高考数学综合性大题解题技巧——数学应用性问题

小熊图书网 小熊图书网 数学应用性问题怎么解数学应用性问题怎么解 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一 也是考生失分较多的一种题型 高 考中一般命制一道解答题和两道选择填空题 解答这类问题的要害是深刻理解题意 学会文 字语言向数学的符号语言的翻译转化 这就需要建立恰当的数学模型 这当中 函数 数列 不 等式 排列组合是较为常见的模型 而三角 立几 解几等模型也应在复课时引起重视 例例 1 1 某校有教职员工 150 人 为了丰富教工的课余生活 每天定时开放健身房和娱乐 室 据调查统计 每次去健身房的人有 10 下次去娱乐室 而在娱乐室的人有 20 下次去 健身房 请问 随着时间的推移 去健身房的人数能否趋于稳定 讲解讲解 引入字母 转化为递归数列模型 设第 n 次去健身房的人数为 an 去娱乐室的人数为 bn 则 150 nn ba 30 10 7 30 10 7 150 10 2 10 9 10 2 10 9 111111 nnnnnnnn aaaaabaa即 于是 100 10 7 100 1 nn aa 1 1 10 7 100 100 n n aa 即 100 10 7 100 1 1 aa n n 故随着时间的推移 去健身房的人数稳定在 100 人左右 100lim n n a 上述解法中提炼的模型 使我们联想到了课本典型习题 代数下册 30 10 7 1 nn aa P 132 第 34 题 已知数列的项满足 n a dcaa ba nn 1 1 其中 证明这个数列的通项公式是1 0 cc 1 1 c dcbdbc a nn n 有趣的是 用此模型可以解决许多实际应用题 特别 2002 年全国高考解答题中的应用 题 下文例 9 就属此类模型 例例 2 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米 小时 4 V 20 从 A 港出发前往 50 千 米处的 B 港 然后乘汽车以匀速 W 千米 小时 30 W 100 自 B 港向 300 千米处的 C 市驶去 在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市 设汽车 摩托艇所需的时间分别是 x 小时 y 小时 若所需经费元 那么 V W 分别为多少时 所需经 8 2 5 3100yxp 小熊图书网 小熊图书网 费最少 并求出这时所花的经费 讲解讲解 题中已知了字母 只需要建立不等式和函数模型进行求解 由于又 103 5 125 2 1004 50 xyV V y同理及149 yx 则 z 最大时 P 最小 23 23 131 8 2 5 3100yxzyxyxP 令 作出可行域 可知过点 10 4 时 z 有最大值 38 P 有最小值 93 这时 V 12 5 W 30 视这是整体思维的具体体现 当中的换元法是数学解题的常用方法 yxz23 例例 3 某铁路指挥部接到预报 24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨 为确保万无一 失 指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程 经测 算 其工程量除现有施工人员连续奋战外 还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时 但是 除了有一辆车可以立即投入施工外 其余车辆需要从各处紧急抽调 每隔 20 分钟有一辆车 到达并投入施工 而指挥部最多可组织 25 辆车 问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程 并 说明理由 讲解讲解 引入字母 构建等差数列和不等式模型 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知 每辆车 每小时的工作效率为 480 1 设从第一辆车投入施工算起 各车的工作时间为 a1 a2 a25小时 依题意它们组成公 差 小时 的等差数列 且 3 1 d 化简可得 48025 2 1 1 480480480 24 251 2521 1 aa aaa a即则有 5 192 82 1 a 解得 24 5 1 23 5 1 23 1 由于a 可见 a1的工作时间可以满足要求 即工程可以在 24 小时内完成 对照此题与 2002 年全国高考文科数学解答题中的应用题 你一定会感觉二者的解法是 大同小异的 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具 这要求你 不断的联想 力求寻找恰当的解题方案 例例 4 某学校为了教职工的住房问题 计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A m2 的 宿舍楼 已知土地的征用费为 2388 元 m2 且每层的建筑面积相同 土地的征用面积为第一 层的 2 5 倍 经工程技术人员核算 第一 二层的建筑费用相同都为 445 元 m2 以后每增高 一层 其建筑费用就增加 30 元 m2 试设计这幢宿舍楼的楼高层数 使总费用最少 并求出 其最少费用 总费用为建筑费用和征地费用之和 讲解讲解 想想看 需要引入哪些字母 怎样建构数学模型 小熊图书网 小熊图书网 设楼高为 n 层 总费用为 y 元 则征地面积为 征地费用为元 楼层建 2 5 2 m n A n A5970 筑费用为 445 445 445 30 445 30 2 445 30 n 2 元 从而A n n n A 400 30 15 元 AA n nA n A nA n A y1000 400 6000 15 400 30 15 5970 当且仅当 n 20 层 时 总费用 y 最少 n n 6000 15 故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时 最少总费用为 1000A 元 实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题 涉及到等差数列 等比数列 递 归数列等知识点 化归转化是解答的通性同法 例例 5 在一很大的湖岸边 可视湖岸为直线 停放着一只小船 由于缆绳突然断开 小船被风刮跑 其方向与湖岸成 15 角 速度为 2 5km h 同时岸边有一人 从同一地点开 始追赶小船 已知他在岸上跑的速度为 4km h 在水中游的速度为 2km h 问此人能否追上 小船 若小船速度改变 则小船能被人追上的最大速度是多少 讲解讲解 不妨画一个图形 将文字语言翻译为图形语言 进而想法建立数学模型 设船速为 v 显然时人是不可能追上小船 当km h 时 人不必在hkmv 4 20 v 岸上跑 而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船 因此只要考虑的情况 42 v 由于人在水中游的速度小于船的速度 人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶 当人沿岸 跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时 人才能追上 小船 设船速为 v 人追上船所用 时间为 t 人在岸上跑的时间为 则人在水中游的时间 10 kkt 为 人要追上小船 则人船运动的路线满足如图所示的三角形 tk 1 由余弦是理得 1 2 4 vtOBtkABktOA 15cos 2 222 OBOAOBOAAB 即 4 26 4 2 4 1 4 2222 vtktvtkttk 整理得 04 8 26 2 12 22 vkvk 要使上式在 0 1 范围内有实数解 则有且 1 12 4 0 2 v 0 4 124 8 26 2 22 vv 解得 hkmvv 22 222 max 即 故当船速在内时 人船运动路线可物成三角形 即人能追上小船 船能使人追 22 2 OA B vt 2 1 k t 4kt 15 小熊图书网 小熊图书网 上的最大速度为 由此可见当船速为 2 5km h 时 人可以追上小船 hkm 22 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点 复课时值得关注 例例 6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比 与它的厚度 d 的平方成正比 与它的长度 l 的平方成反比 1 将此枕木翻转 90 即宽度变为了厚度 枕木的安全负荷变大吗 为什么 2 现有一根横断面为半圆 半圆的半径为 R 的木材 用它来截取成长方形的枕木 其长度即为枕木规定的长度 问如何截取 可使安全负荷最大 讲解讲解 1 安全负荷为正常数 翻转k l ad ky 2 2 1 2 2 2 90 l da ky 后 安全负荷变大 4 分当 安全负荷变 21 2 1 0 yyad a d y y 时当 12 0yyda 时 小 2 如图 设截取的宽为 a 高为 d 则 222222 44 2 RdaRd a 即 枕木长度不变 u ad2最大时 安全负荷最大 244 22422222 dRddRdadu 3 22 22 22 22 3 22 4 22 4 dR dd dR dd 当且仅当 即取 3 9 34 R 22 2 2 dR d Rd 3 6 取时 u 最大 即安全负荷最大 RdRa 3 32 2 22 三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解 如果学过导数知识 其解法就更为方 便 省去了应用均值不等式时配凑 定和 或 定积 的技巧性 例例 7 已知甲 乙 丙三种食物的维生素 A B 含量及成本如下表 若用 甲 乙 丙三种食物各 x 千克 y 千克 z 千克配成 100 千克混合食物 并使混合食物 内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B 甲乙丙 维生素 A 单位 千克 600700400 维生素 B 单位 千克 800400500 成本 元 千克 1194 1 用 x y 表示混合食物成本 c 元 2 确定 x y z 的值 使成本最低 a d l 小熊图书网 小熊图书网 讲解讲解 1 依题意得 100 4911 zyxzyxc又 yxc57400 2 由 得 yxz zyx zyx 100 63000500400800 56000400700600 及 1303 32064 yx yx 45057 yx 85045040057400 yxc 当且仅当时等号成立 20 50 1303 32064 y x yx yx 即 当 x 50 千克 y 20 千克 z 30 千克时 混合物成本最低为 850 元 线性规划是高中数学的新增内容 涉及此类问题的求解还可利用图解法 试试看 例例 8 随着机构改革工作的深入进行 各单位要减员增效 有一家公司现有职员人a2 140 420 且为偶数 每人每年可创利万元 据评估 在经营条件不变的前提下 a2ab 每裁员 1 人 则留岗职员每人每年多创利万元 但公司需付下岗职员每人每年b01 0 万元的生活费 并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 为获得最大的b4 0 4 3 经济效益 该公司应裁员多少人 讲解讲解 设裁员人 可获得的经济效益为万元 则xy bxbxbxay4 0 01 0 2 abxax b 2 70 2 100 2 依题意 xa 2a2 4 3 0 x 2 a 又 140 420 70 210 a2a 1 当 0 即 70 即 140 210 时 取到最大值 70 a 2 a a 2 a x y 综上所述 当 70 140 时 应裁员人 当 140 210 时 应裁员人 a70 aa 2 a 在多字母的数学问题当中 分类求解时需要搞清 为什么分类 对谁分类 如何分类 例例 9 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆 预计此后每年报废上一年末汽车保有 量的 6 并且每年新增汽车数量相同 为保护城市环境 要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 讲解讲解 设 2001 年末汽车保有量为万辆 以后各年末汽车保有量依次为万辆 1 b 2 b 小熊图书网 小熊图书网 万辆 每年新增汽车万辆 则 3 bx 30 1 bxbb nn 94 0 1 所以 当时 两式相减得 2 nxbb nn 1 94 0 11 94 0 nnnn bbbb 1 显然 若 则 即 0 12 bb0 11 nnnn bbbb30 1 bbn 此时 8 194 0 3030 x 2 若 则数列为以为首项 0 12 bb nn bb 1 8 106 0 112 xbxbb 以为公比的等比数列 所以 94 0 8 194 0 1 xbb n nn i 若 则对于任意正整数 均有 所以 0 12 bbn0 1 nn bb 此时 30 11 bbb nn 8 194 03030 x ii 当时 则对于任意正整数 均有 所以 万8 1 x0 12 bbn0 1 nn bb 30 11 bbb nn 由 得 8 194 0 1 xbb n nn 30 94 0 1 94 0 1 1 12 112211 n nnnnn bb bbbbbbbb 30 06 0 94 0 18 1 1 n x 要使对于任意正整数 均有恒成立 n60 n b 即 6030 06 0 94 0 18 1 1 n x 对于任意正整数恒成立 解这个关于 x 的一元一次不等式 得n 8 1 94 0 1 8 1 n x 上式恒成立的条件为 由于关于的函数 上的最小值在Nn n x 8 1 94 0 1 8 1 n 单调递减 所以 8 1 94 0 1 8 1 n nf6 3 x 本题是 2002 年全国高考题 上面的解法不同于参考答案 其关键是化归为含参数的不 等式恒成立问题 其分离变量后又转化为函数的最值问题 小熊图书网 小熊图书网 例例 10 为促进个人住房商品化的进程 我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款 利率和商业性贷款利率如下 贷款期 年数 公积金贷款月利率 商业性贷款月利率 11 12 13 14 15 4 365 4 455 4 545 4 635 4 725 5 025 5 025 5 025 5 025 5 025 汪先生家要购买一套商品房 计划贷款 25 万元 其中公积金贷款 10 万元 分十二年 还清 商业贷款 15 万元 分十五年还清 每种贷款分别按月等额还款 问 1 汪先生家每月应还款多少元 2 在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款 如果他想把余下的商业贷款也一次性还 清 那么他家在这个月的还款总数是多少 参考数据 1 004455144 1 8966 1 005025144 2 0581 1 005025180 2 4651 讲解讲解 设月利率为 r 每月还款数为 a 元 总贷款数为 A 元 还款期限为 n 月 第 1 月末欠款数 A 1 r a 第 2 月末欠款数 A 1 r a 1 r a A 1 r 2 a 1 r a 第 3 月末欠款数 A 1 r 2 a 1 r a 1 r a A 1 r 3 a 1 r 2 a 1 r a 第 n 月末欠款数 0 1 1 1 1 21 ararararA nnn 得 1 1 1 n n r r rAa 对于 12 年期的 10 万元贷款 n 144 r 4 455 37 942 1004455 1 004455 0 004455 1 100000 144 144 a 对于 15 年期的 15 万元贷款 n 180 r 5 025 22 1268 1005025 1 005025 0 005025 1 150000 180 180 a 由此可知 汪先生家前 12 年每月还款 942 37 1268 22 2210 59 元 后 3 年每月还款 1268 22 元 2 至 12 年末 汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 ararararAX 1 1 1 1 142143144 其中 A 150000 a 1268 22 r 5 025 X 41669 53 再加上当月的计划还款数 2210 59 元 当月共还款 43880 12 元 需要提及的是 本题的计算如果不许用计算器 就要用到二项展开式进行估算 这在 2002 年全国高考第 12 题中得到考查 例例 11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防 将病毒细胞注入一 只小白鼠体内进行实验 经检测 病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表 已知该种 病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108的时候小白鼠将死亡 但注射某种药物 将可杀死 其体内该病毒细胞的 98 1 为了使小白鼠在实验过程中不死亡 第一次最迟应在何时注射该种药物 精确 小熊图书网 小熊图书网 到天 2 第二次最迟应在何时注射该种药物 才能维持小白鼠的生命 精确到天 已知 lg2 0 3010 讲解讲解 1 由题意病毒细胞关于时间 n 的函数为 则由 1 2 n y 102 81 n 两边取对数得 n27 5 82lg 1 n 即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物 2 由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 2226 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 x 2 2226 由题意 108 两边取对数得 x 2 2226 2 6 82lg22lg2lg26 xx得 故再经过 6 天必须注射药物 即第二次应在第 33 天注射药物 本题反映的解题技巧是 两边取对数 这对实施指数运算是很有效的 例例 1212 有一个受到污染的湖泊 其湖水的容积为V立方米 每天流出湖泊的水量都是 r立方米 现假设下雨和蒸发正好平衡 且污染物质与湖水能很