1991年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

第 1 页 共 9 页 19911991 年全国高考试题年全国高考试题 理工农医类理工农医类 一 选择题一 选择题 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 把所选把所选 项前的字母填在题后括号内项前的字母填在题后括号内 2 焦点在 1 0 顶点在 1 0 的抛物线方程是 A y2 8 x 1 B y2 8 x 1 C y2 8 x 1 D y2 8 x 1 3 函数 y cos4x sin4x 的最小正周期是 4 如果把两条异面直线看成 一对 那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中 异面 直线共有 A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 6 如果三棱锥 S ABC 的底面是不等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相 等 且顶点 S 在底面的射影 O 在 ABC 内 那么 O 是 ABC 的 A 垂心 B 重心 C 外心 D 内心 7 已知 an 是等比数列 且 an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么 a3 a5的值等于 A 5 B 10 C 15 D 20 A 0 0 6 B 3 0 3 0 C 0 0 3 0 D 0 0 6 0 9 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台 其中至少要有甲型与乙型电 第 2 页 共 9 页 视机各 1 台 则不同的取法共有 A 140 种 B 84 种 C 70 种 D 35 种 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 11 设甲 乙 丙是三个命题 如果甲是乙的必要条件 丙是乙的充分条件但不 是乙的必要条件 那么 A 丙是甲的充分条件 但不是甲的必要条件 B 丙是甲的必要条件 但不是甲的充分条件 C 丙是甲的充要条件 D 丙不是甲的充分条件 也不是甲的必要条件 A 0 B 1 C 2 D 3 13 如果奇函数 f x 在区间 3 7 上是增函数且最小值为 5 那么 f x 在区间 7 3 上是 A 增函数且最小值为 5 B 增函数且最大值为 5 C 减函数且最小值为 5 D 减函数且最大值为 5 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 15 设全集为 R f x sinx g x cosx M x f x 0 N x g x 0 那么 集合 x f x g x 0 等于 二 填空题二 填空题 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 18 已知正三棱台上底面边长为 2 下底面边长为 4 且侧棱与底面所成的角是 45 那么这个正三棱台的体积等于 19 在 ax 1 7的展开式中 x3的系数是 x2的系数与 x4的系数的等差中项 若实 数 a 1 那么 a 20 在球面上有四个点 P A B C 如果 PA PB PC 两两互相垂直 且 第 3 页 共 9 页 PA PB PC a 那么这个球面的面积是 三 解答题三 解答题 21 求函数 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x 的最小值 并写出使函数 y 取最小值的 x 的集合 23 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形 E F 分别是 AB AD 的中点 GC 垂直于 ABCD 所在的平面 且 GC 2 求点 B 到平面 EFG 的距离 24 根据函数单调性的定义 证明函数 f x x3 1 在 上 是减函数 25 已知 n 为自然数 实数 a 1 解关于 x 的不等式 19911991 年试题 理工农医类 答案年试题 理工农医类 答案 一 选择题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算 常规卷和 A 型卷答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 A 8 D 9 C 10 C 11 A 12 C 13 B 14 C 15 D 二 填空题二 填空题 本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算 三 解答题三 解答题 21 21 本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质 解解 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x sin2x cos2x 2sinxcosx 2cos2x 1 sin2x 1 cos2x 2 sin2x cos2x 第 4 页 共 9 页 22 22 本小题考查复数基本概念和运算能力本小题考查复数基本概念和运算能力 23 23 本小题考查直线与直线本小题考查直线与直线 直线与平面直线与平面 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 以及逻辑推理以及逻辑推理 和空间想象能力和空间想象能力 解解 如图 连结 EG FG EF BD AC EF BD 分别交 AC 于 H O 因为 ABCD 是正 方形 E F 分别为 AB 和 AD 的中点 故 EF BD H 为 AO 的中点 BD 不在平面 EFG 上 否则 平面 EFG 和平面 ABCD 重合 从而点 G 在平面的 ABCD 上 与 题设矛盾 由直线和平面平行的判定定理知 BD 平面 EFG 所以 BD 和平面 EFG 的距离就是点 B 到平面 EFG 的距离 BD AC EF HC GC 平面 ABCD EF GC EF 平面 HCG 平面 EFG 平面 HCG HG 是这两个垂直平面的交线 作 OK HG 交 HG 于点 K 由两平面垂直的性质定理知 OK 平面 EFG 所以线段 OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离 注 未证明 BD 不在平面 EFG 上 不扣分 第 5 页 共 9 页 24 24 本小题考查函数单调性的概念本小题考查函数单调性的概念 不等式的证明不等式的证明 以及逻辑推理能力以及逻辑推理能力 证法一证法一 在 上任取 x1 x2 且 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 所以 函数 f x x3 1 在 上是减函数 证法二证法二 在 上任取 x1 x2 且 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2不同时为零 即f x2 1 式等价于 第 6 页 共 9 页 logax1 式等价于 第 7 页 共 9 页 26 26 本小题考查双曲线性质本小题考查双曲线性质 两点距离公式两点距离公式 两直线垂直条件两直线垂直条件 代数二次方程等代数二次方程等 基本知识基本知识 以及综合分析能力以及综合分析能力 依题意知 点 P Q 的坐标满足方程组 将 式代入 式 整理得 5b2 3a2 x2 6a2cx 3a2c2 5a2b2 0 根据根与系数的关系 有 第 8 页 共 9 页 整理得 3c x1 x2 8x1x2 3c2 0 将 式及 c2 a2 b2代入 式 并整理得 3a4 8a2b2 3b4 0 a2 3b2 3a2 b2 0 因为 a2 3b2 0 解得 b2 3a2 整理得 x1 x2 2 4x1x2 10 0 将 式及 b2 3a2 c 2a 代入 式 解得 a2 1 将 a2 1 代入 b2 3a2得b2 3 解法二解法二 式以上同解法一 将 式及 c2 a2 b2代入 式并整理得3a4 8a2b2