第五章量纲分析和相似原理ppt课件.ppt

第五章量纲分析和相似原理 5 1量纲分析 5 2相似理论 5 3相似准则 5 4模型实验 主要内容 五 学习重点 5 1量纲分析 一 量纲的概念 1 量纲与单位 1 单位 表征各物理量的大小 如长度单位m cm mm 时间单位小时 分 秒等 质量单位千克 克等 2 量纲 表征各物理量单位的种类 如m cm mm等同属于长度类 用L表示 小时 分 秒等同属于时间类 用T表示 公斤 克等同属于质量类 用M表示 2 量纲的分类 如 速度量纲 LT 1 流量量纲 L3T 1 对于不可压缩流体运动 则选取M L T三个基本量纲 其他物理量量纲均为导出量纲 速度dimv LT 1 加速度dima LT 2力dimF MLT 2 动力粘度dim ML 1T 1综合以上各量纲式 可得任一物理量q的量纲dimq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示 alpha角度 系数 beta磁通系数 角度 系数 gamma电导系数 小写 delta变动 密度 屈光度 eepsilon对数之基数 zeta系数 方位角 阻抗 相对粘度 原子序数 eta磁滞系数 效率 小写 theta温度 相位角 pi圆周 直径 3 1416 rho电阻系数 小写 ssigma总和 大写 表面密度 跨导 小写 phi磁通 角 psi角速 介质电通量 静电力线 角 omega欧姆 大写 角速 小写 角 补充资料 米欧 纽 克西 欧米克隆 派 柔 西格玛 陶 玉普西隆 弗爱 凯 普赛 奥米伽 A 阿尔法B 贝塔 伽玛 德尔塔 伊普西隆 泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达 补充资料 3 导出量纲公式 dimq MaLbTc 4 无量纲量 纯数 无因次量 1 定义 当量纲公式中各量纲指数均为零 即a b c 0时 则dimq 1 这个物理量即无量纲量 可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到 也可以由几个有量纲物理量乘积组合 使组合量的量纲指数为零得到 2 特点 用L0M0T0表示 实际是一个数 但与单纯的数不一样 它是几个物理量组合而成的综合物理量 如相似准则数 量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中 各项的量纲必须是一致的 它是被无数事实所证明的一个客观原理 连续性方程 伯努利方程 动量方程 二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程 其各项的量纲必须是一致的 即只有方程两边量纲相同 方程才能成立 量纲和谐原理是量纲分析的基础 2 量纲的主要特性 1 定义 3 量纲分析的具体应用 1 量纲分析法 即应用量纲的和谐原理 来推求各物理量之间的函数关系的方法 2 应用 1 瑞利法 2 定理 布金汉定理 三 量纲分析法 1 瑞利法 1 特点 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析 2 适用范围 方程中物理量较少 一般4 5个 各量纲间的关系较易确定 3 基本原理和步骤 写成指数形式 量纲表示式 据量纲和谐原理 1 其指数关系式 4 举例 已知影响水泵输入功率的物理量有 水的重度 流量Q 扬程H 求水泵输入功率N的表达式 3 据量纲的和谐原理有 ML2T 3 ML 2T 2 1 L3T 1 2 L 3 故得 N k QH 例7 1已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 与物体的质量 速度和圆周半径有关 试用瑞利法推导离心力公式 解 根据已知条件 离心力可以写成以下指数形式 根据量纲和谐性 有 2 定理 布金汉定理 是改进了的量纲分析法 可用于物理量相对较多的情况 1 基本原理 设某一物理过程包含n个物理量 f x1 x2 xn 0 其中有m个为基本量 量纲独立 不能相互导出的物理量 则该物理过程可由n个物理量构成的 n m 个无量纲项来描述 无量纲量数组的组成方式 在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量 并把基本变量与其它变量中的一个组成数组 共组成 n m 个无量纲数组 例取x1 x2 x3为基本变量 则数组为 这三个基本量分别表征流体物性 几何特性和运动特征 2 m个相互独立量纲的物理量选择 一般可选3个 m 3 通常分别选几何学物理量 运动学物量 动力学物理量各一个 此法一般可满足量纲相互独立 必须相互独立 表征流体物性 密度 粘度等 表征几何特性 管径 管长等 表征运动特性 速度 重力加速度等 3 确定无量纲量 的方法 1 从n个物理量中选出m个相互独立的基本量 2 由m个基本量纲冪的乘积作为分母 未列入基本量纲的其它各物理量分别作为分子 设分子分母量纲相同 即可求得无量纲量 如m 3 则有 3 按量纲和谐原理求得各指数 即可得出 的具体表达式 例2 管中紊流 单位管长沿程水头损失hf L 取决于下列因素 流速 管径D 重力g 粘度 管壁粗糙度 和密度 试用 定理分析确定方程的一般形式 解 1 找出有关物理量 2 选基本量 在有关量中取v D 为基本变量 基本量数m 3 3 组成 项 决定各 项基本指数 的个数N n m 7 3 4 显然hf L是一个 因hf和L量纲都是长度 1 a1Db1 c1 ML 1T 1 LT 1 a1 L b1 ML 3 c1 则 L a1 b1 3c1 1 0T a1 1 0M c1 1 0 由此a1 1 b1 1 c1 1 类似有 2 a2Db2 c2 3 g a3Db3 c3 可得 a2 0 b2 1 c2 0a3 2 b3 1 c3 0 4 整理方程式 即 解得 常用沿程损失公式形式为 称沿程阻力系数 具体由实验决定 例3 液体在水平等直径的管内流动 设两点压强差 p与下列变量有关 管径d l 管壁粗糙度 试求 p的表达式 解 1 找出有关物理量F d l p 0 2 选基本量 组成 项 基本量d n 7 m 3 数n m 4个 3 决定各 项基本量指数 对 1 对 2 同理得 4 整理方程式 设 则 2 量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础 19世纪 量纲分析原理未发现之前 水力学中积累了不少纯经验公式 每一个经验公式都有一定的实验根据 都可用于一定条件下流动现象的描述 这些公式孰是孰非 无所适从 量纲分析方法可以从量纲理论作出判别和权衡 使其中的一些公式从纯经验的范围内解脱出来 关于量纲分析方法的几点讨论 1 量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理 3 应用量纲分析方法得到的物理方程式 是否符合客观规律和所选入的物理量是否正确有关 而量纲分析方法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示 可能由于遗漏某一个决定性的物理量 造成方程中出现累赘的量纲量 这种局限性是方法本身决定的 弥补它 需要已有的理论分析方法和实验成果 要依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力 4 量纲分析为组织实施实验研究 以及整理实验数据提供了科学的方法 可以说量纲分析方法是沟通流体力学理论和实验之间的桥梁 思考题 1 量纲分析有何作用 答 可用来推导各物理量的量纲 简化物理方程 检验物理方程 经验公式的正确性与完善性 为科学地组织实验过程 整理实验成果提供理论指导 2 经验公式是否满足量纲和谐原理 答 一般不满足 通常根据一系列的试验资料统计而得 不考虑量纲之间的和谐 3 瑞利法和布金汉 定理各适用于何种情况 答 瑞利法适用于比较简单的问题 相关变量未知数 4 5个 定理是具有普遍性的方法 相似原理 实物 模型 相似原理 实验设备 水池 水槽 风洞 相似理论 模型流场再现实物流场的准则 指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中 5 2相似理论 一 相似的概念 1 模型实验 从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况 原型 天然水流和实际建筑物称为原型 2 相似理论 研究原型与模型之间联系的理论 即为相似理论 是模型实验的理论基础 3 流动相似是几何相似概念的扩展 即要求在原 模型的流动现象对应点上 同类的物理量 几何学物理量 运动学物理量 动力学物理量 具有固定的比例关系 即流动相似扩展为下面的 相似条件 二 相似条件 满足力学相似 即几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 一 几何相似 模型和实际流场的几何形状相似 即对应的线段成比例 对应的夹角相等 长度比尺 面积比尺 体积比尺 以角标p表示原型 prototype m表示模型 model 二 运动相似 两个流场对应点上的速度 或加速度 的方向相同 大小成比例 即 速度比尺 加速度比尺 时间比尺 重力加速度比尺 三 动力相似 两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同 大小成比例 即 粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力 力的比尺 密度比尺 粘度比尺 四 初始条件和边界条件相似 1 初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件 正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样 2 对于非恒定流 初始条件是必须的 而对于恒定流 初始条件则失去了意义 3 边界条件是指两个流动相应边界性质相同 比如 自由表面上的压强等于大气压强 固体边界上的法线速度为零等 几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现 7 3相似准则 1 相似准则 两个流动要实现动力相似 作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系 一 牛顿相似准则 2 牛顿相似准则 惯性力比尺 力的比尺 牛顿数 牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件 二 动力相似准则 1 雷诺准则 粘性力准则 粘性力比尺 雷诺数 雷诺准则 粘性力起主要作用 2 佛汝德准则 重力准则 重力比尺 佛汝德数 佛如德准则 重力起主要作用 3 欧拉准则 压力准则 压力比尺 欧拉数 欧拉准则 动压力起主要作用 4 其它准则 韦伯准则 表面张力准则 柯西准则 弹性力准则 马赫准则 弹性力准则 韦伯数 柯西数 马赫数 水击 水流诱发振动 超音速气流 小规模流动 表面张力显著 例7 5一潜艇长为L 78m 水面航速为13kn 现用1 50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力 试确定水池拖车的拖曳速度 解 实验应按佛汝德准则进行 已知船模长度 实艇水面航速为 故实验时船模的拖曳速度为 例7 6已知直径为15cm的输油管 流量0 18m3 s 油的运动粘度 p 0 13cm2 s 现用水作模型实验 水的运动