高等代数第四章矩阵ppt课件.ppt

第四章矩阵 1 矩阵概念的一些背景 矩阵是线性代数中最基本的概念之一 也是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武器之一 1 矩阵在密码学中的应用实例古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码 在保留明文中的大小写 空格及标点符号的前提下 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第4个字母 人们为了纪念恺撒德 就把这种密码称为恺撒密码 但是恺撒密码有一个致命的缺陷 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的 1929年 Hill提出了一种克服恺撒密码缺陷的密码 该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系 该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段 2 化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题 但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便 定义化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数 排列成的数字表称为化学反应矩阵 3 定义1由个数排成的行列的数表 称为矩阵 矩阵的定义 简记为 4 例1 是一个实矩阵 是一个复矩阵 例2n维向量也可以看成矩阵的特殊形式 n维行向量就是1 n矩阵 n维列向量就是n 1矩阵 5 设A aij mn B bij lk 如果m l n k 且对于i 1 2 m j 1 2 n 都成立 称A B 如 是一个矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 例4 6 2 矩阵的运算 1 加法 定义1 设 7 则 称为A和B的和 记为C A B 注1 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加 相加的矩阵必须要有相同的行数和列数 2 矩阵加法满足结合律 A B C A B C 交换律 A B B A 8 3 元素全为零的矩阵称为零矩阵 记为Osn或O 对于所有的矩阵A 都有A O A 4 矩阵称为矩阵A的负矩阵 记为 A 则有A A O 5 矩阵的减法定义为A B A B 6 秩 A B 秩 A 秩 B 9 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例1 10 引例1变量组之间的关系 设有三组变量x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 z1 z2 它们之间的关系分别为 2 乘法 11 求x1 x2 x3 x4与z1 z2之间的关系 把 2 代入 1 得 12 如果用 来表示x1 x2 x3 x4与z1 z2之间的关系 比较 3 4 两式 就有 13 引例2总收入与总利润设某地区有甲 乙 丙三个工厂 每个工厂都 产量 单位 个 如下表所示 生产 4种产品 已知每个工厂的年 14 已知每种产品的单价 元 个 和单位利润 元 个 如下表所示 求各工厂的总收入与总利润 15 解容易算出各工厂的总收入与总利润 也 本例中的三个表格可用三个矩阵表示 设 可以列表如下 16 定义2 其中 称为A与B的乘积 记为 例 17 注 1 两个矩阵相乘 必须第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等 2 计算法则 两个矩阵A与B乘积的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B第j列的对应元素乘积的和 3 矩阵乘法满足 1 结合律 2 分配律 18 4 矩阵乘法不满足交换律 即一般来说 例如设 则 5 矩阵乘法不满足消去律 即当时 不一定有 因为由上例可以看到 两个不为零的矩阵的乘积可以是零 19 称为n级单位矩阵 记为 简记为E 显然有 特别的 如果 则称可交换 20 由乘法结合律有 注1 方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义 2 一般来说 21 若令 方程组变成 22 例3设 则 23 3 数量乘法 定义5矩阵 注1 用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k 2 数量乘法满足 24 25 4 转置 所谓A的转置就是指矩阵 26 注1 s n矩阵的转置是n s矩阵 2 矩阵的转置满足 例如 27 例4已知 解法1 28 解法2 29 3 矩阵乘积的行列式与秩 1 乘积的行列式 定理1 设A B是数域P上的两个n n矩阵 那么即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 推论1 设是数域P上的n n矩阵 于是 30 定义1 数域P上的n n矩阵A称为非退化的 如果 推论2 否则称为退化的 设A B是数域P上n n矩阵 矩阵AB为退化的充分必要条件是A B中至少有一个是退化的 2 矩阵乘积的秩 设A B分别是数域P上n m和m s矩阵 于是 定理2 31 如果矩阵B满足AB BA E 那么B就称为A的逆矩阵 记为A 1 n级方阵矩阵A称为可逆的 如果有n级方阵B 使得AB BA E这里E为n级单位矩阵 4 矩阵的逆 定义7 定义8 1 矩阵的逆的定义 注1 由矩阵乘法法则 只有方阵才有逆矩阵 2 若是可逆矩阵 则它的逆矩阵是唯一的 32 例如设 2 逆矩阵的求法 定义9 设Aij是矩阵 中元素aij的代 数余子式 矩阵 为A的伴随矩阵 33 定理3 矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化 而 注1 由定理3可以看出 对于n级方阵A B 如果AB E 那么A B就都是可逆并且它们互为逆矩阵 2 定理3中给出了求逆矩阵的公式 但计算量一般较大 推论 如果矩阵A B可逆 那么与AB也可逆 且 34 总结逆矩阵的运算性质 35 矩阵A是一个s n矩阵 如果P是s s可逆矩阵 Q是n n可逆矩阵 那么秩 A 秩 PA 秩 AQ 定理4 例1求方阵的逆矩阵 解 36 同理可得 故 37 解 例2 38 39 例4 证明 40 对于行数和列数较高的矩阵A 为了简化运算 经常采用分块法 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 具体做法是 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 5 矩阵的分块 例如 1 41 即 2 42 分块矩阵的运算规则 1 加法设矩阵A与B的行数相同 列数相同 采用相同的分块法 有 43 44 3 乘法设矩阵A aik sn B bkj nm 把A B分为一些小矩阵 其中每个Aij是si nj小矩阵 每个Bij是ni mj小矩阵 于是有 45 46 47 准对角矩阵的行列式具有下述性质 48 6 对于两个有相同分块的准对角矩阵 49 如果A1 A2 Al都是可逆矩阵 50 例1设 解 51 则 52 又 53 于是 54 例2 解 55 56 57 58 59 例3设 解 60 61 6 初等矩阵 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 定义1 三类初等矩阵 把的第行的倍加到第行 或第列的倍加到第列 得到的初等矩阵 用数域中的数乘的第行 或第列 得到的初等矩阵 62 引理 对于一个s n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s s初等矩阵 对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n n初等矩阵 矩阵A与B称为等价的 如果B可以由A经过一系列次初等变换得到 注初等矩阵皆可逆 且其逆仍为同类初等矩阵 定义2 63 定理1 任意一个s n矩阵A作都与一形式为 的矩阵等价 它称为矩阵A的标准形 主对角线上1的个数等于A的秩 1的个数可以是零 注矩阵等价具有反身性 对称性 传递性 64 例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形 解 65 注矩阵A B等价的充分必要条件是具有初等矩阵P1 Pl Q1 Qt 使 n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积 两个s n矩阵A B等价的充分必要条件为 存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q使 定理6 推论1 66 推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位阵 注矩阵求逆的方法 伴随矩阵法 初等变换法 67 例2 求A 1 解 68 69 主要内容 分块初等矩阵 第七节 应用举例 分块乘法的初等变换及应用举例 70 一 分块初等矩阵 1 定义 把单位矩阵E如下进行分块 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初 等矩阵 分块初等矩阵有以下三种 71 1 分块对换矩阵 对换两行 列 所得到 2 分块倍乘矩阵 矩阵P所得到 3 分块倍加矩阵 某一行 列 左乘 右乘 一个 一行 列 加上另一行 列 的 P 矩阵 倍数所得到 72 和初等矩阵与初等变换的关系一样 分块初等 矩阵有与初等矩阵类似的性质 用分块初等矩阵左乘分块矩阵A 在保证可乘的 情况下 其作用相当于对分块矩阵A进行一次相应 的初等行变换 用分块初等矩阵右乘分块矩阵A 其作用相当于