建模论文-产销问题

论文题目 产销问题 学号学号专业班级专业班级姓姓 名 签名 名 签名 1 1 1 产销问题数学模型 摘 要 本问题是如何实现成本最小 利润最大的问题 主要针对不同月份市场需 求量的不同 生产成本以及各种限制条件建立数学模型求解线性最优解 核心 在于如何求成本函数的最小值 求产销最优解意在求最大利润 而利润等于总 收入减去总成本 本题中的总收入即售出的产品总价 总成本包括原材料成本 库存成本 缺货损失 外包成本 工人工作支出 工人工资 加班工资 培训 费用 解聘费用 等 第一问是求一个最小值问题 该产品的销售价格不变 产品需求也大概是 一个定值 故一般在成本最低时其利润就最大 属于多元函数的条件极值问题 运用线性规划和最优解模型 运用 LINGO 软件等对产量 成本等约束条件进行 分析求解 第二问 降价促销会引起总收入减少 但促销带来的增长会使需求的变化 变得平稳引起总成本的下降 一般在淡季进行促销时总成本下降的幅度较大 使需求平稳的同时生产的安排也更加平稳 从利润最大化考虑 根据多元函数 的极值求法运用线性规划和最优解模型 运用 LINGO 软件等分别求出一月份 淡季 促销 四月份 旺季 促销两种方案 关键词 产销问题 线性规划 条件极值 最优解 LINGO 软件 2 一 问题重述一 问题重述 某企业主要生产一种手工产品 在现有的营销策略下 年初对上半年 6 个 月的产品需求预测如表 1 所示 表 1 产品需求预测估计值 件 月份 1 月 2 月3 月4 月5 月 6 月 预计需求 量 100011001150130014001300 1 月初工人数为 10 人 工人每月工作 21 天 每天工作 8 小时 按规定 工人每个月加班时间不得超过 10 个小时 1 月初的库存量为 200 台 产品的销 售价格为 240 元 件 该产品的销售特点是 如果当月的需求不能得到满足 顾 客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足 但公司需要对产品的价格进行 打折 可以用缺货损失来表示 6 月末的库存为 0 不允许缺货 各种成本费 用如表 2 所示 表 2 产品各项成本费用 原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用 100 元 件10 元 件 月20 元 件 月200 元 件50 元 人 解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资 100 元 人1 6 小时 件12 元 小时 人18 元 小时 人 1 若你是公司决策人员 请建立数学模型并制定出一个成本最低 利润 最大的最优产销方案 2 公司销售部门预测 在计划期内的某个月进行降价促销 当产品价格 下降为 220 元 件时 则接下来的两个月中 6 的需求会提前到促销月发生 试 就一月份 淡季 促销和四月份 旺季 促销两种方案以及不促销最优方案 1 进行对比分析 进而选取最优的产销规划方案 二 问题分析二 问题分析 本课题是产销问题 属于简单的优化模型 建模时先要做适当的优化 优 化后可归结为微积分中的函数极值问题 最后 在用微分法求出最优决策后 要对结果做分析和评估 建模目的在于找到一个合理的价格可以增加消费量 降低成本可以最大化的使用资源得到最大的利润 显然 人员雇佣的不合适 培训费用和解聘费用不合理 影响利润 产量与市场需求量不符 存在库存成 本和缺货损失 影响利润 所以有一下分析 1 当月的需求不能得到满足 顾客可以在下个月得到满足 但公司需要 对产品的价格进行打折 表示为缺货损失 2 允许有库存 但 6 月末的库存必须为 0 且不允许缺货 3 若下个月所需的工人数比上个月多 则雇佣新工人并要进行培训 其 中有培训配用的支出 若下个月所需的工人数比上个月少 则解聘工人并要给 予解聘配用 4 是否有库存或缺货要看当月的生产量和上个月的库存量 如果用的话 跟当月的计划相比 多了则有库存 库存费用是每个月每件 10 元 少了则要 3 计算缺货损失 每个月每件 20 元 三 模型假设三 模型假设 通过对题目的分析 为了使问题得到简化 我们做出了以下合理假设 1 不考虑合同法的相关规定 工厂可以随时解雇和招聘工人 2 不考虑工人生病等特殊情况对生产的影响 3 假设生产出来的产品能立即运到市场销售 4 不考虑培训时间 即培训期间也生产 且产量不变 5 存储费用按月计算且只在月末收取 6 假设原材料供给充足 7 假设各项成本均在月底结算 保证数量均为静态量 不考虑动态量 8 假设有足够的库存空间 9 假设企业有足够资金流动 以供支配 10 假设各已知条件在六个月内不会发生变动 四 模型建立四 模型建立 1 符号说明 符号说明 为了便于计算求解时叙述 先对变量进行声明如下 其中 i 1 2 3 4 5 6 记 Z 表示 6 个月的总利润 X 表示 6 个月的总销售额 Y 表示 6 个月的总成本 表示第 i 个月的预计需求估计量 i a 表示第 i 个月的员工生产量 i b 表示第 i 个月的库存量 200 表示一月初的库存 i c 0 c 表示第 i 个月的缺货量 0 表示一月初的缺货量 i d 0 d 表示第 i 个月的外包生产量 i e 表示第 i 个月的新聘员工数 i f 表示第 i 个月的解雇员工人数 i g 表示第 i 个月的每个员工的工作总时间 i T 表示第 i 个月的总生产量 员工生产 外包产量 i P 表示第 i 个月的总员工人数 表示一月初的工人数 i W10 0 W 2 目标函数目标函数 总利润 总销售额 总成本 4 即 Max Z X Y 其中总销售额为 6 1 240 i i aX 总成本为 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 168 1812 8 21100 502002010100 i ii i i i i i i i i i i i i i i TWWg fedcbY 3 约束条件约束条件 为了进行建模分析模拟 将问题分析中的约束要求用声明的符号 表示如下 产量限制 预计的实际总生产量为每月预计的需求量扣除一月初的 库存量 即 0 6 1 6 1 caP i i i i 200 0 c 库存量 0 i c 缺货量 0 i d 外包装生产量 0 i e 新聘员工人数 0 i f 解雇员工人数 0 i g 总员工人数 0 i W10 0 W 员工工作时间限制 即108 218 21 i T178168 i T 员工的工作时间应满足生产需求 iii bTW6 1 五 模型求解五 模型求解 题一 根据以上约束条件 运用 LINGO 软件运算 结果如下 表 1 月 份 员工生 产量 i b 库存 i c 缺货 数 i d 外包 i e 新员工 人数 i f 解雇员 工数 i g 总员 工人 数 i W 工作时 间 i T 18404000028168 210550502010168 5 311550001011168 4136565002013168 5136530000013168 612700000112169 3333 结论结论 经 lingo 软件模拟计算出总成本 Y 842204 0 元 因为产品的价格是每件 240 元 所以总销售额 元 1740000 130014001300115011001000 240 X 此时利润最大 元 897796842204 1740000 YXM 题二 在促销月中产品价格下降为 220 元 件 通过计算可以得出在促销情况下的 个月份产品需求预测值 表 2 月份 123456 一月份实施促销方案预计需求量 113510341081130014001300 四月份实施促销方案预计需求量 100011001150146213161222 约束条件不变 将新的数据带入原程序 得 一月 淡季 促销计划结果 表 3 月 份 员工生 产量 i b 库存 i c 缺货 数 i d 外包 i e 新员工 人数 i f 解雇员 工数 i g 总员 工人 数 i W 工作时 间 i T 19451000019168 2105026001010168 310500500010168 4136560003013168 5136525000013168 612750000112170 结论结论 经 LINGO 软件模拟计算出总成本 Y 842014 0 元 产品的促销单价为 2290 元 件 所以有总销售额 元 1717300 13001400130010811034 2401135220 X 此时最大利润 875286 元YXM 四月 旺季 促销计划结果 表 4 月员工生库存缺货外包新员工解雇员总员工作时 6 份 产量 i b i c数 i d i e人数 i f 工数 i g 工人 数 i W 间 i T 18404000028168 210550502010168 311550001011168 414708003014168 5136557000113168 611650000211169 4545 结论结论 经 LINGO 软件模拟计算出总成本 Y 841954 0 元 产品的促销单价为 2290 元 件 所以有总的销售额 元17107601462220 12221316115011001000 240 X 此时最大利润 868806 元YXM 由表 1 表 2 表 3 一月份促销和四月份促销以及不促销的 方案 及其实验结论 我们可以看出 4 月份促销 868806 元 1 月份促销 875286 元 不降价促销 8974796 元 所以说不促销的产销方案利润最大 六 模型评价六 模型评价 优点 建立了简单清晰的优化模型 对产销问题进行解答 运用线性规划 最优解等知识 以及操作 LINGO 软件 使得模型整体上显得简洁 易懂 缺点 条件假设有不合理的地方 并且在一些数据的处理上有些粗糙 造 成了一些误差 七 参考文献七 参考文献 1 袁新生 LINGO 和 EXCEL 在数学建模中的应用 M 北京 科学出版社 2007 2 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 高等教育出版社 2011 3 谭永基 蔡志杰 俞文齜 数学模型 上海 复旦大学出版社 2005 7 八 附录 编程 八 附录 编程 题一题一 model min 100 b1 b2 b3 b4 b5 b6 10 c1 c2 c3 c4 c5 c6 20 d1 d2 d3 d4 d5 d6 200 e1 e2 e3 e4 e5 e6 50 f1 f2 f3 f4 f5 f6 18 w1 T1 168 w2 T2 168 w3 T3 168 w4 T4 168 w5 T5 168 w6 T6 168 2016 w1 w2 w3 w4 w5 w6 T1 168 T2 168 T3 168 T4 168 T5 168 T6 168 T1 178 T2 178 T3 178 T4 178 T5 178 T6 178 b1 e1 b2 e2 b3 e3 b4 e4 b5 e5 b6 e6 200 7250 1 6 b1 w1 T1 1 6 b2 w2 T2 1 6 b3 w3 T3 1 6 b4 w4 T4 1 6 b5 w5 T5 1 6 b6 w6 T6 b1 e1 c0 d0 c1 d1 a1 b2 e2 c1 d1 c2 d2 a2 b3 e3 c2 d2 c3 d3 a3 b4 e4 c3 d3 c4 d4 a4 b5 e5 c4 d4 c5 d5 a5 b6 e6 c5 d5 c6 d6 a6 w1 w0 f1 g1 w2 w1 f2 g2 w3 w2 f3 g3 w4 w3 f4 g4 w5 w4 f5 g5 w6 w5 f6 g6 w0 10 c0 200 d0 0 8 a1 1000 a2 1100 a3 1150 a4 1300 a5 1400 a6 1300 GIN w1 GIN w2 GIN w3 GIN w4 GIN w5 GIN w6 GIN f1 GIN f2 GIN f3 GIN f4 GIN f5 GIN f6 GIN g1 GIN g2 GIN g3 GIN g4 GIN g5 GIN g6 GIN b1 GIN b2 GIN b3 GIN b4 GIN b5 GIN b6 GIN e1 GIN e2 GIN e3 GIN e4 GIN e5 GIN e6 End 程序运行结果程序运行结果 Local optimal solution found at iteration 785 Objective value 842014 0 Variable Value Reduced Cost B1 945 0000 9 047619 B2 1050 000 0 000000 B3 1050 000 10 95238 B4 1365 000 10 00000 B5 1365 000 0 4761904 B6 1275 000 0 8761908 C1 10 00000 0 000000 C2 26 00000 0 000000 C3 0 000000 30 00000 C4 60 00000 0 000000 C5 25 00000 0 000000 C6 0 000000 20 00000 D1 0 000000 30 00000 D2 0 000000 30 00000 D3 5 000000 0 000000 D4 0 000000 30 00000 D5 0 000000 30 00000 D6 0 000000 10 00000 E1 0 000000 90 32381 E2 0 000000 80 32381 E3 0 000000 70 32381 E4 0 000000 90 32381 E5 0 000000 80 32381 E6 0 000000 70 32381 F1 0 000000 50 00000 9 F2 1 000000 0 000000 F3 0 000000 50 00000 F4 3 000000 0 000000 F5 0 000000 50 00000 F6 0 000000 50 00000 W1 9 000000 0 000000 T1 168 0000 0 000000 W2 10 00000 0 000000 T2 168 0000 0 000000 W3 10 00000 0 000000 T3 168 0000 0 000000 W4 13 00000 0 000000 T4 168 0000 0 000000 W5 13 00000 0 000000 T5 168 0000 0 000000 W6 12 00000 1008 000 T6 170 0000 0 000000 C0 200 0000 0 000000 D0 0 000000 0 000000 A1 1135 000 0 000000 A2 1034 000 0 000000 A3 1081 000 0 000000 A4 1300 000 0 000000 A5 1400 000 0 000000 A6 1300 000 0 000000 W0 10 00000 0 000000 G1 1 000000 0 000000 G2 0 000000 50 00000 G3 0 000000 0 000000 G4 0 000000 50 00000 G5 0 000000 0 000000 G6 1 000000 0 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 842014 0 1 000000 2 0 000000 56 67857 3 0 000000 57 02381 4 0 000000 62 97619 5 0 000000 74 13095 6 0 000000 78 00000 7 2 000000 0 000000 8 10 00000 0 000000 9 10 00000 0 000000 10 10 00000 0