知识讲解-条件概率-事件的相互独立性(理)(基础)

第 1 页 共 12 页 条件概率条件概率 事件的相互独立性事件的相互独立性 学习目标学习目标 1 了解条件概率的概念和概率的乘法公式 2 能运用条件概率解决一些简单的实际问题 3 了解两个事件相互独立的概念 会判断两个事件是否为相互独立事件 4 能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题 要点梳理要点梳理 要点一 条件概率的概念要点一 条件概率的概念 1 定义定义 设A B为两个事件 且 0P A 在已知事件A发生的条件下 事件B 发生的概率叫做条件概 率 用符号 P B A表示 P B A读作 A发生的条件下B 发生的概率 要点诠释要点诠释 在条件概率的定义中 事件 A 在 事件 B 已发生 这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率 是不同的 应该说 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 而这里所说的条件概率 则是当试验结 果的一部分信息已知 求另一事件在此条件下发生的概率 2 P A B P AB P B 的区别 的区别 P A B 是在事件 B 发生的条件下 事件 A 发生的概率 P AB 是事件 A 与事件 B 同时发生的概率 无附加条件 P B 是事件 B 发生的概率 无附加条件 它们的联系是 P AB P A B P B 要点诠释要点诠释 一般说来 对于概率 P A B 与概率 P A 它们都以基本事件空间 为总样本 但它们取概率的前提 是不相同的 概率 P A 是指在整个基本事件空间 的条件下事件 A 发生的可能性大小 而条件概率 P A B 是指在事件 B 发生的条件下 事件 A 发生的可能性大小 例如 盒中球的个数如下表 从中任取一球 记 A 取得篮球 B 取得玻璃球 基本事件空间 包含的样本点总数为 16 事件 A 包含的样本点总数为 11 故 11 16 P A 玻璃木质总计 红235 蓝4711 总计61016 如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率 那 第 2 页 共 12 页 么在事件 B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为 玻璃球的总数 即把样本空间压缩到玻璃球全体 而在事件 B 发生的条件下事件 A 包含的样本点数为蓝玻璃球数 故 42 63 P A B 要点二 条件概率的公式要点二 条件概率的公式 1 计算事件 计算事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率 常有以下两种方式 发生的条件概率 常有以下两种方式 利用定义计算 先分别计算概率 P AB 及 P B 然后借助于条件概率公式 P AB P A B P B 求解 利用缩小样本空间的观点计算 在这里 原来的样本空间缩小为已知的条件事件 B 原来的事件 A 缩小为事件 AB 从而 AB P A B B 包含的基本事件数 包含的基本事件数 即 n AB P B A n A 此法常应用于古典概型中的条件概 率求解 要点诠释要点诠释 概率 P B A 与 P AB 的联系与区别 联系 事件 A B 都发生了 区别 在 P B A 中 事件 A B 发生有时间上的差异 事件 A 先发生事件 B 后发生 在 P AB 中 事件 A B 同时发生 基本事件空间不同在 P B A 中 事件 A 成为基本事件空间 在 P AB 中 基本事件空间仍为原基本 事件空间 2 条件概率公式的变形 条件概率公式的变形 公式 P AB P A B P B 揭示了 P B P A B P AB 的关系 常常用于知二求一 即要熟练 应用它的变形公式如 若 P B 0 则 P AB P B P A B 该式称为概率的乘法公式 要点诠释要点诠释 条件概率也是概率 所以条件概率具有概率的性质 如 任何事件的条件概率取值在 0 到 1 之间 必然事件的条件概率为 1 不可能事件的条件概率为 0 条件概率也有加法公式 P B C A P B A P C A 其中 B 和 C 是两个互斥事件 要点三 相互独立事件要点三 相互独立事件 1 定义 定义 事件A 或B 是否发生对事件B 或A 发生的概率没有影响 即 P B AP B 这样的两个事 件叫做相互独立事件 第 3 页 共 12 页 若A与B是相互独立事件 则A与B A与B A与B也相互独立 2 相互独立事件同时发生的概率公式 相互独立事件同时发生的概率公式 对于事件 A 和事件 B 用A B 表示事件 A B 同时发生 1 若A与B是相互独立事件 则 P A BP AP B 2 若事件 12 n A AA 相互独立 那么这n个事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的 积 即 1212 nn P A AAP AP AP A 要点诠释要点诠释 1 P AB P A P B 使用的前提是 A B 为相互独立事件 也就是说 只有相互独立的两 个事件同时发生的概率 才等于每个事件发生的概率的积 2 两个事件A B相互独立事件的充要条件是 P A BP AP B 3 相互独立事件与互斥事件的比较 相互独立事件与互斥事件的比较 互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念 它们之间没有直接关系 互斥事件是指两个事件不可能同时发生 而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的 概率没有影响 一般地 两个事件不可能既互斥又相互独立 因为互斥事件是不可能同时发生的 而相互独立事件是 以它们能够同时发生为前提的 相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 这一点与互 斥事件的概率和也是不同的 4 几种事件的概率公式的比较几种事件的概率公式的比较 已知两个事件 A B 它们发生的概率为 P A P B 将 A B 中至少有一个发生记为事件 A B 都发 生记为事件 A B 都不发生记为事件 恰有一个发生记为事件A BA B 至多有一个发生记为事A B 件A BA BA B 则它们的概率间的关系如下表所示 概率A B 互斥A B 相互独立 P A B P A P B 1 P AP B P A B 0P A P B P A B 1 P A P B P AP B P A BA B P A P B P AP BP AP B P A BA BA B 11 P A P B 典型例题典型例题 类型一 条件概率类型一 条件概率 第 4 页 共 12 页 例例 1 甲 乙两地都位于长江下游 根据一百多年的气象记录 知道甲 乙两地一年中雨天占的比例分别 为 20 和 18 两地同时下雨的比例为 12 问 1 乙地为雨天时 甲地也为雨天的概率为多少 2 甲地为雨天时 乙地也为雨天的概率为多少 思路点拨 1 在乙地为雨天的事情业已发生的情况下 求甲地也下雨的概率 为典型的条件概率问 题 解析 设 A 表示 甲地为雨天 B 表示 乙地为雨天 则根据题意有 P A 0 20 P B 0 18 P AB 0 12 1 0 12 0 67 0 18 P AB P A B P B 2 0 12 0 60 0 20 P AB P B A P A 总结升华 这类条件概率的应用问题 首先分清一前一后两事件的发生 前面的事件对后面的事件的 发生有没有影响 若没有影响 就是无条件概率 若有影响 就是条件概率 然后根据相应的公式计算 即可 举一反三 举一反三 变式 1 甲 乙两名推销员推销某种产品 据以往经验 两人在一天内卖出一份产品的概率分别为 3 5 和 7 10 两人在一天内都卖出一份产品的概率为 1 2 问 1 在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少 2 在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少 答案 事件 A 甲在一天内卖出一份产品 事件 B 乙在一天内卖出一份产品 因为两人在一天内卖出一份产品的概率分别为 3 5 和 7 10 两人在一天内都卖出一份产品的概率为 1 2 所以 3 5 P A 7 10 P B 1 2 P AB 1 因为 在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品 这一事件是甲在一天内卖出一份产品后 乙卖出一份产品 所以由条件概率公式 可得 1 5 2 3 6 5 P AB P B A P A 2 因为 在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品 这一事件是乙在一天内卖出一份产品后 甲卖出一份产品 所以由条件概率公式 可得 1 5 2 7 7 10 P AB P A B P B 变式 2 若 3 4 P A 1 2 P B A 则 P AB等于 第 5 页 共 12 页 A 2 3 B 3 8 C 1 3 D 5 8 答案 B 313 428 P ABP AP B A 变式 3 一个盒子中装有 6 只好晶体管和 4 只坏晶体管 任取两次 每次取 1 只 第一次取后不放 回 若第一次取到的是好的 则第二次也取到好的概率为 A 3 5 B 1 3 C 5 9 D 4 9 答案 C 设 i A 第i次取到好的晶体管 i 1 2 因为 1 63 105 P A 12 6 51 10 93 P A A 所以 12 21 1 5 9 P A A P AA P A 例例 2 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题 如果不放回地依次抽取 2 道题 求 1 第 1 次抽到理科题的概率 2 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率 3 在第 1 次抽到理科题的条件下 第 2 次抽到理科题概率 思路点拨 本题考查古典概型 条件概率 1 和 2 中利用 m P n 解决 3 利用条件概率 公式解决 解析 设 第 1 次抽到理科题 为事件 A 第 2 次抽到理科题 为事件 B 则 第 1 次和第 2 次都抽到理 科题 为事件 AB 1 11 34 2 5 123 205 A A P A A 2 2 3 2 5 63 2010 A P AB A 3 3 1 10 3 2 5 P AB P B A P A 总结升华 1 求条件概率 P B A的关键就是要抓住事件 A 作为条件和事件 A 与 B 同时发生这两件事 然后 具体问题具体对待 2 本题第 3 问可用下面的方法求解 第 6 页 共 12 页 用 n A 表示事件 A 中包含的基本事件个数 则 n A 12 n AB 6 故 61 122 n AB P B A n A 举一反三 举一反三 变式 1 某学校一年级共有学生 100 名 其中男生 60 人 女生 40 人 来自北京的有 20 人 其中男生 12 人 若任选一人是女生 问该女生来自北京的概率是多少 答案 用 A 表示 任选一人是女生 B 表示 任选一人来自北京 依题意知北京的学生有 8 名女生 这 是一个条件概率问题 即计算 P B A 由于 40 100 P A 8 100 P AB 8 1 100 40 5 100 P AB P B A P A 变式 2 在 10 支铅笔中 有 8 支正品 2 支次品 若从中任取 2 支 则在第 1 次取到的是次品的条件 下 第二次取到正品的概率是 A 1 5 B 8 45 C 8 9 D 4 5 答案 C 利用缩小样本空间的方法求解 因为第一次取到 1 支次品 还剩 9 支铅笔 其中有 8 支正品 所以第二次取正品的概率是 8 9 变式 3 盒中装有 5 件产品 其中 3 件一等品 2 件二等品 从中不放回地抽取产品 每次抽取 1 件 求 1 取两次 两次都取得一等品的概率 2 取两次 第二次取得一等品的概率 3 取两次 已知第二次取得一等品 第一次取得的是二等品的概率 答案 事件 Ai为 第 i 次取到一等品 其中 i 1 2 1 取两次 两次都取得一等品的概率为 12121 3 23 5 410 P A AP A P AA 2 取两次 第二次取得一等品的概率 即第一次有可能取到一等品 也有可能取到二等品 可得 212121212 P AP A AA AP A AP A A 2 33 23 5 45 45 3 取两次 已知第二次取得一等品 第一次取得的是二等品的概率 第 7 页 共 12 页 即 12 12 2 23 1 54 3 2 5 P A A P AA P A 例例 3 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球 2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球 现随机地从 1 号箱中取出一 球放入 2 号箱 然后从 2 号箱随机取出一球 问从 2 号箱取出红球的概率是多少 思路点拨 从 2 号箱取出红球 有两种互斥的情况 一是当从 1 号箱取出红球时 二是当从 1 号箱 取出白球时 解析 记事件 A 从 2 号箱中取出的是红球 事件 B 从 1 号箱中取出的是红球 则 42 243 P B 1 1 3 P BP B 3 14 8 19 P A B 31 8 13 P A B 从而 P AP ABP AB P A B P BP A B P B 421111 933327 总结升华 求复杂事件的概率 可以把它分解为若干个互不相容的简单事件 然后利用条件概率公式 和乘法公式 求出这些简单事件的概率 最后利用概率的加法公式 得到最终结果 举一反三 举一反三 变式 一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球 那么 1 先摸出一个白球不放回 再摸出 个白球的概率是多少 2 先摸出一个白球后放回 再摸出一个白球的概率是多少 答案 1 设 先摸出一个白球不放回 为事件 A 再摸出一个白球 为事件 B 则 先后两次摸到白球 为事件 AB 1 2 P A 111 236 P AB 1 1 6 1 3 2 P AB P B A P A 2 设 先摸出一个白球放回 为事件 A1 再摸出一个白球 为事件 B1 则 两次都摸到白球 为事件 A1B1 1 1 2 P A 11 1 4 P AB 11 11 1 1 1 4 1 2 2 P AB P BA P A 第 8 页 共 12 页 综合 1 2 所述 先摸出一个白球不放回 再摸出一个白球的概率为 1 3 先摸出一个白球后放回 再摸出一个白球的概率为 1 2 类型二 类型二 相互独立事件相互独立事件 例例 4 容器中盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球 1 从 8 个球中任意取出 1 个 取出的是白球 与 从剩下的 7 个球中任意取出 1 个 取出的还是白 球 这两个事件是否相互独立 为什么 2 从 8 个球中任意取出 1 个 取出的是白球 与 把取出的 1 个白球放回容器 再从容器中任意取 出 1 个 取出的是黄球 这两个事件是否相互独立 为什么 思路点拨 从相互独立事件的定义入手 解析 1 从 8 个球中任意取出 1 个 取出的是白球 的概率为 5 8 若这一事件发生了 则 从剩 下的 7 个球中任意取出 1 个 取出的仍是白球 的概率为 4 7 若前一事件没有发生 则后一事件发生的概 率为 5 7 可见 前一事件是否发生 对后一事件发生的概率有影响 所以二者不是相互独立事件 2 由于把取出的白球放回容器 故对 从中任意取出 1 个 取出的是黄球 的概率没有影响 所以 二者是相互独立事件 总结升华 判断两事件是否相互独立的方法有 1 通过计算 P B A P B 可以判断两个事件相互独立 2 通过验证 P AB P A P B 也可以判断两个事件相互独立 举一反三 举一反三 变式 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件 1 运动员甲射击 1 次 射中 9 环 与 射中 8 环 2 甲 乙两运动员各射击 1 次 甲射中 10 环 与 乙射中 9 环 3 甲 乙两运动员各射击 1 次 甲 乙都射中目标 与 甲 乙都没有射中目标 4 甲 乙两运动员各射击 1 次 至少有 1 人射中目标 与 甲射中目标 但乙没有射中目标 答案 1 甲射击 1 次 射中 9 环 与 射中 8 环 这两个事件不可能同时发生 二者是互斥事件 2 甲 乙各射击 1 次 甲射中 10 环 发生与否对 乙射中 9 环 的概率没有影响 二者为相互独立 事件 3 甲 乙各射击 1 次 甲 乙都射中目标 与 甲 乙都没有射中目标 不可能同时发生 二者是互 斥事件 4 甲 乙各射击 1 次 至少有 1 人射中目标 与 甲射中目标 但乙没有射中目标 可能同时发生 二者构不成互斥事件 但也不可能是相互独立事件 例例 5 甲 乙各进行一次射击 若甲 乙击中目标的概率分别为 0 8 0 7 求下列事件的概率 1 两人都击中目标 第 9 页 共 12 页 2 至少有一人击中目标 3 恰有一人击中目标 思路点拨 显然 甲射击一次 击中目标 与 乙射击一次 击中目标 互不影响 即相互独立 两人 都击中 即事件同时发生 应该用乘法公式 解析 记 A 为 甲射击一次 击中目标 B 为 乙射击一次 击中目标 则 A 与 B 相互独立 进而有 A 与B A与 B A与B也都相互独立 至少有一个击中 即事件ABABAB 发生 恰有一个击中 即事件ABAB 发生 由已知 P A 0 8 P B 0 7 1 两人都击中目标的概率 P AB P A P B 0 8 0 7 0 56 2 至少有一人击中目标的概率 P ABABABP ABP ABP AB P AP BP AP BP AP B 0 2 0 7 0 8 0 3 0 8 0 7 0 94 3 恰有一人击中目标的概率 P ABABP ABP AB P AP BP AP B 0 2 0 7 0 8 0 3 0 38 总结升华 审题应注意关键的词句 例如 至少有一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 等 应学 会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解 举一反三 举一反三 变式 1 甲 乙两个袋中均装有红 白两种颜色的球 这些球除颜色外完全相同 其中甲袋装有 4 个红球 2 个白球 乙袋装有 1 个红球 5 个白球 若分别从甲 乙两袋中各随机取出一个球 求取出 的两球都是红球的概率 答案 因从甲袋中取一球为红球的概率为 4 6 从乙袋中取一球为红球的概率为 1 6 故从两袋中各取一球 取出的都是红球的概率为 411 669 变式 2 在某段时间内 甲地下雨的概率为 0 3 乙地下雨的概率为 0 4 若在这段时间内两地是否 下雨之间没有影响 则在这段时间内 甲 乙两地都不下雨的概率为 A 0 12 B 0 88 C 0 28 D 0 42 答案 D P 1 0 3 1 0 4 0 42 变式 3 某商场推出二次开奖活动 凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券 奖券上有一个兑奖号 码 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动 如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 05 求两次抽 第 10 页 共 12 页 奖中以下事件的概率 1 都抽到某一指定号码 2 恰有一次抽到某一指定号码 3 至少有一次抽到某一指定号码 答案 1 记 第一次抽奖抽到某一指定号码 为事件 A 第二次抽奖抽到某一指定号码 为事件 B 则 两次抽奖都抽到某一指定号码 就是事件 AB 由于两次抽奖结果互不影响 因此 A 与 B 相互独立 于是 由独立性可得 两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P AB P A P B 0 05 0 05 0 0025 2 两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码 可以用 AB U AB 表示 由于事件 AB与AB 互斥 根据概率加法公式和相互独立事件的定义 所求的概率为 P AB 十 P AB P A P B P A P B 0 05 1 0 05 1 0 05 0 05 0 095 3 两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码 可以用 AB U AB U AB 表示 由于事件 AB A B和AB 两两互斥 根据概率加法公式和相互独立事件的定义 所求的概率为 P AB P AB P AB 0 0025 0 095 0 097 例例 6 6 甲 乙 丙三位同学完成 6 道数学自测题 已知他们及格的概率依次为 求 4 5 3 5 7 10 1 三人中有且只有两人及格的概率 2 三人中至少有一人不及格的概率 思路点拨 三件 或三件以上 相互独立的事同时发生 和两个相互独立的事同时发生是类似的 都 用乘法公式 解析 设甲 乙 丙三位同学答题及格分别为事件 A B C 则事件 A B C 相互独立 1 三人中有且只有两人及格的概率为 1 PP ABCP ABCP ABC P AP BP CP AP BP CP AP BP C 437437437 1 1 1 551055105510 113 250 2 三人中至少有一人不及格的概率为 例 1 2 43783 1 1 1 5510125 PP ABCP AP BP C 总结升华 明确事件中的 至少有一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 都发生 都不发生 不 都发生 等词语的意义 在求事件的概率时 有时会遇到求 至少 或 至多 等事件的概率问题 它们是诸多事 第 11 页 共 12 页 件的和或积 可以从正面或对立面解决问题 如果从正面考虑这些问题 求解过程繁琐 但 至 少 或 至多 这些事件的对立事件却相对简单 其概率也易求出 此时 可逆向思维 运用 正难则反 的原则求解 举一反三 举一反三 变式 1 某道路的A B C三处设有交通灯 这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒 35 秒 45 秒 某辆车在这条路上行驶时 三处都不停车的概率是 A 35 192 B 25 192 C 35 576 D 65 192 答案 A 在A B C三处不停车的概率分别为 255 6012 357 6012 459 6012 故三处都不停车的概率是 57935 121212192 变式 2 甲射击命中目标的概率是 1 2 乙射击命中目标的概率是 1 3 丙射击命中目标的概率是