换一只眼看数学

换一只眼看数学 函数视野下的数学解题 浙江省余姚市第七中学 315450 周海清 函数思想是数学思想的重要组成部分 在高中数学中起到横向 联系和纽带连结的主干作用 用变量和函数来思考问题的方法就是 函数思想 具体讲就是通过类比联想转化 合理的构造函数 从而 有效降低题目难度 以达到轻松解题的目的 函数思想的运用范围 不仅在本身就是函数问题的高考试题中 而且在不等式 数列 解 析几何等问题中也有不俗表现 1 数列 数列从本质上来讲 是函数 用函数思想解决数列问题 不但能够加深对数列概念的理解 而且还能加强知识点间的联 系 例 1 等差数列中 前 项的和为 若 n b 1 0b n n T 当 取何值时最大 lk TT lk n n T 解析 运用数列中的通项公式的特点 把数列问题转化为 函数问题解决 设 1 1 2 n n n f nTnbd nN 则 此函数是以 为自变量的二次函数 2 1 1 22 d f ndnan n 1 0 lk bTT lk 0d 所以二次函数的图像开口向下 f n f lf k 最大 但中 2 kl x 当时 f x f nnN 所以当为偶数时 时 最大lk 2 kl n n T 当为奇数时 时 最大lk 1 2 kl n n T 2 平面解析几何 在解决平面解析几何问题时 若是能够通过仔细读题 发 现某些点 线之间的联系 并用函数来刻画 往往会起到事半功 倍的效果 例 2 设且 抛物线被abc 0abc 2 2yaxbxc 轴截得的弦长为 证明 xm32 3m 解析 由于弦长是与有关的变量 若能找到它们之m a b c 间的关系式 问题就变简单了 且abc 0abc 0 0ac 2 440bac 故方程必有两个不同实根 2 20axbxc 12 x x 222 121212 4mxxxxx x 22 22 44 4 bcbc aaaa 4 4 2 1 cc aa 2 1 3 2 c a 所以是的二次函数 且可知 2 m c a abc 0abc 当时 是单调递减的 1 2 2 c a c a 1 2 2 m 所以 4 222 111 34 2 3 222 m 即 但 2 312m 0m 所以32 3m 例 3 设椭圆的中心是坐标原点 长轴在 轴上 离心率x 已知点到这个椭圆上的点的最远距离 3 2 e 3 0 2 p 为 求这个椭圆的方程 并求出椭圆上到点的距7p 离等于的点的坐标 7 解析 设椭圆的方程 因为 所以 22 22 1 xy ab 3 2 e 2 1 1 2 b e a 所以故2 ab 22 22 1 4 xy bb 设椭圆上的点到的距离为 则 1 p x ypd 222 3 2 dxy 222 22 9 443 4 1 3 43 2 byyy ybbyb 若则当时 1 2 b yb 22 max 3 2 db 所以 即与矛盾 22 3 7 2 b 31 7 22 b 1 2 b 若 则当时 1 2 b 1 2 y 22 max 43db 所以 得 22 3 7 2 b 1b 所以2a 综上所述 椭圆方程为 且椭圆上的点 2 2 1 4 x y 1 3 2 点的距离等于 p7 3 组合 例 4 证明 当时 3n 22 1 n nnN 证明 设 0122 1 nnn nnnn f xxCC xC xC x 则 012 22 22 1 1 1 2 1 2 n nnnn n nn nn nn fCCCC nCCn nCC 当时 3n 22 1 n n 当时 3n 2 22 1 n n nC 所以当时 3n 22 1 n nnN 4 解不等式问题 在解决有些不等式问题时 若运用函数的视野去分析 推 理的话 可以让证明轻松许多 例 5 证明不等式 0 1 22 x xx x 解析 一般证法是分或讨论 运算量较大 这0 x 0 x 里不妨试试构造函数 0 1 22 x xx f xx 1 22 1 1 212 1 22 x x x xx fx x x xx f x 是偶函数 当时 从而 f x 0 x 1 20 x 0f x 于是时 0 x 0f xfx 故当时 恒有 即0 x 0f x 0 1 22 x xx x 5 求值 求某些代数式的值时 可以将代数式转化为函数式 以提 高解题速度 例 6 如果实数满足 那么的最大值是 a b 22 2 3ab b a 解析 由已知等式两边同除以得项 同时可得到关于的二 2 a b a 1 a 次函数 求此函数值最大值即可 两边同除以得 2 a 2 2 41 10 b aaa 即 22 1 2 3 b aa 又 22 3 2 0ba 所以2323a 当 即时 1 2 a 1 23 23 2 a 2 max 3 b a 所以 max 3 b a 例 6 设实数满足试求 x y 33 20 20 xxayya xy 的值 解析 直接解这两个方程 显然运算量太大 不明智 通 过观察发现 可把两个方程变为 33 2 2xxa yya 构造函数 显然 所以为 3 2 f ttt tR ftf t f t 奇函数 因为 所以 f xa f ya f xf y 又为奇函数 所以 f t f xfy 易证 为增函数 所以 f txy 故0 xy 通过上面的例子 我们可以看到