沪科版初三数学知识点总结

第 1 页 共 24 页 1 初三数学知识点总结初三数学知识点总结 一 二次函数概念 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2 yaxbxc abc 0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而可以为零 二次函数的定义域是全0a bc 体实数 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二 二次函数的基本形式二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2 yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2 yaxc 上加下减 3 的性质 2 ya xh 左加右减 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 0 0a 向下 00 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 c 0a 向下 0c 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 c 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 0 第 2 页 共 24 页 2 4 的性质 2 ya xhk 三 二次函数图象的平移三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿轴平移 向上 下 平移个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 四 二次函数四 二次函数与与的比较的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 0a 向下 0h X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 k 0a 向下 hk X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 k 第 3 页 共 24 页 3 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前 2 ya xhk 2 yaxbxc 者 即 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 五 二次函数五 二次函数图象的画法图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 确定其开口方向 2 yaxbxc 2 ya xhk 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及关于对称轴对称的点 与轴的交点 若与y 0c 0c 2hc x 1 0 x 2 0 x 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 x 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与轴的交点 与轴的交点 xy 六 二次函数六 二次函数的性质的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随的增大而减小 当时 随的增大而增大 当时 有最 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 小值 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当时 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 2 b x a 随的增大而增大 当时 随的增大而减小 当时 有最大值 yx 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析x 2 40bac 式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之的值越小 开口越大 0a aa 当时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之的值越大 开口越大 0a aa 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大aaa 小 第 4 页 共 24 页 4 2 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 的符号的判定 对称轴在轴左边则 在轴的右侧则 概括的说就是ab a b x 2 y0 aby0 ab 左同右异 总结 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为负 0c yxy 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于轴对称x 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 2 关于轴对称y 第 5 页 共 24 页 5 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5 关于点对称 mn 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn 2 22ya xhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此永远不a 变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是 先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及 开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图象与轴的交点个数 x 当时 图象与轴交于两点 其中的是一元二次 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 12 xx 方程的两根 这两点间的距离 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时 图象与轴只有一个交点 0 x 当时 图象与轴没有交点 0 x 当时 图象落在轴的上方 无论为任何实数 都有 1 0a xx0y 当 时 图象落在轴的下方 无论为任何实数 都有 2 0a xx0y 2 抛物线的图象与轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 第 6 页 共 24 页 6 根据图象的位置判断二次函数中 的符号 或由二次函数中 的符 2 yaxbxc abcabc 号判断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与轴的x 一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式本身就是所含字母的二次函数 2 0 axbxc a x 下面以时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0a 二次函数图像参考 二次函数图像参考 十一 函十一 函数数 的应用的应用 二次函数应用 何何何何 何何何何何何何何 何何何何何何何 0 抛物线与轴有x 两个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与轴只x 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与轴无x 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 y x2 2 y 2x2 y x2 y 2x2 y x2 y x2 2 y 2x2 4 y 2x2 2 y 2x2 y 3 x 4 2 y 3 x 2 2 y 3x2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 y 2x2 第 7 页 共 24 页 7 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点 则的值是 x2 2 22 mmxmym 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同一直角坐标系内考 查两个函数的图像 试题类型为选择题 如 如图 如果函数的图像在第一 二 三象限内 那么函数的图像大致是 bkxy 1 2 bxkxy y y y y 1 1 0 x o 1 x 0 x 0 1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题类型有中档解答题和 选拔性的综合题 如 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 求这条抛物线的解析式 3 5 x 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题为解答题 如 已知抛物线 a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 与 y 轴交点的纵坐标是 2 yaxbxc 3 2 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 例题经典 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 1 二次函数的图像如图 1 则点在 2 yaxbxc a c bM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的 交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数 为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 第 8 页 共 24 页 8 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直 线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形移动 直到 AB 与 CD 重 合 设 x 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时 三角形移动了多长时间 求抛物线顶点坐标 对称轴 例 5 已知抛物线 y x2 x 1 2 5 2 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二次函数与一元二次方程 的关系 例 6 已知函数的图象经过点 A c 2 cbxxy 2 2 1 求证 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解过程 并画出二次函数图象 若不能 请说明理由 2 请你根据已有的信息 在原题中的矩形框中 填加一个适当的条件 把原题补充完整 点评 对于第 1 小题 要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式 就要把原来的结 论 函数图象的对称轴是 x 3 当作已知来用 再结合条件 图象经过点 A c 2 就可以列出两个 方程了 而解析式中只有两个未知数 所以能够求出题中的二次函数解析式 对于第 2 小题 只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 1 小题中的解析式就可以了 而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件 可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标 可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等 解答 1 根据的图象经过点 A c 2 图象的对称cbxxy 2 2 1 轴是 x 3 得 3 2 1 2 2 2 1 2 b cbcc 解得 2 3 c b 所以所求二次函数解析式为图象如图所示 23 2 1 2 xxy 第 9 页 共 24 页 9 2 在解析式中令 y 0 得 解得023 2 1 2 xx 53 53 21 xx 所以可以填 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 或 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标 0 5 是 0 53 令 x 3 代入解析式 得 2 5 y 所以抛物线的顶点坐标为23 2 1 2 xxy 2 5 3 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等 2 5 3 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背景理解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函数与相关知识的联系 用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一 点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起 能很好考查 学生的综合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关 系如下表 x 元 152030 y 件 252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少元 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1 b 40 即一次函数表 1525 220 kb kb 达式为 y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x2 50 x 400 x 25 2 225 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有两点 1 设未知数在 当某某为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问中 某某 要设为自变量 什么 要设为函 数 2 问的求解依靠配方法或最值公式 而不是解方程 第 10 页 共 24 页 10 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一 选择题一 选择题 1 二次函数的顶点坐标是 2 47yxx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 2 2yx A B C D 2 2 1 yx 2 2 1 yx 2 21yx 2 21yx 3 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的 2 ykxk 0 k yk x 4 已知二次函数的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 2 0 yaxbxc a 当和时 函数值相等 当时 的值只能取 0 其中正1x 3x 40ab 2y x 确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由 2 0 yaxbxc a 图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是 x 2 0axbxc 12 1 3xx 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数的图象如图所示 则点在 2 yaxbxc ac bc A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程的正根的个数为 2 2 2xx x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为y A B 2 2yxx 2 2yxx C 或 D 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 第 11 页 共 24 页 11 二 填空题二 填空题 9 二次函数的对称轴是 则 2 3yxbx 2x b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0 时 函数值随自变量的增大而增大 xyx 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线的顶点为 C 已知直线过点 C 则这条直线与两坐标轴所围成的 2 2 2 6yx 3ykx 三角形面积为 13 二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单 2 241yxx 2 2yxbxc 位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地 方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与轴的交点为 0 30 x y 5 2 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值随 x 的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 0 t 2 其中重 2 0 1 2 hv tgt 力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 第 15 题图 第 12 页 共 24 页 12 17 如图 抛物线经过直线与坐标轴的两个交点 A B 此抛物线与轴的另一个 2 yxbxc 3yx x 交点为 C 抛物线顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 P 的坐标 APC S ACD S 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物售出后再进行 结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260 元时 月销售量为45 吨 该建材店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 第 13 页 共 24 页 13 相似三角形基本知识相似三角形基本知识 知识点一 放缩与相似形知识点一 放缩与相似形 1 图形的放大或缩小 称为图形的放缩运动图形的放缩运动 2 把形状相同的两个图形说成是相似的图形相似的图形 或者就说是相似性相似性 注意注意 相似图形强调图形形状相同 与它们的位置 颜色 大小无关 相似图形不仅仅指平面图形 也包括立体图形相似的情况 我们可以这样理解相似形 两个图形相似 其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的 若两个图形形状与大小都相同 这时是相似图形的一种特例 全等形 3 相似多边形的性质相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形 那么这两个多边形的对应角相等 对应边 的长度成比例 注意注意 当两个相似的多边形是全等形时 他们的对应边的长度的比值是 1 知识点二 比例线段有关概念及性质知识点二 比例线段有关概念及性质 1 1 有关概念 有关概念 1 比比 选用同一长度单位量得两条线段 a b 的长度分别是 m n 那么就说这两条线段的比是 a b m n 或 n m b a 2 比的前项 比的后项比的前项 比的后项 两条线段的比 a b 中 a 叫做比的前项 b 叫做比的后项 说明 求两条线段的比时 对这两条线段要用同一单位长度 3 比例比例 两个比相等的式子叫做比例 如 d c b a 4 比例外项比例外项 在比例 或 a b c d 中 a d 叫做比例外项 d c b a 5 比例内项比例内项 在比例 或 a b c d 中 b c 叫做比例内项 d c b a 6 第四比例项第四比例项 在比例 或 a b c d 中 d 叫 a b c 的第四比例项 d c b a 7 比例中项比例中项 如果比例中两个比例内项相等 即比例为 或 a b b c 时 我们把 b 叫做 a 和 d 的 a b b a 比例中项 8 比例线段比例线段 对于四条线段 a b c d 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等 即 或 a b c d 那么 这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 注意 在求线段比时 线 d c b a 段单位要统一 单位不统一应先化成同一单位 单位不统一应先化成同一单位 2 2 比例性质 比例性质 第 14 页 共 24 页 14 1 1 基本性质基本性质 两外项的积等于两内项积 bcad d c b a 2 2 合比性质合比性质 分子加 减 分母 分母不变 d dc b ba d c b a 注意注意 实际上 比例的合比性质可扩展为 比例式中等号左右两个比的前项 后项之间 发生同样和差变化比例仍成立 如 dc dc ba ba c cd a ab d c b a 3 3 等比性质 等比性质 分子分母分别相加 比值不变 如果 那么 0 nfdb n m f e d c b a b a nfdb meca 注意注意 1 此性质的证明运用了 设法 这种方法是有关比例计算 变形中一种常用方法 k 2 应用等比性质时 要考虑到分母是否为零 3 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数 再利用等比性质也成立 知识点三 黄金分割知识点三 黄金分割 1 定义定义 在线段 AB 上 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC AC BC 如果 即 AC BC AB AC AC2 AB BC 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的 比叫做黄金比 其中 0 618 ABAC 2 15 AB 2 黄金分割的几何作图 黄金分割的几何作图 已知 线段 AB 求作 点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点 作法 过点 B 作 BD AB 使 连结 AD 在 DA 上截取 DE DB 在 AB 上截取 AC AE 则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点 黄金分割的比值为 只要求记住 第 15 页 共 24 页 15 ABDEABDE BCEFACDF 或等 3 矩形中 如果宽与长的比是黄金比 这个矩形叫做黄金矩形 知识点四 平行线分线段成比例定理知识点四 平行线分线段成比例定理 一一 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 1 1 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比对应线段成比 例 已知 l1 l2 l3 A D l1 B E l2 C F l3 可得 2 2 推论推论 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 由 DE BC 可得 此推论较原定理应用更加广泛 条件是平 AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD 或或 行 3 3 推论的逆定理推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么 这条直线平行于三角形的第三边 即利用比例式证平行线利用比例式证平行线 4 4 定理定理 平行于三角形的一边 并且和其它两边相交的直线 所截的三角形的三边与原三角形三边对 应成比例 5 5 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理 三条平行线截两条直线 如果在一条直线上截得的线段相等 难么在另 一条直线上截得的线段也相等 三角形一边的平行线性质定理三角形一边的平行线性质定理 定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例 定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例 几何语言几何语言 ABE ABE 中中 BD CEBD CE 1 是 A 字型 2 是 8 字型 经常考 关键在于 找 第 16 页 共 24 页 16 简记 简记 DE AD BC AB 下 上 下 上 归纳 归纳 和和推广 类似地还可以得到推广 类似地还可以得到和和 AE AD AC AB AE DE AC BC 全 上 全 上 全 下 全 下 E D A BC A D B E C 三角形一边的平行线性质定理推论三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线 截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线 截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 三角形一边的平行线的判定定理三角形一边的平行线的判定定理 三角形一边平行线判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例 那么这条直线如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例 那么这条直线 平行于三角形的第三边平行于三角形的第三边 E D A B C A E D CB 三角形一边的平行线判定定理推论三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线 这两边的延长线在第三如果一条直线截三角形两边的延长线 这两边的延长线在第三 边的同侧 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边边的同侧 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 1 1 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截 截得的对应线段成比例两条直线被三条平行的直线所截 截得的对应线段成比例 用符号语言表示 AD BE CF ABDE BCEFABDE BCEFACDFACDF 2 2 平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截 如果在一直线上所截得的线段相等 那么在 平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截 如果在一直线上所截得的线段相等 那么在 另一直线上所截得的线段也相等另一直线上所截得的线段也相等 ED CB A 第 17 页 共 24 页 17 F E D C B A 用符号语言表示 ADBECF ABBC DEDF AA 重心定义 三角形三条中线相交于一点 这个交点叫做三角形的重心重心定义 三角形三条中线相交于一点 这个交点叫做三角形的重心 重心的性质 三角形的重心到一个顶点的距离 等于它到对边中点的距离的两倍重心的性质 三角形的重心到一个顶点的距离 等于它到对边中点的距离的两倍 知识点三 相似三角形知识点三 相似三角形 1 相似三角形相似三角形 1 定义定义 如果两个三角形中 三角对应相等 三边对应成比例 那么这两个三角形叫做相似三角形 几种特殊三角形的相似关系 两个全等三角形一定相似 两个全等三角形一定相似 两个等腰直角三角形一定相似 两个等腰直角三角形一定相似 两个等边三角形一定相似 两个等边三角形一定相似 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似 补充 对于多边形而言 所有圆相似 所有正多边形相似 如正四边形 正五边形等等 补充 对于多边形而言 所有圆相似 所有正多边形相似 如正四边形 正五边形等等 2 性质性质 两个相似三角形中 对应角相等 对应边成比例 3 相似比相似比 两个相似三角形的对应边的比 叫做这两个三角形的相似比相似比 如 ABC 与 DEF 相似 记作 ABC DEF 相似比为相似比为 k 4 判定判定 定义法定义法 对应角相等 对应边成比例的两个三角形相似 三角形相似的预备定理三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 三角形相似的判定定理 三角形相似的判定定理 判定定理判定定理 1 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两 个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 此定理用的最多 判定定理判定定理 2 2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹 角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理判定定理 3 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这 两个三角形相似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 直角三角形相似判定定理直角三角形相似判定定理 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似 1 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似 并且分成的两个直角三角 2 形也相似 相似三角形的性质相似三角形的性质 相似三角形对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应高 对应角平分线 对应中线 周长的比都等于相似比 对应边的 第 18 页 共 24 页 18 比 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方平方 2 相似的应用 位似相似的应用 位似 1 定义 如果两个多边形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 那么这样的两个图形叫做位似图 形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 需注意 位似是一种具有位置关系的相似 所以两个图形是位似图形 必定是相似图形 而相似图形 不一定是位似图形 两个位似图形的位似中心只有一个 两个位似图形可能位于位似中心的两侧 也可能位于位似中心的一侧 位似比就是相似比 2 性质 位似图形首先是相似图形 所以它具有相似图形的一切性质 位似图形是一种特殊的相似图形 它又具有特殊的性质 位似图形上任意一对对应点到位似 中心的距离等于位似比 相似比 每对位似对应点与位似中心共线 不经过位似中心的对应线段平行 第 19 页 共 24 页 19 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 A B 90 2 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 A 30 可表示如下 BC AB 2 1 C 90 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB 90 可表示如下 CD AB BD AD 2 1 D 为 AB 的中点 4 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即 222 cba 5 摄影定理 在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中 项 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ACB 90 BDADCD 2 ABADAC 2 CD AB ABBDBC 2 6 常用关系式 由三角形面积公式可得 ABCD ACBC 二 直角三角形的判定 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 2 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这个三角形是直角三角形 222 cba 三 锐角三角函数的概念 3 8 分 1 如图 在 ABC 中 C 90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记为 sinA 即 c a sin 斜边 的对边A A 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦 记为 cosA 即 c b cos 斜边 的邻边A A 锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切 记为 tanA 即 b a tan 的邻边 的对边 A A A 锐角 A 的邻边与对边的比叫做 A 的余切 记为 cotA 即 a b cot 的对边 的邻边 A A A 2 锐角三角函数的概念 锐角 A 的正弦 余弦 正切 余切都叫做 A 的锐角三角函数 第 20 页 共 24 页 20 3 一些特殊角的三角函数值 三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 3 13 不存在 cot 不存在 31 3 3 0 4 锐角三角函数的增减性 当角度在 0 90 之间变化时 1 正弦值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 2 余弦值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 3 正切值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 4 余切值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 圆圆 圆的周长圆的周长 C 2 r 或 C d 圆的面积 圆的面积 S r 圆环面积计算方法 圆环面积计算方法 S R r 或 S R r R 是大圆半径 r 是小圆半径 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 四 圆与圆的位置关系四 圆与圆的位置关系 外离 图 1 无交点 dRr 外切 图 2 有一个交点 dRr r d d C B A O 第 21 页 共 24 页 21 相交 图 3 有两个交点 RrdRr 内切 图 4 有一个交点 dRr 内含 图 5 无交点 dRr 周 1 r R d 周 3 rR d 五 垂径定理五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 弧弧ABABCD CEDE BC BDAC AD 中任意 2 个