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反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解 1 研究长厚比大的薄板 简化为二维平面问题 利用经典层合板理论求解精度足够满足工程需求 利用位移法求解 根据基本假设得到位移表达函数 代入几何方程 代入物理方程并将应力沿厚度方向先积分后求和 降维 基于经典层合板理论得到内力与位移的关系 得到用位移表示的内力和内力矩 1 1 12 1 2 2 1 13 1 3 3 1 0 0 0 u0 x v0 y u0 y v0 x 2w x2 2w y22 2w x y 11 12 16 12 22 26 16 26 66 0 0 0 11 12 16 12 22 26 16 26 66 11 12 16 12 22 26 16 26 66 0 0 0 11 12 16 12 22 26 16 26 66 2 代入均布载荷弯曲问题的平衡方程得到核心控制方程 根据左侧受力图列出平衡方程 4 式 5 式代入 3 式 代入用位移表示的内力和内力矩 得到用位移表示的核心控制方程 画出弯曲问题受力图 1 2 1 2 6 7 4 5 3 式中 的表达式 3 针对反对称角铺设板特性将核心方程进行化简 核心控制微分方程化简为 7 反对称铺层拉伸 A11 A22 A12 A66耦合 B16 B26弯曲 D11 D22 D12 D66其余刚度项为零 4 根据支承条件假设位移函数 并将横向载荷也表示成双三角级数 选取S3简支边界条件 代入核心控制微分方程 将载荷也表示成双三角级数形式 式中 为满足边界条件假设位移函数如下 5 代入核心控制微分方程求得反对称铺层的层板挠度的解析解 11 11 2 66 2 12 12 66 22 66 2 22 2 13 3 16 2 26 2 23 16 2 3 26 2 33 11 4 22 4 2 12 2 66 2 2 11 12 13 12 22 23 13 23 33 4 0 0 6 则最大挠度在板中心 x a 2 y b 2 当载荷均布时 q x y 代入核心控制微分方程求得反对称铺层的层板挠度的解析解 即为优化目标函数 11 11 2 66 2 12 12 66 22 66 2 22 2 13 3 16 2 26 2 23 16 2 3 26 2 33 11 4 22 4 2 12 2 66 2 2 11 12 13 12 22 23 13 23 33 4 0 0 7 类似给出三个问题的解析解 弯曲最大挠度 屈曲临界载荷 自振基频 11 11 2 66 2 12 12 66 22 66 2 22 2 13 3 16 2 26 2 23 16 2 3 26 2 33 11 4 22 4 2 12 2 66 2 2 11 12 13 12 22 23 13 23 33 4 0 0 虽然弯曲问题在数学上是边界值问题 屈曲和振动属于特征值问题 但是屈曲方
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