精编版----三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

三角函数三角函数 概念 方法 题型 易错点概念 方法 题型 易错点 1 1 弧长公式弧长公式 扇形面积公式 1 弧度 1rad 如如 lR 211 22 SlRR 57 3 1 1 已知扇形 AOB 的周长是 6cm 该扇形的中心角是 1 弧度 求该扇形的面积 2 2 任意角的三角函数的定义 任意角的三角函数的定义 如如 1 1 已知角的终边经过点 P 5 12 则的值为 cossin 3 3 三角函数线的特征三角函数线的特征是 正弦线 MP 站在轴上 起点在轴上 xx 余弦线 OM 躺在轴上 起点是原点 正切线 AT 站在点x 处 起点是 三角函数线的重要应用是比较三角函数值三角函数线的重要应用是比较三角函数值 1 0 AA 的大小和解三角不等式的大小和解三角不等式 如如 1 1 若 则的大小关系为 0 8 sin cos tan 4 4 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 牢记牢记 5 5 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 2 商数关系 注意 需要先根据角的范围确定三角函数值的符号 弦切互化的技巧 注意 需要先根据角的范围确定三角函数值的符号 弦切互化的技巧 如如 1 1 已知 则 1 1tan tan cossin cos3sin 2cossinsin 2 2 2 已知 则等于a 200sin 160tan A B C D 2 1a a 2 1a a a a21 a a21 3 3 已知 则的值为 xxf3cos cos 30 sin f 6 6 三角函数诱导公式 三角函数诱导公式 牢记牢记 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值 其一般步骤 1 负角变正角 再写成 2k 2 转化为锐角三角函数 如如 02 1 1 的值为 97 costan sin21 46 2 2 已知 则 若为第二象限角 则 5 4 540sin 270cos 180tan 360cos 180 sin 2 7 7 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及倍角公式 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及倍角公式 牢记牢记 y T A x B S O M P 8 8 三角函数的化简 计算 证明的恒等变形三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的的基本的技巧有基本的技巧有 一 巧变角 一 巧变角 已知角与特殊角的变换 已知角与目标角的变换 角与其倍角的变 换 两角与其和差角的变换 如 2 等 如如2 2 2 222 1 1 已知 那么的值是 2 tan 5 1 tan 44 tan 4 2 2 已知为锐角 则与的函数关系 sin cosxy 3 cos 5 yx 为 二 二 三角函数不同名互化三角函数不同名互化 如如 1 1 求值sin50 13tan10 三 三 公式变形使用公式变形使用 如如tantan tan1tantan 1 1 设中 则此三角形ABC 33tan AtanBtan AtanB 3 4 sin Acos A 是 三角形 四 四 三角函数次数的降升三角函数次数的降升 降幂公式 与升 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 sin 2 幂公式 如如 2 1 cos22cos 2 1 cos22sin 1 1 若 化简为 3 2 1111 2 2222 cos 五五 1 1 的变换的变换 等 如如 22 1sincosxx tansin 42 1 1 已知 求 tan2 22 sinsincos3cos 六六 正余弦 三兄妹三兄妹 的内存联系 知一求二 如如sincos sin cosxxxx 1 1 若 则 sincosxxt sin cosxx 2 2 若 求的值 1 0 sincos 2 tan 3 3 已知 试用表示的值 2 sin22sin 1tan k 42 ksincos 9 9 辅助角公式中辅助角的确定 辅助角公式中辅助角的确定 其中角所在的象 22 sincossinaxbxabx 限由 a b 的符号确定 角的值由确定 在求最值 化简时起着重要作用 如如 tan b a 1 1 若方程有实数解 则 的取值范围是 sin3cosxxc c 2 2 当函数取得最大值时 的值是 23ycos xsinx tanx 3 3 如果是奇函数 则 sin2cos f xxx tan 1010 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数图象的作图方sinyx cosyx 法 五点法 先取横坐标分别为 0 的五点 再用光滑的曲线把这五点连接 3 2 22 起来 就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 1111 正弦函数 正弦函数 余弦函数 余弦函数的性质的性质 牢记牢记sin yx xR cos yx xR 特别提醒特别提醒 在解含有正余弦函数的问题时 你深入挖掘正余弦函数的有界性有界性了吗 一 周期性 一 周期性 的最小正周期都是 2 和sinyx cosyx sin f xAx 的最小正周期都是 如如 cos f xAx 2 T 1 1 若 则 3 sin x xf 1 2 3 2003 ffff 二 奇偶性与对称性 二 奇偶性与对称性 正弦函数是奇函数 对称中心是 sin yx xR 0kkZ 对称轴是直线 余弦函数是偶函数 对称中心是 2 xkkZ cos yx xR 对称轴是直线 正 余 弦型函数的对称轴为过最高点 0 2 kkZ xkkZ 或最低点且垂直于轴的直线 对称中心为图象与轴的交点 如如xx 1 1 已知函数为常数 且 则 3 1f x axbsin x a b 57f 5f 2 2 已知为偶函数 求的值 3f x sin x cos x 三 单调性 三 单调性 特别提醒特别提醒 别忘了 kZ 1212 形如 形如的函数 的函数 重重中之重中之重sin yAx 一 几个物理量 一 几个物理量 A 振幅 频率 周期的倒数 相位 1 f T x 初相 二 函数 二 函数表达式的确定表达式的确定 A 由最值确定 由sin yAx 周期确定 由图象上的特殊点确定 如如 1 1 的图象如图所示 sin 0 0f xAxA 2 则 f x 三 函数 三 函数图象的画法图象的画法 五点法 设 令sin yAx Xx 0 求出相应的值 计算得出五点的坐标 描点后得出图象 图象X 3 2 22 x 变换法 这是作函数简图常用方法 四 函数 四 函数的图象与的图象与图象间的关系图象间的关系 sin yAxk sinyx 要特别注意特别注意 若由得到的图象 则向左或向右平移应平 sinyx sinyx 移个单位 如如 1 1 要得到函数的图象 只需把函数的图象向 cos 24 x y sin 2 x y 平移 个单位 五 研究函数 五 研究函数性质的方法 类比于研究性质的方法 类比于研究的性质的性质 只需将sin yAx sinyx 中的看成中的 但在求求的单调区间时 的单调区间时 sin yAx x sinyx xsin yAx 要特别注意要特别注意 A A 和和的符号 通过诱导公式先将的符号 通过诱导公式先将化正 如化正 如 1 1 函数的递减区间是 2 3 ysin x 1313 正切函数 正切函数的图象和性质的图象和性质 牢记牢记tanyx 1 定义域 遇到有关正切函数问题时 你注意到正切函 2 x xkkZ 数的定义域了吗 2 奇偶性与对称性 是奇函数 对称中心是 特别提醒特别提醒 正 余 0 2 k kZ 切型函数的对称中心有两类 一类是图象与轴的交点 另一类是渐近线与轴的交点 xx 但无对称轴 这是与正弦 余弦函数的不同之处 3 单调性 正切函数在开区间内都是增函数 但要注要注 22 kkkZ 意在整个定义域上不具有单调性意在整个定义域上不具有单调性 14 14 三角形中的有关公式三角形中的有关公式 1 内角和定理内角和定理 三角形三角和为 这是三角形中三角函数问题的特殊性 解题 可不能忘记 任意两角和任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意 两边的平方和大于第三边的平方 2 正弦定理正弦定理 R 为三角形外接圆的半径 注意注意 正弦2 sinsinsin abc R ABC 定理的一些变式 sinsinsini a b cABC sin sin sin 22 ab iiABC RR 2 23 3题题图图 2 2 9 9 Y Y X X 2 2 3 已知三角形两边一对角 求解三角 2 c R 2 sin 2 sin 2 siniii aRA bRB bRC 形时 若运用正弦定理 则务必注意可能有两解 3 余弦定理余弦定理 等 常选用余弦定理鉴定三 222 222 2cos cos 2 bca abcbcAA bc 角形的形状 4 面积公式面积公式 其中 为三角形内切圆半径 111 sin 222 a SahabCr abc r 如中 若 判断的形状 答 直角三ABC CBABA 22222 sinsincoscossin ABC 角形 特别提醒特别提醒 1 求解三角形中的问题时 一定要注意这个特殊性 ABC 2 求解三角形中含有边角混合关系 sin sin sincos 22 ABC ABCABC 的问题时 常运用正弦定理 余弦定理实现边角互化 如如 1 1 中 A B 的对边分别是 且 那么满足条件ABC ab A 60 6 4 a b 的 ABC A 有一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 2 2 在中 A B 是成立的 条件 ABC sin AsinB 3 3 在中 若其面积 则 ABC 222 4 3 abc S C 4 4 在 ABC 中 a b c 是角 A B C 的对边 的最大值为 2 1 3 cos cos 32 BC aA 则 22 bc 5 5 在 ABC 中 AB 1