一分析的化身──欧拉

分析的化身 欧拉的故事 即使在完全失聪的最后几年 贝多芬 Beethoven 依然创作了弦乐四重奏 钢琴奏鸣曲 第 30 31 32 号 庄严弥撒和第九交响曲 对于一个没有听觉的人来说 音乐是什么 我无法回答 但是我想应该是超越了音乐本身 也许欧拉可以回答 在生命最后的八 年里 他生活在一个完全黑暗的世界 双目失明却没能阻止他继续一篇又一篇的发表 了占他一生百分之五十的论文 音乐对于贝多芬 数学对于欧拉也许只是他们存在的 方式 不论他们自身如何改变 要么继续这种方式 要么消失 三大牛人的概念已经深入人心 其实数学史上还有所谓的四杰 多出来这位就 是本章的主人公欧拉 牛顿去世的时候欧拉十九岁 欧拉去世的时候高斯只有 六岁 应该说欧拉赶上了好时候 牛顿和莱布尼兹留下了一个威力巨大的工具 微积分 却没有人能够真正驾驭它 欧拉是第一个真正征服微积分的人 欧拉的成长再次证明了数学史是一部天才史 天赋在这部历史里是普遍现象 如果你觉得天才如 Sheldon Cooper 的人物只是 The Big Bang Theory 剧集里虚 构出的角色的话 那么在真实的数学史里我们可以在很多人的身上找到 sheldon 的身影 唯一不同的就是 他们都还有着至少正常的的情商 在数学家第三集 团的阵容里 不乏聪明而勤奋的人 他们通过良好的教育缩小了与天才的差距 却永远也不能真正跟上天才的脚步 因为天才不是教育能培养出来的 欧拉进 入巴塞尔大学是 13 岁 在前面我们提到过伯努利家族的人也是这所大学培养出 来的 而欧拉能够顺利的进入没有少年班的巴塞尔大学也有约翰 伯努利的功劳 当时约翰在巴塞尔大学任数学教授 也正是他推荐欧拉进入巴塞尔大学 当校 长表示不支持录取如此年轻的欧拉时 约翰说 对于天才 年龄不能成为进 入大学的一种限制 15 岁的欧拉完成本科 16 岁时取得了艺术硕士的学位 19 岁得到博士学位 同一年欧拉独立完成了他的第一项研究 船舶的桅杆配 置 论述了在一艘船上应该有多少桅杆和在什么位置装置这些桅杆 现在看来 这不是什么重要的问题 但是在那个大航海时代这是关系到对海洋控制的国家 利益问题 这个题目是当年巴黎金奖的题目 遗憾的是欧拉只获得了安慰奖 荣誉提名 不过此后欧拉十二次荣获巴黎金奖算是弥补了这个小小的遗憾 26 岁的时候 欧拉接替丹尼尔 伯努利成为圣彼得堡科学院数学研究所的首席研究 员 在 33 岁的时候离开俄国 到普鲁士任柏林研究院首席数学研究员 在 59 岁的时候 受邀再次回到俄国 并在圣彼得堡度过了生命中最后的十七年 关于欧拉的趣闻轶事不少 少年时数过天上的星星 帮老爸智改过羊圈 还自己发 现了 完全数 今天我挑战一下向大众传播数学知识的高难度任务 讲讲欧拉 在 29 岁解决的格尼斯堡七桥问题 这个问题本身并不复杂 如图所示 格尼斯堡这个城市被一条叫做 Pregel 的河分为四部分 两岸 B 和 D 和两座河心岛 A 和 C 这四部分土地由七座桥按照图中给出的方式连通在了一起 假设有一个人想散步 在散步过程中要求每座桥都经过并且只经过一次 而且起点与终点相同 这样的散步 可以做到吗 当地居民对这个问题很感兴趣 很多人都亲自实践试图找出答案 并 因此掀起了一股全民健身的热潮 我看了一下这个城市的航拍图 又用谷歌地图估 算了一下距离 从 B 出发经 5 1 到 D 再由 4 7 回到 B 光这一圈就的有 8 公里左 右 如果还要尽可能的走过每一座桥 那怎么也得 10K 了 好在没有人因为研究这 个问题而猝死 到了 1735 年 当地居民不打算再试了 决定请人来帮忙 候选人有 两个 一个是欧拉 一个是当时世界马拉松的冠军 最后头脑战胜了身体 欧拉获胜 被邀请到格尼斯堡研究这个问题 经过一年的思考 欧拉终于得到了解答 这个散 步是 Mission Impossible 也就是说只有汤姆 克鲁斯才能完成 考虑到几百年以后 阿汤哥才出生 所以七桥问题无解 下面我就给大家讲解一下无解的原因 首先七 桥问题不是一个数学问题 所以第一步我们要把它转化为等价的数学问题 也就是 下面这张图 图二 ABCD 四片土地被简化为了四个点 有人说不对啊 我从 B 区的一个地方出发回到 B 区 另外一个地方还是不满足回到起点的要求啊 从 B 区任意一点到 B 区的另外任意一点 都有不经过任何一座桥的路线 所以你要是从 B 区任意一点出发做到不重复走过每座 桥一次再回到 B 区任意一点 那实际上已经解决了这个问题 七座桥被简化成了 7 条 连接这四个顶点的 弧 线段 A 和 B 之间有两条弧线对应两座桥连接 AB 两区 又有 人说不行啊 你把桥简化的这么细 我又没练过平衡木 走的时候掉下去怎么办 这 你不用担心 在你掉下去之前 我已经把你踹下去了 理解了这两张图是等价的 等价 的数学问题就是从 ABCD 任意一个顶点出发 一笔画出图二中的图形并回到起点 所谓 一笔画就是笔不离开纸不重复的画出每一条边 让我们看两个例子 比如说 田 字 不能一笔画 而 口 字和 串 字就可以一笔画 不过 串 字的一笔画不能回到 起点 如下图 平时以狂草作为主要书写风格的朋友可能又有意见了 只要纸够大 哥们整篇文 章连字带画都是一笔画 那我只能说您和阿汤哥同属于 impossible 那类的 这里 的汉字都只代表它们的形状 不包含它们的常规书写方式 没有人真会按照上面的 方式写串字 在我给出最后的结论之前还要定义两个名词 奇点和偶点 所谓奇点就是有奇数条 线与之相连的一个顶点 例如图二中的 ABCD A 有五条线相连 而 BCD 各有三条线 相连 所以他们都是奇点 偶点就是有偶数条线与之相连 比如 田 字中心的那 个点 有四条线与之相连 再让我们来想想他们各自的性质 在我们试图一笔画的 过程中 要到达一个奇点总要通过一条和它相连的线 而要离开一个奇点 因为不 能重复 所以还需要另外一条和它相连的线 一来一去需要两条线 再来再去又需 要两条线 可是一共有奇数条线与它相连 所以总会富裕出一条 也有例外就是当 这个点是起点或者终点 要么不需要进来要么不需要离开 而偶点就没有这些问题 你总是可以选择一半的线作为进路另一半作为退路 结论很简单 一个图形里面如 果所有定点都是偶点 或者只有两个奇点 那么这个图形可以一笔画出来 不过都 是偶点的情形可以取任意点作为起点并在结束的时候回到起点 而两个奇点的情况 只能取其中之一作为起点 另外的奇点作为终点 回到七桥问题 因为四个点都是 奇点 所以不能一笔画 上面的这个结论被称为欧拉定理 这个定理不仅解决了七 桥问题 实际上这个定理回答了所有一笔画问题 孤立的解决一个困难的问题有时候有些意义 但是一流的数学家总是试图找出或者 创造出一个一般的方法去解决所有同类的问题 这是判断一个数学家成就时候的一 个重要标准 牛顿创造了数学史上可以说最有威力的工具 微积分 高斯统一了 数论里面许多孤立的命题并给出了一般方法 亚里士多德就更牛了 从数学到哲学 从教育到社会 他都是一个体系一个体系的来 虽然今天看来 他的许多关于自然 科学的结论是错误的 而且他的数学知识水平还不如现在一个普通的大学毕业生 但都丝毫不妨碍他凭借可以作为一般方法并包含近代数学思想萌芽的系统化理论跻 身于超一流数学家的行列 七桥画问题并不是一个很复杂的问题 在今天一笔画问 题只是小学奥林匹克数学竞赛的题目 但是通过七桥问题 欧拉不但彻底解决了一 笔画问题 而且开启了一个新的数学分支 图论 这并不是欧拉的主要贡献 他 的主要贡献是建立了数学里最重要的分支之一 分析 在欧拉之前 数学是代数 和几何双雄争霸 在欧拉之后数学变成了代数 几何 分析三足鼎立 时至今日 即使数学的小分支可能有几百个甚至更多 这个三足鼎立的大局面依然成立 终于结束了这次漫长科普之旅 还是让我们回到对欧拉本人的注意上面来吧 欧拉 有两个重要的天赋 第一是计算能力 第二是记忆力 关于记忆力 欧拉可以从头 到尾不犹豫地背诵出一本近万行的史诗巨著 埃涅阿斯纪 并能指出他所背诵的 那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么 除此之外 欧拉还可以背出前 100 个素数中任何一个的 10 以内的次方 而且即使在晚年 欧拉也可以记起他在青年 时写过的所有笔记 关于计算能力有一个非常夸张的例子 有一次欧拉的两个学生 把一个复杂的收敛级数的 17 项加起来 算到第 50 位数字 两人相差一个数字 欧 拉为了确定究竟谁对 没有借助任何工具 没有电脑 没有计算器 没有用一支笔 一张纸 只凭心算把错误给找了出来 顺便提一下 高斯也有着不同寻常的记忆力 和心算能力 他从来不用查对数表 对数表里的任何数字要么他记忆了下来要么他 可以轻易地心算出来 对于今日的数学来说 心算能力显得并不是那么重要 各种 各样的计算器 计算机和软件可以替代我们做各种各样的运算 不过对于青少年来 说 超强心算能力也许可以被看做数学天赋的一种表露 欧拉在 31 岁的时候就失去了右眼的视力 左眼在 60 岁的时候已经只剩下一小部分 视力 到 68 岁完全失明 就像失去听觉的贝多芬可以完全不受外界杂音的干扰 只聆听来自他内心的声音一样 失去视力的欧拉 变得对自己头脑里那些计算更为 敏锐 在最后失明的八年里 他的效率更高了 前面说过他完成了一生中一半的著 作 如果欧拉一生只有少量的著作 那么一半也没有多少 可事实正好相反 欧拉 是历史上著作第二多的人 一共有 886 本书籍和论文 而且他 64 岁时的一场大火 烧毁了他当时的全部手稿 否则会有更多的著作 这个记录直到二十世纪才被匈牙 利数学家保罗 埃尔德什打破 除了数字 还有两则故事可以看出欧拉的多产 当 欧拉在圣彼得堡科学院工作的时候 他把完成的论文堆成一摞 每完成一篇就把新 论文放到最上面 每当科学院学报需要出版的时候 印刷工人就会取走最上面的几 篇 所以欧拉论文的出版顺序并不是他写作的顺序 有时候欧拉对一个问题写了一 系列的论文 结果后面的先发了 后面一期反倒发的是之前的结果 更为夸张的是 在欧拉死后 80 年 圣彼得堡科学院还在发表他的论文 在 1909 年的时候 瑞士科 学院试图整理收集并出版欧拉全部的著作 为此筹措了 8 万美元 在当时已经是一 笔巨款了 结果因为在圣彼得堡科学院又发现了欧拉的大量手稿而告吹 欧拉是一个可以在任何环境任何条件下工作的数学家 他一共有过 13 个子女 据 说他写论文的时候可以把最小的婴儿放在腿上 让其他大一点的孩子围着他玩 这 一点是我最羡慕欧拉的地方 我目前每天只负责在几个特定的时间段哄我女儿入睡 而我除了抱着她以外 什么也干不了 不过有一点是我想要指责欧拉的 这 13 个 子女只有五个长大成人 可能有疾病或者什么其他因素 作为父亲的我实在是无法 理解 欧拉还有一个很大的贡献就是在数学的推广与教育上 包括第一次引进介绍一些符 号如圆周率 自然数 e 虚数单位 i 正弦 sin 余弦 cos 求和符号 和一般 函数 f x 而且欧拉的文学功底很好 写起东西来文辞优美 他为了向腓特烈大 帝的侄女 安哈尔特