第二专题整数的速算与巧算

1 第二专题第二专题 整数的速算与巧算整数的速算与巧算 前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧 但这仅仅是运算的基础 本专题将更深入地介绍一些特定的速算 巧算的方法 以提高计算的效率 节省计算时间 锻炼记忆力 提 高综合分析 判断能力 提高解决复杂问题的能力 必会知识点必会知识点 1 基本运算定律 加法交换律 abba 加法结合律 abcabc 乘法交换律 abba 乘法结合律 abcabc 乘法分配律 反过来就是提取公因数 反过来就是提取公因数 abcabac 减法的性质 abcabc 除法的性质 abcabc abcacbc abcacbc 8 其他性质 a b c a b c a c b a b c a b c 2 a b c a b c a c b 积不变性质 同时乘以 或除以 同一个非零数 积不变 即 a b a n b n a n b n n 0 商不变性质 被除数和除数除以 或乘以 同一个非 0 的数 商 不变 即 a b a n b n a n b n n 0 在连除时 可以交换除数位置 商不变 如 a b c a c b 在乘除混合运算中 被乘数 乘数 或除数 必须连同运算符号一 起交换位置 即带符号搬家 如 a b c a c b b c a 上面的这些运算律 既可以从左到右顺着用 尤其是尤其是 可以从右可以从右 到左逆着用 到左逆着用 2 在乘除运算中 去掉和添加括号 的规则 去括号原则 3 1 括号前是 去括号后 括号内的乘除符号不变 即 a b c a b c a b c a b c 2 括号前是 去括号后 括号内的 变为 变为 即 a b c a b c a b c a b c 添括号原则 1 加括号时 括号前是 原符号不变 但此时括号内不 能有加减运算 只能有乘除运算 即 a b c a b c a b c a b c 2 括号前是 其中 号变成 号 变为 但此时括号内不能有加减运算 只能有乘除运算 即 a b c a b c a b c a b c 13 两个数之积除以两个数之积等于分别相除后在相乘 即 a b c d a c b d a d b c 多背勤背 灵活运用 尤其逆运算多背勤背 灵活运用 尤其逆运算 4 概念 1 什么是补数 什么是补数 两个数相加 若能恰好凑成整十 整百 整千 整万 就把其 中的一个数叫做另一个数的 补数 如 1 9 10 3 7 10 2 8 10 4 6 10 5 5 10 又如 11 89 100 33 67 100 22 78 100 44 56 100 55 45 100 这些都互为补数 对于一个较大的数 如何能很快地算出它的 补数 来呢 一般来 说 可以这样 凑 数 从最高位凑起 使各位数字相加得 9 到 最后个位数字相加得 10 如 87655 12345 46802 53198 87362 12638 要求要求 补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度 必背的固定算式必背的固定算式 A 式中含有 25 125 或 4 8 的情况的 4 25 1 4 25 100 8 25 2 4 25 200 5 12 25 3 4 25 300 16 25 4 4 25 400 20 25 5 4 25 500 24 25 6 4 25 600 28 25 7 4 25 700 32 25 8 4 25 800 36 25 9 4 25 900 8 125 1 8 125 1000 16 125 2 8 125 2000 24 125 3 8 125 3000 32 125 4 8 125 4000 40 125 5 8 125 5000 48 125 6 8 125 6000 56 125 7 8 125 7000 64 125 8 8 125 8000 72 125 9 8 125 9000 6 625 16 10000 注意 注意 24 5 12024 5 120 与与 25 4 10025 4 100 别混了别混了 B B 计算结果为计算结果为 11 11 的的 1 9 2 11 11 11 121 12 9 3 111 111 111 12321 123 9 4 1111 1111 1111 1234321 1234 9 5 11111 11111 11111 123454321 12345 9 6 111111 111111 111111 12345654321 123456 9 7 1111111 1111111 1111111 1234567654321 1234567 9 8 11111111 11111111 11111111 123456787654321 12345678 9 9 111111111 等于 12345679 9 11111111 计算结果为计算结果为 88 88 的的 9 9 7 88 98 9 6 888 987 9 5 8888 9876 9 4 88888 98765 9 3 888888 7 987654 9 2 8888888 9876543 9 1 88888888 计算结果为计算结果为 10 10 的的 19 9 9 100 118 98 9 1000 1117 987 9 10000 11116 9876 9 100000 111115 98765 9 1000000 1111114 987654 9 10000000 11111113 9876543 9 100000000 111111112 98765432 9 1000000000 1111111111 987654321 9 10000000000 数字数字 142857142857 循环的循环的 142857 2 285714 8 142857 3 428571 142857 4 571428 142857 5 714285 142857 6 857142 142857 7 999999 其他的可以化为 n 2 3 4 5 6 的形式 转化为加法算式 如 142857 11 142857 6 5 142857 6 142857 5 857142 714285 1571427 C C 几个质数连乘积的 啥叫质数 需要学会 几个质数连乘积的 啥叫质数 需要学会 质数 素数 一个数除了 1 和它本身 不再有别的约数 这样 的数叫做质数 素数 互质数 公约数只有 1 的两个数 叫做互质数 如 5 和 6 8 和 9 等 7 11 13 1001 13 31 403 13 37 481 37 3 111 D D 常见数的平方 立方 常见数的平方 立方 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 9 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 25 625 302 90 402 1600 502 2500 602 3600 702 4900 802 6400 352 1225 452 2025 552 3025 652 4225 752 5625 852 7225 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 E E 分数 小数与百分数的关系 分数 小数与百分数的关系 1 2 0 5 50 1 4 0 25 25 2 4 0 5 50 3 4 0 75 75 1 5 0 2 20 2 5 0 40 40 3 5 0 6 60 4 5 0 8 80 1 8 0 125 12 5 2 8 0 25 25 3 8 0 375 37 5 4 8 0 500 50 5 8 0 625 62 5 6 8 0 7 70 7 8 0 875 87 5 1 10 0 1 10 3 10 0 3 30 1 20 0 05 5 3 20 0 15 15 1 25 0 04 4 2 25 0 08 8 1 50 0 02 2 3 50 0 06 6 10 1 100 0 01 1 1 125 0 008 0 8 2 125 0 016 1 6 1 3 0 333 33 3 2 3 0 667 66 7 1 6 0 167 16 7 5 6 0 833 83 3 F F 关于 关于 的数 结果保留的数 结果保留 2 2 位小数即可 位小数即可 1 3 14 2 6 28 3 9 42 4 12 56 5 15 7 6 18 84 7 21 98 8 25 12 9 28 26 10 31 4 11 34 54 12 37 68 13 40 82 14 43 96 15 47 1 16 50 24 20 62 8 24 75 36 25 78 5 36 113 04 48 150 72 49 153 86 64 200 96 72 226 08 75 235 5 G G 100100 以内质数以内质数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 11 H H 关于时间的 关于时间的 1 世纪 100 年 一年的天数 平年 365 日 闰年 366 日 1 日 24 小时 1 小时 60 分 3600 秒 1 分 60 秒 1 年有 4 个季度 每个季度有 3 个月 1 年有 12 个月 1 3 5 7 8 10 12 月是大月 每月有 31 天 4 6 9 11 月是小月 每月有 30 天 平年的 2 月是 28 天 闰年的 2 月是 29 天 关于闰年 年份是 100 的倍数 如果能被 400 整除的 那一年 是闰年 年份数不是 100 的倍数 如果能被 4 整除的 那一年是闰 年 I 100 以内合数的分解 4 2 2 6 2 3 8 2 2 2 9 3 3 10 2 5 12 2 2 3 14 2 7 15 3 5 16 2 2 2 2 18 2 3 3 20 2 2 5 21 3 7 12 22 2 11 24 2 2 2 3 25 5 5 26 2 13 27 3 3 3 28 2 2 7 30 2 3 5 32 2 2 2 2 2 33 3 11 34 2 17 35 5 7 36 2 2 3 3 38 2 19 39 3 13 40 2 2 2 5 42 2 3 7 44 2 2 11 45 3 3 5 46 2 23 48 2 2 2 2 3 49 7 7 50 2 5 5 51 3 17 52 2 2 13 54 2 3 3 3 55 5 11 56 2 2 2 7 57 3 19 58 2 29 60 2 2 3 5 62 2 31 63 3 3 7 64 2 2 2 2 2 2 65 5 13 66 2 3 11 68 2 2 17 69 3 23 70 2 5 7 72 2 2 2 3 3 74 2 37 75 3 5 5 76 2 2 19 77 7 11 78 2 3 13 80 2 2 2 2 5 81 3 3 3 3 82 2 41 84 2 2 3 7 85 5 17 86 2 43 87 3 29 88 2 2 2 11 90 2 3 3 5 91 7 13 92 2 2 23 93 3 31 94 2 47 95 5 19 96 2 2 2 2 2 3 98 2 7 7 13 99 3 3 11 100 2 2 5 5 J 关于两个数相乘 确定个位数的 1 末位数为 6 的 需要乘数末位是 6 和 6 或者 4 和 9 或者 2 和 3 或者 1 和 6 或者 2 和 8 或者 4 和 4 或者 7 和 8 2 末位数为 4 的 需要乘数末位是 2 和 7 或者 3 和 8 或者 2 和 2 或者 1 和 4 或者 4 和 6 或者 6 和 9 或者 8 和 8 K 其他两位数乘法规则 1 两位数 101 公式 两位数重复两次 例 45 101 4545 2 三位数 1001 公式 三位数重复两次 例 234 1001 234234 3 四位数 10001 公式 四位数重复两次 例 1234 10001 12341234 以上经常反算 以上经常反算 4 两位数 99 公式 丢 1 凑百 14 例 23 99 2277 23 1 22 放前面 100 23 77 放后面 特殊 99 99 9801 99 1 98 放前面 100 99 01 放后面 5 三位数 999 公式 丢 1 凑千 例 123 999 122877 123 1 122 放前面 1000 123 877 放后 面 6 四位数 9999 公式 丢 1 凑万 例 1234 9999 12338766 7 两位数 11 公式 头作头 尾作尾 两数相加放中间 例 52 11 572 5 放前 2 放后 5 2 7 放中间 特殊 89 11 979 8 放前 9 放后 8 9 17 放中间 17 的 1 要进位 所以 8 1 9 8 个位为 5 的两位数的自乘 十位数字 十位数字加 1 100 25 如 15 15 1 1 1 100 25 225 25 25 2 2 1 100 25 625 35 35 3 3 1 100 25 1225 45 45 4 4 1 100 25 2025 55 55 5 5 1 100 25 3025 15 65 65 6 6 1 100 25 4225 75 75 7 7 1 100 25 5625 85 85 8 8 1 100 25 7225 95 95 9 9 1 100 25 9025 常用的计算方法 在熟练掌握前面公式 定律及固定结果的基础上 还需要掌握 一些解题技巧 即根据算式中数的不同特点 巧妙利用以上结论进 行化简 进而快速得出结果 1 1 分组法 分组法 根据运算定律 运算性质以及和差积商的变化规律 对算式中 的运算进行重新组合 16 例题例题 1 1 6324 789 676 6324 789 676 去括号原则 6324 676 789 结合律 7000 789 6211 例题例题 2 2 5 25 2 4 5 2 25 4 交换律 10 100 1000 例题例题 3 3 2 5 0 23 0 77 3 5 2 5 3 5 0 23 0 77 1 1 2 巩固巩固 计算 175 34 175 66 分配律 67 12 67 35 67 52 67 54 99 99 45 2 2 补数凑整法 补数凑整法 对于算式中接近整十 整百 的数 有时补上一个数 使其 变成整十 整百 的数 可简化计算 例题例题 1 1 536 198 536 200 2 536 200 2 338 例题例题 2 2 44 99 44 100 1 17 44 100 44 4356 巩固巩固 1 24 44 56 2 53 36 47 3 123 101 4 123 99 3 3 基准数法 基准数法 若干个都接近某数的数相加 可以把某数作为基准数 然后把 基准数与相加数的个数相乘 再加上各数与基准数的差 即可得到 计算结果 好处是化为个位数相加 例题例题 1 1 31 35 32 28 29 30 5 1 5 2 2 1 150 5 155 巩固巩固 1 计算 23 20 19 22 18 21 2 计算 102 100 99 101 98 3 计算 78 76 83 82 77 80 79 85 4 计算 389 387 383 385 384 386 388 5 计算 4942 4943 4938 4939 4941 4943 6 4 4 分解法 分解法 18 在某些除法或乘法算式中 可以把一些数先分解开来进行恒等 变换 使计算简便 例题例题 1 1 25 1 25 32 25 1 25 4 8 25 4 1 25 8 100 10 1000 例题例题 2 2 560 35 560 7 5 560 7 5 80 5 16 5 5 转化法 转化法 1 某数乘或除以 5 25 125 可以用 10 2 100 4 1000 8 代替 5 25 125 然后计算 2 一个数除以另一个不为 0 的数 可以转化为成这个数的倒数 例题例题 1 1 78 5 78 10 2 78 10 2 780 2 390 例题例题 2 2 37 9 4 125 4 9 37 4 9 125 4 9 37 125 4 9 162 4 9 72 19 6 6 公式法 公式法 1 等差数列求和公式 a a1 1为第一项 为第一项 a an n为第为第 n n 项 项 n n 为项数为项数 s sn n为前为前 n n 项和 项和 d d 为公差为公差 常见数列前常见数列前 n n 项和 项和 1 1 1 2 3 4 100 1 100 1 2 3 4 100 1 100 100 2 5050100 2 5050 2 2 2 4 6 98 100 2 1 2 3 49 50 2 4 6 98 100 2 1 2 3 49 50 2 1 50 50 2 2550 2 1 50 50 2 2550 3 3 1 3 5 1 3 5 99 1 99 50 2 2500 99 1 99 50 2 2500 4 4 1 12 2 2 22 2 3 32 2 n n2 2 n n 1 2n 1 6 n n 1 2n 1 6 5 5 1 13 3 2 23 3 3 33 3 n n3 3 n n 1 2 n n 1 2 2 2 例题例题 1 1 2 4 6 198 2002 4 6 198 200 20 2 2 1 2 3 4 1001 2 3 4 100 2 1 100 100 2 101 100 10100 或者或者 2 2002 200 100 2 10100 巩固巩固 计算 1 3 5 1989 2 4 6 1988 2 平方差公式 互为反算 例题例题 1 1 403 397403 397 21 400 3400 3 400 3400 3 400 4002 2 3 32 2 15991 15991 例题例题 2 1002 1002 2 99 992 2 98 982 2 97 972 2 2 22 2 1 12 2 100 99100 99 100 99100 99 98 98 9797 98 9798 97 2 12 1 2 12 1 199 195 7 3 199 195 7 3 3 199 50 2 5050 3 199 50 2 5050 3 完全平方公式 a b a 2ab b a b a 2ab b 例题例题 1 1 a2 1 2 a2 1 2 a4 2a2 1 a4 2a2 1 2a2 例题例题 2 2 992 98 100 100 992 99 1 99 1 99 1 99 992 2 99 992 2 1 1 1 1 7 7 其他类型 其他类型 22 例 1 计算 9 99 999 9999 99999 解 在涉及所有数字都是 9 的计算中 常使用凑整法 例如 将 999 化成 1000 1 去计算 这是小学数学中常用的一种技巧 9 99 999 9999 99999 10 1 100 1 1000 1 10000 1 100000 1 10 100 1000 10000 100000 5 111110 5 111105 例 2 计算 199999 19999 1999 199 19 解 此题各数字中 除最高位是 1 外 其余都是 9 仍使用 凑整法 不过这里是加 1 凑整 如 199 1 200 199999 19999 1999 199 19 19999 1 19999 1 1999 1 199 1 19 1 5 200000 20000 2000 200 20 5 222220 5 22225 例 3 计算 9999 2222 3333 3334 解 此题如果直接乘 数字较大 容易出错 如果将 9999 变为 3333 3 规律就出现了 23 9999 2222 3333 3334 3333 3 2222 3333 3334 3333 6666 3333 3334 3333 6666 3334 3333 10000 33330000 例 4 1999 999 999 解法 1 1999 999 999 1000 999 999 999 1000 999 1 999 1000 999 1000 1000 999 1 1000 1000 1000000 解法 2 1999 999 999 1999 999 1000 1 1999 999000 999 1999 999 999000 1000 999000 1000000 练习题练习题 24 一 乘 5 15 25 125 1 17 4 5 2 125 19 8 3 125 72 4 25 125 16 5 19 25 64 125 2 乘 9 99 999 1 12 9 2 12 99 3 12 999 4 12345678987654321 9 提示 12345678987654321 1111111112 5 2999 999 999 3 乘 11 111 101 1 45 11 2 56 11 3 2222 11 4 2456 11 提示 可以用公式 另外 还有一种小技巧 一11 101 10aaaa 个数乘以 11 两头一拉 中间相加 5 37 101 6 85 101 25 7 79 101 8 23 10101 9 69 101010101 10 123 1001 11 3985 100010001 12 4567 10001 13 43869 1000010000100001 提示 重叠数问题 提示 重叠数问题 14 1000001 999999 15 2 3 5 7 11 13 17 2004 2 5 7 22 39 49 提示 乘法凑整之乘 11 111 101 7 11 13 1001 57223949 16 2007 7 11 13 2 17 295 295 18 705 705 提示 把 提示 把 29 70 看成一个数的问题 看成