知识讲解-《集合》全章复习巩固

集合集合 全章复习巩固全章复习巩固 编稿 丁会敏 审稿 王静伟 学习目标学习目标 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 3 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 4 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 知识网络知识网络 要点梳理要点梳理 要点一 集合的基本概念要点一 集合的基本概念 1 集合的概念 集合的概念 一般地 我们把研究对象统称为元素 如 1 10 内的所有质数 包括 2 3 5 7 则 3 是我们所 要研究的对象 它是其中的一个元素 把一些元素组成的总体叫做集合 如上述 2 3 5 7 就组成了 一个集合 2 2 元素与集合的关系 元素与集合的关系 1 属于 如果是集合 A 的元素 就说属于 A 记作 A 要注意 的方向 不能把aaa A 颠倒过来写 a 2 不属于 如果不是集合 A 的元素 就说不属于集合 A 记作 aaaA 3 集合中元素的特征 集合中元素的特征 1 确定性 集合中的元素必须是确定的 任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元 素 2 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的 也就是同一个元素在集合中不能重复出现 3 无序性 集合与组成它的元素的顺序无关 如集合 1 2 3 与 3 1 2 是同一个集合 4 集合的分类 集合的分类 集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 要点诠释 要点诠释 把不含有任何元素的集合叫做空集 记作 空集归入有限集 要点二 集合间的关系要点二 集合间的关系 1 子集 对于两个集合 A 与 B 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 那么集合 A 叫 做集合 B 的子集 记作 AB 对于任何集合 A 规定 A 两个集合 A 与 B 之间的关系如下 ABABBA AB ABAB AB 且 其中记号 或 表示集合 A 不包含于集合 B 或集合 B 不包含集合 A AB BA 2 子集具有以下性质 1 AA 即任何一个集合都这是它本身的子集 2 如果 那么 A B AB BA 3 如果 那么 AB BC AC 4 如果 那么 AB BC AC 3 包含的定义也可以表述成 如果由任一 x A 可以推出 x B 那么 或 AB BA 不包含的定义也可以表述成 两个集合 A 与 B 如果集合 A 中存在至少一个元素不是集合 B 的 元素 那么 或 AB BA 4 有限集合的子集个数 1 n 个元素的集合有 2n个子集 2 n 个元素的集合有 2n 1 个真子集 3 n 个元素的集合有 2n 1 个非空子集 4 n 个元素的集合有 2n 2 个非空真子集 要点诠释 要点诠释 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 换言之 任何集合至少有一个子集 要点三 集合的基本运算要点三 集合的基本运算 1 用定义求两个集合的交集与并集时 要注意 或 且 的意义 或 是两个皆可的意思 且 是两者都有的意思 在使用时不要混淆 2 用维恩图表示交集与并集 已知集合 A 与 B 用阴影部分表示 A B A B 如下图所示 3 关于交集 并集的有关性质及结论归结如下 1 A A A A A B B A A 或 B A A A A A A B B A A 或 B 2 U AA U AAU 3 德摩根定律 UUU ABAB UUU ABAB 4 ABAAB ABABA 4 全集与补集 1 它们是相互依存不可分离的两个概念 把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合 则称之为全集 而补集则是在时 由所有不属于 A 但属于 U 的元素组成的集合 记作 AU UA 数学表达式 若 则 U 中子集 A 的补集为 AU UA x xUxA 且 2 补集与全集的性质 UUA A AU UA U UU U U 5 空集的性质 空集的特殊属性 即空集虽空 但空有所用 对任意集合 A 有 A AA A 典型例题典型例题 类型一 类型一 集合的含义与表示集合的含义与表示 例 1 选择恰当的方法表示下列集合 1 mathematics 中字母构成的集合 2 不等式的解集 2 10 x 3 函数的自变量的取值范围 4yx 思路点拨 集合的表示有两种形式 我们必须了解每种方法的特点 选择最佳的表达形式 解析 1 m a t h e i c s 2 或 2 10 x x 3 或 4x yx 0 x x 总结升华 正确选择 运用列举法或描述法表示集合 关键是确定集合中的元素 然后根据元 素的数量和特性来选用恰当的表示形式 举一反三 举一反三 变式 1 将集合表示成列举法 正确的是 12 5 yx yx yx A 2 3 B 2 3 C x 2 y 3 D 2 3 答案 B 变式 2 已知集合 Ax y x y为实数 且 22 1xy Bx y x y为实数 且 yx 则AB 的元素个数为 0 1 2 3 答案 例 2 若含有三个元素的集合可表示为 也可以表示为 求的 1 b a a 2 0aab 20092009 ab 值 思路点拨 由集合中元素的确定性和互异性可解得 答案 1 解析 由 可得且 1 b a a 1a 0a 则有或解得或 舍去 2 1 0 a aab b a 2 1 0 ab aa b a 1 0 a b 1 0 a b 故 20092009 1ab 总结升华 利用集合中元素特性来解题 既要用元素的确定性 又要利用互异性检验解的正确与 否 初学者在解题时容易忽视元素的互异性 必须在学习中高度重视 另外 本类问题往往涉及分类 讨论的数学思想 举一反三 举一反三 变式 1 若 求实数的值 2 33 21 1aaa a 答案 2 解析 由 可知或或 且 2 33 21 1aaa 33a 213a 2 13a 2 3211aaa 1 若 则 此时 33a 0a 2 2111aa 与集合中元素的互异性相矛盾 故舍去 0a 2 若 则 此时 符合集合的特性 213a 2a 35a 2 15a 3 若 则方程无解 2 13a 2 4a 综上可得的值为 a2 例 3 已知集合 2 230 Ax mxxmR 1 若 A 是空集 求的取值范围 m 2 若 A 中只有一个元素 求的值 m 3 若 A 中至多只有一个元素 求的取值范围 m 答案 1 2 0 3 或者 m 0 1 3 m 1 3 1 3 m 解析 1 当时 A 不为空集 则不满足题意 0m 3 2 x 0m 当 m 0 时 若 A 为空集 则一元二次方程实数范围内无解 2 230mxx 即 4 120m 1 3 m 综上若 A 为空集 则 1 3 m 2 由集合中只含有一个元素可得 方程有一解 由于本方程并没有注明是A 2 230mxx 一个二次方程 故也可以是一次方程 应分类讨论 当时 可得是一次方程 故满足题意 0m 当 m 0 时 则为一元二次方程 所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根 即判别式为 0 时的值 可求得为 故的取值为 0 m 1 3 m m 1 3 3 A 中元素至多只有一个 有以下两种情况存在 集合 A 是空集 集合 A 是只有一个元素 综合 1 2 知 若 A 中元素至多只有一个 或者 m 0 1 3 m 总结升华 集合 A 是方程 mx2 2x 3 0 在实数范围内的解集 所以本题实际上是讨 论方程 mx2 2x 3 0 解的个数问题 类型二 集合的基本关系类型二 集合的基本关系 例 4 设集合 A x 1 x 3 B x x a 0 或 AB 则 a 的取值范围是 思路点拨 此题考查判断两个集合的包含关系 由于题中所给集合为含不等式的描述法形式 可以借助数轴进行直观的分析 解析 AB x x a 利用数轴作图如下 由此可知 a 1 总结升华 要确定一个集合的方法之一是 明确集合中元素的范围及其满足的性质 借助 Venn 图来分析 直观性强 集合是由元素构成的 要确定一个集合的方法之二是 把集合中的元素一 一找出来 用列举法表示 要确定一个集合的方法之三是 明确集合中元素的范围及其满足的性质 用特征性质描述法表示的集合 可借助数轴来分析 直观性强 举一反三 举一反三 变式 1 已知集合 A x x 1 或 x 1 B x 2a x a 1 若 BA 求 a 的取值范 围 解析 1 当 B 是空集 需要 2a a 1 得到 a 1 2 当 B 不是空集且 B 的上限小于等于 1 即 a 1 且 a 1 1 得到 a 2 3 当 B 不是空集且 B 的下限大于等于 1 即 a 1 且 2a 1 得到 1 2 a 1 综上 a 2 或 a 1 2 变式 2 若集合 B 1 2 3 4 5 C 小于 10 的正奇数 且集合 A 满足 AB AC 则 集合 A 的个数是 思路点拨 由题设 C 1 3 5 7 9 因为 AB AC 可用 Venn 图发现集合 B 与 C 的公共元素为 1 3 5 则集合 A 可能含有 1 3 5 三个数中的 0 个 1 个 2 个 或 3 个 故集合 A 的个数即为 1 3 5 的子集的个数 解析 由已知作 Venn 图 1 3 5 的子集中含 0 个元素的有 1 个 1 3 5 的子集中含 1 个元素的有 3 个 1 3 5 1 3 5 的子集中含 2 个元素的有 3 个 1 3 1 5 3 5 1 3 5 的子集中含 3 个元素的有 1 个 1 3 5 由上述分析知集合 A 的个数为 1 3 5 的子集的个数 1 3 3 1 8 个 例 5 设集合 若 求 222 40 2 1 10 Ax xxxRBx xaxaxR BA 实数的范围 a 答案 或1a 1a 解析 2 40 4 0Ax xxxR 或BA BA B A 当时 即 则是方程的两根 代入解得BA 4 0B 4 0 22 2 1 10 xaxa 1a 当时 分两种情况 B A 1 若 则 解得 B 22 4 1 4 1 0aa 1a 2 若 则方程有两个相等的实数根 B 22 2 1 10 xaxa 解得 此时 满足条件 22 4 1 4 1 0aa 1a 0B 综上可知 所求实数的范围为或 a1a 1a 总结升华 要解决此题 应明确的具体含义 一是 二是 而时BA BA B AB A 还应考虑能否是的情况 因此解题过程中必须分类讨论 另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨B 论问题 类型三 集合的基本运算类型三 集合的基本运算 例 6 已知全集 U R 集合 M x 2 x 1 2 和 N x x 2k 1 k 1 2 的关系的韦恩 Venn 图如下图所示 则阴影部分所示的集合的元素区有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 无穷多个 答案 B 解析 阴影部分为 M N x 2 x 1 2 x x 2k 1 k 1 2 x 1 x 3 x x 2k 1 k 1 2 1 3 阴影部分所示的集合的元素区有 2 个 故选 B 项 总结升华 具体集合 给出或可以求得元素的集合 的交 并 补运算 以及集合间关系的判 定 子集的个数问题是每年高考重点考查的对象 因而也是高考命题的热点 举一反三 举一反三 变式 1 已知全集 U R 则正确表示集合 M 1 0 1 和 N x关系的韦恩图是 2 0 xx A B C D 答案 B 高清课堂 集合与函数性质综合高清课堂 集合与函数性质综合 377492377492 例例 4 4 变式 2 设全集为 R 73 xxA 102 xxB 求及 AB R AB R 答案 AB R 210 x xx 或 AB R 2310 xxx 或7 例 7 若集合 A x x2 ax a2 19 0 B 2 3 C 2 4 满足 A B 且 A C 则实数 a 的值是 思路点拨 由题设 A B且 A C 知 2 3 与集合 A 的关系 再进行解答 解析 由已知 3 A 2A 则 32 3a a2 19 0 即 a 5 或 a 2 当 a 5 时 A 2 3 与题意矛盾 当 a 2 时 A 5 3 符合题意 由上述分析知 a 2 总结升华 集合是由元素构成的 要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性 质 再把集合中的元素一一找出来 例 8 设集合 A x a 4 x a 4 B x x 1 或 x 5 若 A B R 则 a 的取值范围是 思路点拨 此题考查两个集合并集的运算 由于题中所给集合为含不等式的描述法形式 可 以借助数轴进行直观的分析 解析 A B R 利用数轴作图如下 因此可知 即 a 1 a 3 41 45 a a 总结升华 明确集合中元素的范围及其满足的性质 用特征性质描述法表示的集合可借助数 轴来分析 直观性强 举一反三 举一反三 变式 1 已知集合 A x 2 x 5 B x k 1 x 2k 1 若 A B 求实数 k 的 取值范围 解析 A B 当时 2k 1 k 1 即 k5 或 2k 14 或B 1 2 k 综上知 4kk 或 2 例 9 设集合 A x 1 x 5 B x x a 或 x a 2 若 则 a 的取值范围是 R AB 思路点拨 此