的概念知函数的定义域为非空集合 所以错解中 a 1 时 B 说 明函数不存在 因此 a 1 不适合 对症下药对症下药 1 由 2 3 3 x x 0 得 1 1 x x 0 x 1 或 x 1 即 A 1 1 2 由 x a 1 2a x 0 得 x a 1 x 2a 0 当 a 1 时 B 定义域为非空集合 a 1 当 a2a B 2a a 1 B A 2a 1 或 a 1 1 即 a 2 1 或 a 2 而 a 2 3 专家把脉专家把脉 求集合 N 时解不等式 1 1 2 x 0 两边同乘以 x 1 不等号不改变方向 不符合不等式性质 应先移项化为 xg xf 0 的形式再转化为有理不等式 求解 另外定义 域不可能为非空集合 N 显然是错误的 对症下药对症下药 1 由 2x 3 0 得 x 2 3 M x x 2 3 由 1 1 2 x 0 得 1 0 1 3 0 1 3 x xx x x x 3 或 x 1 N x x 3 或 x 2 3 x x 3 或 x 1 x x 3 M N x x 2 3 x x 3 或 x 1 x x 2 3 或 x0 D y y 0 考场错解考场错解 选 A 或 B 专家把脉专家把脉 错误地认为是求函数 y 2 x和 y 1 x的定义域的交集 实际上是求两函 数的值域的交集 对症下药对症下药 集合中的代表元素为 y 两集合表示两函数的值域 又 M y y 2 x y y 0 P y y 1 x y y 0 M P y y 0 故选 C 专家会诊专家会诊 1 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围 必须对字母 酌取值情况进行讨论 特别注意定义域不能 为空集 2 求函数的值域 不但要重视对应法则的作用 而且要特别注意定义域对值域的 4 制约作用 考场思维训练考场思维训练 1 若函数 y lg 4 a 2x 的定义域为 R 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 0 2 C 2 D 0 答案 D 解析 4 a 0 0 2 4 2 4 02 aRaR xx x 上恒成立在的解集为 2 已知函数 f x 的值域是 2 3 则函数 f x 2 的值域为 A 4 1 B 0 5 C 4 1 0 5 D 2 3 答案 D 解析 f x 2 的图象是把 f x 的图象向右平移 2 个单位 因此 f x 2 的值域不变 3 已知函数 f x lg x2 2mx m 2 1 若该函数的定义域为 R 试求实数 m 的取值范围 答案 解析 1 由题设 得不等式 x2 2mx m 2 0 对一切实数 x 恒成立 2m 2 4 m 2 0 解得 1 m0 g x x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成立 即 0 1 1 2 1 2 g a 或 4 1 a 2 8a 0 或 0 1 1 2 1 2 g a 5 解得 a 故 f x 在 1 1 上不可能为单调函数 专家把脉专家把脉 上面解答认为 f x 为单调函数 f x 就只能为单调增函数 其实 f x 还 有可能为单调减函数 因此应令 f x 0 或 f x 0 在 1 1 上恒成立 对症下药对症下药 f x ex x2 2ax ex 2x 2a ex x2 2 1 a x 2a f x 在 1 1 上是单调函数 1 若 f x 在 1 1 上是单调递增函数 则 f x 0 在 1 1 上恒成立 即 ex x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成 立 ex 0 g x x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成立 则有 0 1 11 g a 或 4 1 a 2 8a 0 或 0 1 11 g a 解得 a 2 若 f x 在 1 1 上是单调递减函数 则 f x 0 在 1 1 上恒成立 ex x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成立 ex 0 h x x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成立 则有 4 3 043 01 0 1 0 1 a ah h 当 a 4 3 时 f x 在 1 1 上是单调函数 2 典型例题 已知函数 f x ax 1 2 x x a 1 1 证明 函数 f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明方程 f x 0 没有负数根 考场错解考场错解 1 设 1 x1 x2 f x2 f x1 ax2 1 2 1 2 1 11 2 2 x x a x x x ax2 ax1 1 2 1 2 1 1 2 2 x x x x 0 f x 在 1 上是增函数 2 设 x0为方程 f x 0 的负数根 则有 ax0 1 2 0 0 x x 0 即 ax0 1 2 0 0 x x 1 1 3 0 x x0 1 当 1 x0 0 时 0 x0 13 1 0 1 3 x 2 而 a 1 ax0 f x1 而只是象征性地令 f x2 f x1 0 这是许多学生解这类题的一个通病 第 2 问错 在把第 1 问的条件当成第 2 问的条件 因而除了上述证明外 还需证明 x0 1 时 方程 6 也没有负根 对症下药对症下药 1 设 1 x10 又 a 1 ax2 x1 1 而 1 x10 x2 1 0 f x2 f x1 0 f x 在 1 上为增函数 2 设 x0为方程 f x 0 的负数根 则有 ax0 1 2 0 0 x x 0 即 ax0 1 1 3 1 2 0 0 0 0 x x x x 1 1 3 0 x 显然 x0 1 当 0 x0 1 时 1 x0 1 0 0 1 3 x 3 1 0 1 3 x 2 而 a 1 axO 1 的解 当 x0 1 时 x0 1 0 0 1 3 x 0 矛盾 即不存在 x01 时 x3 ax 0 在 2 1 0 上不可能成立 专家把脉专家把脉 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断 而只是考虑函数的定 义域 这样的答案肯定是错误的 对症下药对症下药 设 x x3 ax 7 当 0 a 1 时 依题意 x 在 2 1 0 上单调递减且 x 在 2 1 0 上大于 0 x 3x2 a 即 x 0 在 2 1 0 上恒成立 a 3x2在 2 1 0 上恒成立 x 2 1 0 3x2 0 4 3 a 4 3 此时 x 0 4 3 a1 时 x 在 2 1 0 上单调递增 x 3x2 a 0 在 2 1 0 上恒成立 a 3x2在 2 1 0 上恒成立 又 3x2 0 4 3 a 0 与 a 1 矛盾 a 的取值范围是 4 3 1 故选 B 专家会诊专家会诊 1 讨论函数单调性必须在定义域内进行 因此讨论函数的单调性必须求函数定义域 2 函数的单调性是对区间而言的 如果 f x 在区间 a b 与 c d 上都是增 减 函 数 不能说 f x 在 a b c d 上一定是增 减 函数 3 设函数 y f u u g x 都是单调函数 那么复合函数 y f g x 在其定义域上也是 单调函数 若 y f u 与 u g x 的单调性相同 则复合函数 y f g x 是增函数 若 y f u u g x 的单调性相反 则复合函数 y f g x 是减函数 列出下表以助记忆 y f u u g x y f g x 上述规律可概括为 同性则增 异性则减 考场思维训练考场思维训练 1 函数 f x 对任意实数 x 都有 f x f x 1 那么 A f x 是增函数 B f x 没有单调减区间 C f x 可能存在单调增区间 也可能不存在单调减区间 D f x 没有单调增区间 8 C 解析 根据函数单调性定义进行判断 2 函数 y 2 1 log x2 3x 2 的单调增区间是 单调递减区间是 解析 1 2 根据复合函数单调性法则进行求解 3 如果函数 f x 的定义域为 R 对于任意实数 a b 满足 f a b f a f b 1 设 f 1 k k 0 试求 f n n N 答案 解析 1 1 1 0 1 1 1 1 1 nkffnfkknfkf nf nf fnfnf nn 为公比的等比数例为首项是以 2 设当 x 0 时 f x 1 试解不等式 f x 5 1 xf 答案 2 对任意的 0 0 0 0 0 0 2 22 2 xfRx xfxfxxfxxxfxfxxfRx x f xx fxfRx ooooooo 必有于是对任意 这与已知相矛盾则有则取使假定存在 f 0 f 0 0 f2 0 0 f 0 1 设 x1 x2 则 x1 x21 又 f x2 0 f x1 f x1 x2 x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x 为 R 上的减函数 解不等式 f x 5 1 xf f x 0 不等式等价于 f x 5 f x 1 即 f 2x 5 f 0 又 f x 为减函数 2x 51 时 要使 f x 在区间 2 4 上 是减函数 则有 a a a a 4 1 8 1 0 4 4 2 1 9 当 0 a 1 时 要使 f x 在 2 4 上是减函数 则有 2 1 2 1 4 1 0 2 2 2 1 a a a a 即1 2 1 a 综合 得存在实数 a 且 a 的范围为 1 2 1 命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用函数的奇偶性和周期性的应用 1 典型例题 定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x f x 2 当 x 3 4 时 f x x 2 则 A f sin 2 1 f cos 2 1 B f sin 3 f cos 3 C f sin1 f cos1 D f sin 2 3 f cos 2 3 考场错解考场错解 A 由 f x f x 2 知 T 2 为 f x 的一个周期 设 x 1 0 知 x 4 3 4 f x f x 4 x 4 2 x 2 f x 在 1 0 上是增函数 又 f x 为偶函数 f x f x x 0 1 时 f x x 2 即 f x 在 0 1 上也是增函数 又 sin 2 1 cos 2 1 f sin 2 1 f cos 2 1 专家把脉专家把脉 上面解答错在由 f x f x 得 f x x 2 这一步上 导致错误的原因主要 是对偶函数图像不熟悉 对症下药对症下药 C 由 f x f x 2 知 T 2 为 f x 的一个周期 设 x 1 0 知 x 4 3 4 f x f x 4 x 4 2 x 2 f x 在 1 0 上是增函数 又 f x 为偶函数 f x 的图像关于 y 轴对称 f x 在 0 1 上是减函数 A sin 2 1 f cos 2 1 B sin 3 cos 3 2 f sin 3 f cos 3 C sin1 cos1 f sin1 f cos1 故正确答案 C 2 典型例题 若函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 在 0 上是减函数 且 f 2 10 0 则使得 f x 0 的 x 的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 考场错解考场错解 C f x f x 0 f 2 x 2 或 x 2 专家把脉专家把脉 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反 错误地认为 f x 在 0 上仍是减函数 导致答案选错 对症下药对症下药 D f x 是偶函数 f x f x f x f x 0 f x f 2 又 f x 在 0 上是减函数 f x 在 0 上是增函数 x 2 2 x 2 选 D 3 典型例题 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且 y f x 的图像关于直线 x 2 1 对称 则 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 考场错解考场错解 填 f 0 f x 是定义在 R 上的奇函数 f x f x 又 f x 的图 像关于 x 2 1 对称 f x f 1 x f x f x 1 0 f x f x 1 0 f 5 f 4 0 f 3 f 2 0 f 1 f 0 0 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 f 0 专家把脉专家把脉 上面解答忽视了奇函数性质的运用 即 f x 在 x 0 处有定义 f 0 0 对症下药对症下药 填 0 依题意 f x f x f x f 1 x f x f 1 x 即 f x f 1 x 0 f x f x 1 0 f 5 f 4 0 f 3 f 2 0 f 1 f 0 0 又 f x 在 x 0 处有定义 f 0 0 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 f 1 f 0 O 4 典型例题 设函数 f x 在 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且 在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 1 试判断函数 y f x 的奇偶性 2 试求方程 f x 0 在闭区间 2005 2005 上根的个数 并证明你的结论 考场错解考场错解 依题意 f x f 4 x f x f 14 x f 4 x f 14 x f x f x 10 f x 是以 10 为周期的函数 f 3 0 f 3 f 7 0 f 3 f 3 f 3 f x 既是奇函数又是偶函数 2 由 1 知 f x 是周期为 10 的周期函数 又 f 3 f 1 0 f 11 f 13 f f 9 0 故 f x 在 0 10 上有两个解 从而可知函数 y f x 在 0 2005 上有 401 个解 2005 0 上有 401 个解 所以函数丁 y f x 在 2005 2005 上有 802 个解 专家把脉专家把脉 1 对题意理解错误 题设中 在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 说明除了 f 1 f 3 等于 0 外再不可能有 f 7 0 2 因 f x 在 R 上既不是奇函数 又不 是偶函数 不能认为 x 0 10 10 0 上各有两个解 则认为在 0 2005 与在 11 2005 0 上解的个数相同是错误的 并且 f x 0 在 0 2005 上解的个数不是 401 个 而 是 402 个 对症下药对症下药 由 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 得函数丁 y f x 的对称轴为 x 2 和 x 7 从而知函数 y f x 不是奇函数 由 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf f 4 x f 14 x f x f x 10 从而知 f x 是 周期为 10 的周期函数 又 f 3 f 1 0 而 f 7 f 3 0 故函数 y f x 是非奇非偶函数 2 由 1 知 f x 是以周期为 10 的周期函数 f 1 f 11 f 2001 0 f 3 f 13 f 2003 0 f x 0 在 0 2005 上共有 402 个解 同理可求得 f x 0 在 2005 0 上共有 400 个 解 f x 0 在 2005 2005 上有 802 个解 专家会诊专家会诊 1 函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断有时需要将函数进行 化简 2 要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性 要充分利用 f x 与 f x 之间的转化 关系和图像的对称性解决有关问题 3 解题中要注意以下性质的灵活运用 1 f x 为偶函数 f x f x f x 2 若奇函数 f x 的定义域包含 0 则 f 0 0 考场思维训练考场思维训练 1 f x 是定义在 R 上的偶函数 且 g x 是奇函数 已知 g x f x 1 若 g 1 2006 则 f 2006 的值为 A 2005 B 2005 C 2006 D 2006 答案 D 解析 由题设条件易得 f x 4 f x f 2006 f 2 又 f 2 g 1 2006 f 2006 2006 2 函数 f x lg 1 x2 g x 1 2 1 0 1 2 xx xhx xx tan2x 中 是偶函数 答案 解析 f x g x 运用奇偶性定义进行判断 3 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且对任意实数 x 恒满足 f x 2 f x 当 x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 12 答案 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为 4 的周期函数 2 当 x 2 4 时 求 f x 的解析式 答案 当 x 2 0 时 x 0 2 由已知得 f x 2 x x 2 2x x2 又 f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当 x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 因而求得 x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 计算 0 f 1 f 2 f 2004 答案 f 0 0f 2 0f 1 1f 3 1 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2000 f 2001 f 2002 f 2003 0 又 f 2004 f 0 0 f 0 f 1 f 2 f 2004 0 4 设 a b R 且 a 2 定义在区间 b b 内的函数 f x lg x ax 21 1 是奇函数 求 b 的 取值范围 答案 解析 f x lg 21 1 bxb x ax 是奇函数 等价于 对任意 x b b 都有 0 21 21 x ax xfxf 式即为 lg 1 21 lg 21 1 ax x x ax 即 a2x2 4x2 此式对任意 x b b 都成立相当于 a2 4 a 2 a 2 代入 2 得0 21 21 x x 13 即 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 的取值范围为所以得都成立相当于此式对任意bbbbbxx 命题角度 4 反函数的概念和性质的应用反函数的概念和性质的应用 1 典型例题 函数 f x x2 2ax 3 在区间 1 2 上存在反函数的充分必要条件是 A a 1 B a 2 C a 1 2 D a 1 2 考场错解考场错解 选 A 或 B a 1 f x 在区间 1 2 上是增函数 f x 存在 反函数 当 a 2 对称轴 x a 在区间 1 2 的右侧 f x 在 1 2 上是减函 数 f x 存在反函数 专家把脉专家把脉 上面解答只能说明 A 或 B 是 f x 存在反函数的充分条件 并不是充要条 件 对症下药对症下药 一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是 单调函数 对称轴 x a 不应在 1 2 内 a 1 或 a 2 故选 C 2 典型例题 y 2 2xx 1 x 2 的反函数是 A y 1 2 1x 1 x 1 B y 1 2 1x 0 x 1 C y 1 2 1x 1 x 1 D y 1 2 1x 0 x 1 考场错解考场错解 C y2 2x x2 x 1 2 1 y2 x 1 2 1y x 1 2 1y x y 对换得 y 1 2 1x 又 1 x2 0 1 x 1 因而 f x 的反函数为 y 1 2 1x 1 x 1 专家把脉专家把脉 上面解答有两处错误 一 1 x 2 x 1 0 由 x 1 2 1 y2开方取 正号 而不是取 负号 二 反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到 而不是由 反函数解析式确定 对症下药对症下药 B 由 y 2 2xx x 1 2 1 y2 x 1 2 x 1 0 x 1 2 1y 1 2 1y x y 对换得 y 1 2 1x 又 14 y 1 1 2 22 xxx 1 x 2 0 y 1 即原函数值域为 0 1 所以反函数为 y 1 2 1x 0 x 1 选 B 3 典型例题 设 f 1 x 是函数 f x 2 1 ax a x a 1 的反函数 则使 f 1 x 1 成立 的 x 的取值范围为 A a a 2 1 2 B a a 2 1 2 C a a 2 1 2 a D a 考场错解考场错解 C y 2 1 ax a x a2x 2y ax 1 0 ax 2 122 2 yy y 1 2 y x loga y 1 2 y x y 对换 f 1 x loga x 1 2 x x R 又 f 1 x 1 loga x 1 2 x 1 x 1 2 x a 1 2 x a x a a x ax 2 1 2 a a 2 1 2 x1 loga x 132 1 x 1 2 x a 1 2 x a x a a xa xax xa 2 1 0 1 0 2 22 或 x 解法 2 利用原函数与反函数的定丈域 值域的关系 原题等价于 x 1 时 f x 2 1 ax a x 的值域 f x 2 1 ax a x 在 R 上单调递增 f x 2 1 a a 1 a a 2 1 2 选 A 4 典型例题 设函数 f x 的图像关于点 1 2 对称 且存在反函数 f 1 x f 4 0 f 1 4 考场错解考场错解 填 0 y f x 的图像关于点 1 2 对称 又 f 4 0 f 0 4 f 1 4 0 15 专家把脉专家把脉 上面解答错在由图像过点 4 0 得到图像过点 4 0 上 因为 f x 图像 关于点 1 2 对称不是关于 y x 对称 因此应找出图像过点 2 4 是关键 对症下药对症下药 填 2 解法 1 f 4 0 f x 的图像过点 4 0 又 f x 的图像关于点 1 2 对称 f x 的图像过点 2 4 4 0 即 2 4 f 2 4 f 1 4 2 解法 2 设 y f x 上任一点 P x y 关于点 1 2 对称的点为 P 2 x 4 y 依题意 4 y f 2 x 4 f x f 2 x f x f 2 x 4 令 x 4 f 4 f 2 4 又 f 4 0 f 2 4 f 1 4 2 专家会诊专家会诊 1 求反函数时必须注意 1 由原解析式解出 x f 1 y 如求出的 x 不唯一 要根据条 件中 x 的范围决定取舍 只能取一个 2 要求反函数的定义域 即原函数的值域 2 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成 3 若点 a b 在原函数 y f x 的图像上 则 b a 在反函数 y f 1 x 的图像上 考场思维训练考场思维训练 1 函数 y 3x2 1 1 x 0 的反函数是 A y x 3 log1 x 3 1 B y x 3 log1 x 3 1 C y x 3 log1 3 1 x 1 D y x 3 log1 3 1 x 1 答案 D 解析 由 y 3x2 1得 x2 1 log3y 1 xx1时 有 f x2 f x1 x2 x1成立 如果 k 2 证明 3 4 x xf 2 3 解题思路解题思路 1 用反证法证明 2 用反证法先证 f x x 再运用函数单调性进行放 缩 解答解答 1 假设 f x x f x 在 0 上是增函数 且 f f x x f x f f x x f x 这与假设矛盾 f x x 不可能成立 同理可证 f x x 也是不可能成立的 综合 得 f x x 2 先证 f x x 假设存在 x0 0 使得 f x0 x0 若 f x0 x0 则 f f x0 f x0 即 2x0 f x0 x0 x0矛盾 若 f x0 x0 由条件可知 f x 在 0 上是增 函数 且 f x0 0 f f x0 f x0 即 2x0 f x0 2x0 x0 x0 x 因此 f f f x f f x f f x f x f x x 即 2f x 2x 2x f x f x x 17 解得 3 4 x xf 2 3 预测角度 2 综合运用函数奇偶性 周期性 单调性进行命题综合运用函数奇偶性 周期性 单调性进行命题 1 设 f x 是定义在 1 1 上的偶函数 当 x 1 0 时 f x g 2 x 且当 x 2 3 时 g x 2a x 2 4 x 2 3 1 求 f x 的表达式 2 是否存在正实数 a a 6 使函数 f x 的图像的最高点在直线 y 12 上 若存在 求出正实数 a 的值 若不存在 请说明理由 解题思路解题思路 1 运用函数奇偶性和条件 f x g 2 x 可求得 f x 的解析式 2 利用 导数可求得 f x 的最大值 令最大值等于 12 可知是否存在正实数 a 解答解答 1 当 x 1 0 时 2 x 2 3 f x g 2 x 2a x 4 x 3 4x3 2ax 得 f x 4x3 2ax x 1 0 y f x 在 1 1 上是偶函数 当 x 0 1 时 f x f x 4x3 2ax f x 1 024 0124 3 3 xaxx xaxx 2 命题条件等价于 f x max 12 因为 f x 为偶函数 所以只需考虑 0 x 1 的情 况 求导 f x 12x2 2a 0 x 1 a 6 由 f x 0 得 x 6 a 或 x 6 a 舍 6 a 1 当 0 x 1 时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 12 a 8 综上 存在 a 8 使得 f x 的图像的最高点在直线 y 12 上 2 函数 y f x 是偶函数 且是周期为 2 的周期函数 当 x 2 3 时 f x x 1 在 y f x 的图像上有两点 A B 它们的纵坐标相等 横坐标都在区间 1 3 上 定点 C 的坐 标为 0 a 其中 a 2 求 ABC 面积的最大值 解题思路解题思路 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出 f x 在 0 1 和 1 2 时的解析 式 再利用图象设出 A b 的坐标 然后以 A B 的纵坐标作为自变量建立面积函数关系 借助函数关系式即可求得 S ABC的最大值 解答解答 f x 是以 2 为周期的周期函数 当 x 2 3 时 f x x 1 当 x 0 1 时 f x f x 2 x 2 1 x 1 又 f x 是偶函数 当 x 1 0 时 f x f x x 1 x 1 当 x 1 2 时 f x f x 2 x 2 1 x 3 设 A B 的纵坐标为 t 1 t 2 并设 A 在 B 的左边 则 A B 的横坐标分别为 3 t t 1 则 AB t 1 3 t 2t 2 ABC 的面积 S 2 1 2t 2 a t t2 a 1 t a 18 t 2 1 a 2 4 1 2 a a 当 2 3 2 1 a 2 即 22 即 a 3 时 函数 S 在 1 2 上单调递增 S 有最大值 S 2 a 2 预测角度 3 反函数与函数性质的综合反函数与函数性质的综合 1 在 R 上的递减函数 f x 满足 当且仅当 x M R 函数值 f x 的集合为 0 2 且 f 2 1 1 又对 M 中的任意 x1 x2都有 f x1 x2 f x1 f x2 1 求证 4 1 M 而 8 1 M 2 证明 f x 在 M 上的反函数 f 1 x 满足 f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 x2 3 解不等式 f 1 x2 x f 1 x 2 4 1 x 0 2 解题思路解题思路 由给定的函数性质 证明自变量 x 是属于还是不属于集合 最后利用反 函数的概念 性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式 解答解答 1 证明 2 1 M 又 4 1 2 1 2 1 f 2 1 1 f 4 1 f 2 1 2 1 f 2 1 f 2 1 1 1 2 0 2 4 1 M 又 f 8 1 f 2 1 4 1 f 2 1 f 4 1 1 2 3 0 2 8 1 M 2 证明 f x 在 M 上递减 f x 在 M 上有反函数 f 1 x x 0 2 任取 x1 x2 0 2 设 y1 f 1 x1 y2 f 1 x2 x1 f y1 x2 f y2 y1 y2 M x1 x2 f y1 f y2 f y1 y2 y1 y2 f 1 x1 x2 又 y1 y2 f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 x2 3 f x 在 M 上递减 f 1 x 在 0 2 上也递减 f 1 x2 x f 1 x 2 4 1 等价于 f 1 x2 x x 2 f 1 2 0 202 02 1012 2 22 220 20 2 2 x xx x xx xx x xx 或 或 故不等式的解集为 x x 0 2 已知奇函数 f x 偶函数 g x 满足 f x g x ax a 0 且 a 1 1 求证 f 2x 2f x g x 2 设 f x 的反函数为 f 1 x 当 a a 1 时 试比较 f 1 g x 与 1 的大小 并证明 19 你的结论 3 若 a 1 n N 且 n 2 比较 f n 与 nf 1 的大小 并证明你的结论 解题思路解题思路 先根据函数 f x g x 的奇偶性和 f x g x ax可解出 f x g x 再 借助基本不等式和叠加法证明后两小题 解答解答 1 f x g x ax 又 f x g x a x 而 f x 是奇函数 g x 是偶函数 f x g x ax f x 2 xx aa g x 2 xx aa f x g x 2 xx aa 2 xx aa 4 22xx aa 2 1 f 2x 2 0 a 2 11 时 a a 1 0 an 1 a n 1 2 an 3 a n n 3 2 an 1 an 3 a n 1 a n 3 0 f n nf 1 0 即 f n nf 1 考点高分解题综合训练考点高分解题综合训练 1 函数 f x x 1 2 x 则其反函数的定义域是 A 1 1 B 1 C 1 0 D 1 0 1 答案 D 解析 反函数的定义域即为原函数的值域 x2 1 0 x 1 或 x 1 当 x 1 时 函数 f x 是单调递增函数 此时值域为 1 当 x 1 时 f x x 1 1 1 2 2 xx x为单调递减函数 此时值域为 1 0 故值域为 1 0 1 从 20 而选 D 2 已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x 4 当 x 2 时 f x 单调递增 如 果 x1 x2 4 且 x1 2 x2 2 0 则 f x1 f x2 的值为 A 可能为 0 B 恒大于 0 C 恒小于 0 D 可正可负 答案 C 解析 不妨设 x1 x2 则 x1 2 x2 且 x1 x2 4 由 f x f x 4 可知 函数 f x 的图象关于点 2 0 成中心对称 函数在 2 上单调递增 f x1 f x2 f x1 f 4 x1 f x