高考数列求和解题方法大全

高考数列求和解题方法大全高考数列求和解题方法大全 数列求和问题是数列的基本内容之一 也是高考的热点和重点 数列求和问题是数列的基本内容之一 也是高考的热点和重点 由于数列求和问题题型多样 技巧性也较强 以致成为数列的一个由于数列求和问题题型多样 技巧性也较强 以致成为数列的一个 难点 鉴于此 下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归难点 鉴于此 下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归 纳 以提高同学们数列求和的能力 纳 以提高同学们数列求和的能力 一 利用常用求和公式求和一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例 1 已知已知 求 求的前的前 n 项和项和 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 解 由解 由 由等比数列求和公式由等比数列求和公式 2 1 2loglog 3log 1 log 33 2 3 xxx 得得 1 n n xxxxS 32 x xx n 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n 2 1 二 错位相减法求和二 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这项和公式时所用的方法 这 种方法主要用于求数列种方法主要用于求数列 an bn 的前的前 n 项和 其中项和 其中 an bn 分分 别是等差数列和等比数列别是等差数列和等比数列 例例 2 求和 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 解 由题可知 解 由题可知 的通项是等差数列的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比的通项与等比 1 12 n xn 数列数列 的通项之积的通项之积 1 n x 当当 时1 x 2 2 121 127531n nn nSn 当当时1 x 设设 n n xnxxxxxS 12 7531 432 设制错位 设制错位 得得 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 错位相减 错位相减 再利用等比数列的求和公式得 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 例例 3 3 已知已知 数列 数列是首项为是首项为 a 公比也为 公比也为 a 的等比数列 的等比数列 1 0 aa n a 令令 求数列 求数列的前的前 项和项和 lgNnaab nnn n bn n S 解析 解析 anaaaaaS anaaaaS aanbaa n n n n n n n n lg 32 lg 32 lg 1432 32 得 得 anaaaaSa nn n lg 1 12 n n anan a aa S 1 1 1 lg 2 点评 设数列点评 设数列的等比数列 数列的等比数列 数列是等差数列 则数列是等差数列 则数列 n a n b nnb a 的前的前 项和项和求解 均可用错位相减法 求解 均可用错位相减法 n n S 三 反序相加法求和三 反序相加法求和 这是推导等差数列的前这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个项和公式时所用的方法 就是将一个 数列倒过来排列 反序 数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个个 1n aa 例例 4 函数 函数对任意对任意 都有 都有 1 求 求和和 xfRx 2 1 1 xfxf 2 1 f 1 1 n n f n f 的值 的值 2 数列 数列满足 满足 n a 1 1 2 1 0 f n n f n f n ffan 数列数列是是 n a 等差数列吗 请给与证明 等差数列吗 请给与证明 3 14 4 n n a b n Sn 16 32 试比较试比较与与的大小 的大小 22 2 2 1nn bbbT n T n S 解 解 1 令 令 可得可得 2 1 x 4 1 2 1 f 2 1 1 1 1 1 1 n f n f n n f n f 2 1 1 2 1 0 f n n f n f n ffan 0 1 2 2 1 1 f n f n f n n f n n ffan 1 2 1 0 1 1 1 1 0 2 nff n n f n fffan 4 1 n an 3 3 n bn 4 1 1 32 1 21 1 1 16 1 3 1 2 1 1 16 222 nnn Tn n S n 16 32 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数 列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可再将其合并即可 例例 5 求数列的前 求数列的前 n 项和 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得 分 分 23741 111 1 12 n aaa S n n 组 组 当当 a 1 时 时 分组 分组 2 13 nn nSn 2 13 nn 求和 求和 当当时 时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 例例 6 求数列求数列 n n 1 2n 1 的前的前 n 项和项和 解 设解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得 Sn 分组 分组 kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 21 21 3 21 2 222333 nnn 2 1 2 12 1 2 1 22 nnnnnnn 2 2 1 2 nnn 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质裂项法的实质 是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些 项 最终达到求和的目的项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 通项分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 例例 7 求数列求数列的前的前 n 项和项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设解 设 裂项 裂项 nn nn an 1 1 1 则则 裂项求和 裂项求和 1 1 32 1 21 1 nn Sn 1 23 12 nn 11 n 例例 8 在数列在数列 an 中 中 又 又 求 求 11 2 1