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北师大版七年级数学下册复 习 资 料第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略，是系数，的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 （几次几项式）每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。二、整式的加减：先去括号； （注意括号前的符号）再合并同类项。 （系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 公式逆用：am+n = aman例题：。已知=2, =8,求。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 公式逆用:amn =（am）n=（an）m。例题： 若，求3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 公式逆用：anbn =（ab）n。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 （） 注意00没有意义。5、负整数指数幂： （正整数，）例题：计算6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。公式逆用：例题：若，则常见的错误：，, （同学们将以上错误更正！）四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。（容易出错的地方是:去括号时，括号前是符号时注意变号）七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同（为a），另一项符号相反(为b)，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 (认清公式的本质是关键所在) 例题：计算八、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。（千万别丢掉2倍） 正确理解完全平方公式的变形： (容易考哦)常见错误： 补充：三个数和的完全平方九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。知识点（三）1、常见易错题：（请同学们做完）计算下列各式； （认真计算此题） ； ； ； ； ； ； ， ； ； ； 2 、简便运算（注意运用合适的乘法公式进行计算）：公式类 平方差公式完全平方公式 3、相关考点：被除数、除数、商和余数之间的关系。（被除数除数=商+余数）被除数=除数商+余数； 除数=（被除数-余数）商；余数=被除数-除数商； 商=（被除数-余数）除数。类比以上小学的知识可以得到下面的结论：被除式、除式、商式和余式之间的关系。（被除式除式=商式+余式）被除式=除式商式+余式； 除式=（被除式-余式）商式；余式=被除式-除式商； 商式=（被除式-余式）除式。（注意:以上公式不需要背，只要理解能推导出来会应用即可. 重在思维）: 例: 已知多项式能被整除,商式为,试求a的值. 已知多项式除以一个多项式A，得商式为，余式为x-1，求这个多项式。第二章 平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90的两个角称这两个角互余。 性质：同角（或等角）的余角相等。数学符号表示： 同角的余角相等：若1+2=90o，2+4=90o.则1=4 等角的余角相等:若1+2=90o，3+4=90o, 1=3 .则 2=4 等角的补角相等若1+2=180，3+4=180.1=3 则 2=4 2、相加等于180的两个角称这两个角互补。 性质：同角（或等角）的补角相等。数学符号表示： 同角的补角相等: 若1+2=180o，2+4=180o.则1=4 等角的补角相等: 若1+2=180o，3+4=180o,1=3 .则 2=43、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角；或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。二、 “三线八角”： 两直线被第三条直线所截 (最为关键的条件)在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同位角。在两直线之间（内部），在第三条直线的两侧（旁）的两个角叫做内错角。在两直线之间（内部），在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同旁内角。（同学们必须能够识别这三种角）三、平行线的判定(五种方法)同位角相等 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补平行于同一条直线的两条直线平行。同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.四、平行线的性质两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图（用圆规和直尺作图）书上P55-P56作一条线段等于已知线段。 作一个角等于已知角。1、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线；（2）在射线上截取=；（3）在射线上依次截取=；（4）以点为圆心，为半径画弧，交于点；（5）分别以点、点为圆心，以、为半径作弧，两弧相交于点；（6）过点和点画直线（或画射线）；（7）在的外部（或内部）画=；2、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段=； （2）画=；六、科学记数法：1、绝对值大于10的数： （110，n为正整数） 2、绝对值小于1的数： （1c,a+cb,b+ca； a-bc,a-cb,b-cc（a ，b为最短的两条线段） （注意解题技巧）a-bc （a, b为最长的两条线段）第三边取值范围：ab c ab 如两边分别是5和8 则第三边取值范围为3x13.7、三角形的三条重要线段（必须要能够区分开）1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。2、三角形的角平分线：（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。3、三角形的中线：（结论：分成的两个三角形的面积相等）（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。4、三角形的高线：（每一种三角形的作图尤其是钝角三角形高线的画法）（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。区别相同中线平分对边三条中线交于三角形内部（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线相交于一点角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部高线垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线都在三角形内部直角三角形：其中两条恰好是直角边钝角三角形：其中两条在三角形外部 三角形的三条高的特性：锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形内部高的个数 3 1 1高之间是否相交 相交 相交 不相交高所在的直线是否相交 相交 相交 相交三条高所在直线交点间的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内 容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等；（AAA） 两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。（SSA）4、全等三角形的证明思路：条 件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性三、尺规作三角形 （好好看书上的例题P86P88，要学会作图）熟练一下三种三角形的做法：1、已知三边作三角形2、已知两边与它们的夹角作三角形3、已知两角与它们的夹边作三角形（已经两角与其中一角的对边转化成这种情况）四、利用三角形全等测距离1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。五、直角三角形全等的条件（补充的知识点）1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样第四章 生活中的变量一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。2、能确定变量之间的关系式：相关公式路程=速度时间 圆柱的体积=底面积高 圆锥的体积= （注意区分）梯形面积=（上底下底）高2 总价=单价总量。平均速度=总路程总时间二、变量之间的表示方法：列表法绘制表格表示两个变量之间关系1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。求两个变量之间关系式的步骤：1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的等量关系。 2）将等量关系转化为关系式的形式，因变量写在等式的左边，含自变量的代数式写在等式的右边.图象法：用水平方向的数轴（横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴）表示因变量。图象理解1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；(最最关键的地方)2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。五、时间-速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。六、时间-路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。第五章 生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。常见的轴对称图形：角有一条对称轴：角平分线所在的直线是它的对称轴。线段有两条对称轴：一条是它的垂直平分线，另一条是它本身所在的直线。圆有无数条对称轴：直径所在的直线是它的对称轴。长方形，正方形，等腰三角形（一条对称轴），等边三角形（三条对称轴），等腰梯形，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 （本质是点到直线的距离相等）数学符号表示： OP平分AOB, PBOB PAOA PB=PA(角平分线上的点到角两边的距离相等)三、线段垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。数学符号表示： OA=OB CDAB PA=PB尺规作角平分线和垂直平分线书 P126和P124四、等腰三角形性质： （定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形）等腰三角形是轴对称图形； （一条对称轴）等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合； （三线合一） 底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴。等腰三角形的两个底角相等。 （简称：等边对等角）五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。（简称：等角对等边）六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60o； 等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质： 关于某条直线对称的两个图形是全等形; 对应线段