高二期末圆锥曲线复习学案

精品文档 1欢迎下载 圆锥曲线复习学案 一 一 基础知识一 基础知识 1 三种圆锥曲线的研究 1 当 0 e1 时 点 P 轨迹是双曲线 当 e 1 时 点 P 轨迹是抛物线 2 椭圆及双曲线几何定义 椭圆 P PF1 PF2 2a 2a F1F2 0 F1 F2 为定点 双曲线 P PF1 PF2 2a F1F2 2a 0 F1 F2为定点 3 圆锥曲线的几何性质 几何性质是圆锥曲线内在的 固有的性质 不因为位 置的改变而改变 定性 焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中 中心为两焦点中点 椭圆及双曲线关于长轴 短轴或实轴 虚轴成轴对称 关 于中心成中心对称 定量 椭 圆双 曲 线抛 物 线 焦 距无 长轴长无无 实轴长无无 短轴长无 通径长 离心率 基本量关系无 4 圆锥曲线的标准方程及解析量 随坐标改变而变 当焦点在 x 轴上的方程如下 椭 圆双 曲 线抛 物 线 标准方程 a b 0 1 b y a x 2 2 2 2 a 0 b 1 b y a x 2 2 2 2 0 y2 2px p 0 顶 点 a 0 0 b a 0 0 0 焦 点 c 0 0 2 p 中 心 0 0 范 围 x a y b x ax 0 焦半径 PF x0 2 p 总之研究圆锥曲线 一要重视定义 这是学好圆锥曲线最重要的思想方法 二要数形结合 既熟 练掌握方程组理论 又关注图形的几何性质 以简化运算 二 常见结论 1 与双曲线 a 0 b 0 有共同渐近线的双曲线系方程为 22 22 1 xy ab 等轴双曲线的性质 离心率为 渐近线方程为 等轴双曲线可以设为 x2 y2 0 2 焦点弦的性质 焦点弦 过的焦点弦 pxy2 2 0 p 1 x 1 y 2 x 2 y 1 2 AB 12 y y 12 x x 3 以 AB 为直径的圆与准线相切 4 抛物线的通径 通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径 通 径的长为 通径是过焦点最短的弦 2p 精品文档 2欢迎下载 三 典例剖析三 典例剖析 题型一题型一 圆锥曲线的定义及方程圆锥曲线的定义及方程 例例 1 1 根据下列条件 求双曲线方程 1 已知双曲线的一条渐进线方程为 且通过点 则该双曲线的标准方程为 1 2 yx 3 3 A 2 与双曲线有共同渐近线 且过点 1 169 22 yx 32 3 例例 2 2 1 设分别是椭圆的左 右焦点 为椭圆上任一点 点的坐标为 12 F F 22 1 2516 xy PM 3 1 则的最大值为 2 PMPF 2 设点P在双曲线上 若F1 F2 为此双曲线的两个焦点 且1 169 22 yx PF1 PF2 1 3 求 F1PF2的周长 3 在抛物线上找一点 使最小 其中 求点的 2 4yx MMAMF 3 2A 1 0FM 坐标及此时的最小值 题型二 圆锥曲线的性质题型二 圆锥曲线的性质 例 3 1 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点 是一个含角的菱形的四个顶点 求椭圆的离心率 60 2 设是椭圆上的一点 是椭圆的左右焦点 且 求P 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 12 60FPF 椭圆的离心率的取值范围 e 四 强化训练四 强化训练 1 双曲线的两条渐近线互相垂直 那么该双曲线的离心率是 22 22 1 xy ba 2 抛物线 y 4x2的准线方程是 3 若Rk 则3 k是方程 22 1 33 xy k 表示双曲线的 条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要条件 D 既不充分也不必要 4 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取 得最小值时 点 P 的坐标为 A 4 1 1 B 4 1 1 C 1 2 D 1 2 精品文档 3欢迎下载 5 过抛物线的焦点的直线 交抛物线于 两点 如果 2 4yx l 11 P x y 22 Q xy 12 6xx 则 PQ 6 如图所示 嫦娥一号 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球 在月球附近一点P变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行 之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道 绕月飞行 若用和分别表示椭圆 1 2c 2 2c 轨道 I 和 的焦距 用和分别表示椭圆轨道 I 和 的长轴的长 给出下列式子 1 2a 2 2a 1122 acac 1122 acac 121 2 c aa c 12 12 cc aa 其中正确式子的序号是 A B C D 7 F1 F2是双曲线 22 1 4 xy aa 的两个焦点 点 P 在双曲线上 12 FPF 900 直角 12 FPF的面积是 1 则 a 的值是 A 1 B 5 2 C 2 D 5 8 设是等腰三角形 则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 ABC 120ABC AB C A B C D 2 21 2 31 21 31 9 m n 0 和双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 有共同的焦点 F1 F2 P 是两条曲线的一1 22 n y m x 个交点 则 12 PFPF 等于 A 22 ma B mn C 2 1 2 ma D 2 ma 10 已知方程表示焦点在轴上的双曲线 则点在 22 sinsin2xy y cos sinP A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 11 已知 m n 为两个不相等的非零实数 则方程 mx y n 0 与 nx2 my2 mn 所表示曲线可 能是 A B C D 12 椭圆的左右焦点分别为 点 P 在椭圆上 如果线段的中点在 y 轴上 则 1 312 22 yx 21 F F 1 PF 是 的 A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍 1 PF 2 PF 13 曲线的两条渐近线的夹角为 则双曲线的方程为 22 2 1 2 xy a 3 14 斜率为 2 的直线 过抛物线的焦点 且和轴交于点 若 为坐标原点 的l 2 yax FyAOAF O 面积为 4 则抛物线方程为 15 若点P到点 0 4 F的距离比它到直线 05 x 的距离少 1 则动点的轨迹方程是 P 16 直角坐标系 xoy 中 已知三角形 ABC 的顶点 A 4 0 和 C 4 0 顶点 B 在椭圆 上 则1 925 22 yx B CA sin sinsin 17 过点 1 6 且与渐近线方程是的双曲线方程是 2 2 yx 18 精品文档 4欢迎下载 圆锥曲线复习学案 二 一 知识与方法一 知识与方法 一 直线和圆锥曲线位置关系 一 直线和圆锥曲线位置关系 1 位置关系判断 法 适用对象是二次方程 二次项系数不为 0 将直线方程与圆锥曲线方程联立消去 y 或消去 x 得 或 2 0axbxc 2 0aybyc 1 相交 2 相切 3 相离 0 0 0 其中直线和曲线只有一个公共点 包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形 后一种情形下 消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况 后 一种情形下 消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0 直线和圆锥曲线相交时 交点坐标就是方程组的解 当涉及到弦的中点时 通常有两种处理方法 一是韦达定理 二是点差法 2 直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题 中点问题 范围问题 最值问题等 二 圆锥曲线的定值 最值问题 1 圆锥曲线中的定点 定值问题往往与圆锥曲线中的 常数 有关 2 圆锥曲线中的最值问题 通常有两类 一类是有关长度 面积等的最值问题 一类是圆锥曲 线中有关几何元素的最值问题 二 例题讲解二 例题讲解 题型一 弦长问题题型一 弦长问题 例例 1 1 已知椭圆 C 1 a b 0 的一个长轴顶点为 A 2 0 离心率为 直线 y k x 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M N 求椭圆 C 的方程 当 AMN 的面积为时 求 k 的值 题型二 最值 定值问题题型二 最值 定值问题 例例 2 2 知椭圆的离心率为 且过点 若点在椭圆上 则点称为点的一个 椭点 I 求椭圆的标准方程 若直线与椭圆相交于两点 且两点的 椭点 分别为 以 为直径的圆经过坐标原点 试判断的面积是否为定值 若为定值 求出定值 若不为定值 说明理由 精品文档 5欢迎下载 例例 3 3 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 经过点 2 1 A 离心率为 2 2 过点 3 0 B的直线 l与椭圆C交于不同的两点 M N 1 求椭圆C的方程 2 求BM BN 的取值范围 题型三 直线过定点问题题型三 直线过定点问题 例 例 4 精品文档 6欢迎下载 题型四 抛物线的综合问题题型四 抛物线的综合问题 例例 5 5 1 已知过抛物线焦点的直线 与抛物线相交于点 A B 如果线段 AB 的长等于 5 l 2 4yx 求直线 方程 注意技巧 l 2 如图 已知抛物线 y2 4x 过点 P 2 0 作斜率分别为 k1 k2的两条直线 与抛物线相交于点 A B 和 C D 且 M N 分别是 AB CD 的中点 1 若 k1 k2 0 求线段 MN 的长 2 若 k1 k2 1 求 PMN 面积的最小值 三 强化训练三 强化训练 1 过P 3 4 点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数是 1 169 22 yx 2 过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 两点 若 则这样的直线 有 2 2 1 2 y x 2 FlAB2AB l 条 条 条 不存在 A1 B2 C3 D 3 抛物线上的点到直线距离的最小值是 2 yx 4380 xy A B C D 4 3 7 5 8 5 3 4 一抛物线拱桥 当水面离桥顶 2m 时 水面宽 4m 若水面下降 1m 时 则水面宽为 A m B 2m C 4 5m D 9m66 5 AB 是过抛物线的焦点的弦 且 AB 4 则 AB 中点到直线 y 1 0 的距离是 yx 2 A B 2 C D 3 2 5 4 11 6 若直线 y kx 与双曲线相交 则 k 的取值范围为 1 49 22 yx A B C D 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 7 以椭圆内的点 M 1 1 为中点的弦所在直线的方程是 1 416 22 yx 精品文档 7欢迎下载 例 2 解 I 解 由题意知解 由题意知 即即 又又 2 2 分分 椭圆的方程为椭圆的方程为 4 4 分分 II 设设 则 则 由于以由于以为直径的圆经过坐标原点 所以为直径的圆经过坐标原点 所以即即 5 5 分分 由由得得 7 7 分分 代入代入即即得 得 9 9 分分 1111 分分 把把 代入上式得代入上式得 1212 分分 例 5 2 解 1 设 A x1 y1 B x2 y2 不妨设 y1 0 则设直线 AB 的方程为 y k1 x 2 代入 y2 4x 可得 y2 y 8 0 1 分 y1 y2 y1y2 8 2 分 y1 2y2 3 分 y1 4 y2 2 yM 1 4 分 k1 k2 0 线段 AB 和 CD 关于 x 轴对称 线段 MN 的长为 2 5 分 2 k1 k2 1 两直线互相垂直 设 AB x my 2 则 CD