平面向量与三角函数教案

寒假课程 高一数 学 1 第十讲 平面向量及其应用 例 1 ABC中 点D在边AB上 CD平分 ACB 若 a a b b a a 1 b b 2 则 CB CA CD 例题 2 如图 在直角梯形 ABCD 中 1 3ABAD ADDCAB 动点P在BCD 内运动 含边界 设 APABADR 则 的取值范围是 例 3 设P是ABC 内一点 满足 21 APxy AByAC x yR 则x的取值范围是 已知 ABC中 过重心G的直线交边AB于P 交边AC于Q 设 APQ的面积为 1 S ABC的面积为 2 S APpPB AQqQC 则 pq pq 1 2 S S 的取值范围是 例例 1 在ABCV中 60 3 BAC o 则2ABBC 的最大值为 例例 2 在锐角 ABC 中 tan A t 1 tan B t 1 则 t 的取值范围是 例例 3 在 ABC 中 设 AD 为 BC 边上的高 且 AD BC b c 分别表示角 B C 所对的边长 则 bc cb 的取值范围是 例例 4 4 在等边ABCV中 点 P 在线段 AB 上 满足 APAB uu u ruu u r 若 CP ABPA PB uur uu u ruu r uur 则实数 的值是 例例 5 5 在ABCV中有如下结论 若点 M 为ABCV的重心 则0MAMBMC uuu ruuu ruuu rr 设 a b c 分别为ABCV的内角 A B C 的对边 点 M 为ABCV的重心 如果 3 0 3 aMAbMBcMC uuu ruuu ruuu rr 寒假课程 高一数 学 2 则内角 A 的大小为 若 a 3 则ABCV的面积为 例例 6 点 O 为 ABC 的外心 已知 AB 3 AC 2 若 AOxAByAC uuu ruu u ruuu r x 2y 1 则 cosB 例例 7 如图 平面内有三个向量OCOBOA 其中OA 与OB 的夹角为 120 OA 与OC 的夹角 为 150 且1OAOB 2 3OC 若 OCOAOB R 即 则 的值为 例例 8 在 ABCD 中 AB 5 AD 4 点 P 在 BCD 内 包括周界 设APxAByAD uu u ruu u ruuu r 则一切点 x y 形成区域的面积为 例例 9 如图 在 ABC 中 AD AB 3BCBD uu u ruuu r AD uuu r 1 则 AC AD uuu r uuu r 例例 10 在 ABC 中 已知 AB 3 O 为 ABC 的外心 且OA BC uur uu u r 1 则 AC 例例 11 已知平面上三点 A B C 满足 2 3ABBC 4 CA 则 23 AB BCBC CACA AB 例例 12 直线l与函数sin 0 yx x 的图像相切于点 P D C B A CDB A x y A O B C x y 1 2 3 5 0 3 3 寒假课程 高一数 学 3 A 切 lOP O为坐标原点 P为图像的极值点 l于x轴交于B点 过切点A做x轴的 垂线 垂足为C 则 BA BC 例例 13 在ABC 中 满足 ABAC M是BC中点 1 若 ABAC 求向量2ABAC 与向量2ABAC 的夹角的余弦值 2 若O是线段AM上任意一点 且 2ABAC 求OA OBOC OA AA的最小值 3 若点P是BC边上的一点 且22AP ACAP AB 2AP 求 ABACAP 的 最小值 13 如图 在直角 ABC 中 已知BCa 若长为2a的线段PQ以点A为中点 问BCPQ与的夹 角 取何值时CQBP 的值最大 并求出这个最大值 参考答案 参考答案 寒假课程 高一数 学 4 1 解析 22 22 5ab 5ab 25a10a b b 22 1 25 110 1 3 349 2 故 5ab 7 2 解析 a 2 1 b 1 m c 1 2 a b 1 m 1 又 a b c 2 m 1 0 m 1 3 解析 以 O 为原点 OC OB 所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系 由 OA 2 0 120 AOx 所以 31 A 120sin2 120cos2 00 即A 易求 3 0C1 0B 设 3 1 3 3 31 3 0 1 0 31 OA 2 1 1 2 2121 即 即即即即OCOB cba 3 1 3 4 解析 设向量a与b的夹角 有 cos ba ba 2222 2 221 2 221 10 10 a在b方向上的投影 a cos 5 10 10 2 2 5 解析 令cab 则 6 5 2 4 1 3 6 5 2 43 26 435 23 2 17 2321 21715 22 pababab 6 解析 由题意 1ab 且a 与b 的夹角为 0 120 所以 0 1 cos120 2 a ba b 2 cc c 2 2 abab 22 447aa bb 7c 同理可得13d 寒假课程 高一数 学 5 而c d 22 17 2 3 732 2 abbaa bba 设 为c 与d 的夹角 则 7 解析 设点 D 的坐标为 x y AD 是边 BC 上的高 AD BC AD BC 又 C B D 三点共线 BC BD 又AD x 2 y 1 BC 6 3 BD x 3 y 2 0 3 3 2 6 0 1 3 2 6 xy yx 解方程组 得 x 5 9 y 5 7 点 D 的坐标为 5 9 5 7 AD的坐标为 5 1 5 2 8 解析 不妨设 Cm n 则 1 2 3 1 acmnab 对于 cab 则有3 1 2 2 mn 又 cab 则有30mn 则有 77 93 mn 9 解析 所求五个力的合力为 PEPDPCPBPA 如图所示 以 PA PE 为边作平行四边形 PAOE 则 PEPAPO 由正六边形的性质可知b PA PO 且 O 点在 PC 上 以 PB PD 为边作平行四边形 PBFD 则 PDPBPF 由正六边形的性质可知b3 PF 且 F 点在 PC 的延长线上 由正六边形的性质还可求得b2 PC 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b6b3b2b 方向与 PC的方向相同 寒假课程 高一数 学 6 10 解析 BD CD CB 2 e 1 e2 e 1 3e2 e1 4e2 A B D 三点共线 存在实数 使AB BD 2 e 1 ke2 e 1 4e2 于是可得 4 2 k 解得k 8 11 证明 设OA a OB b OC c 则BC c b CA a c AB b a OA 2 BC 2 OB 2 CA 2 OC 2 AB 2 a2 c b 2 b2 a c 2 c2 b a 2 即 c b a c b a 故AB OC b a c b c a c 0 BC OA c b a c a b a 0 AB OC BC OA 点 O 是 ABC 的垂心 12 解析 设ABa ACb 1 APa 2 AQb 因为G是 ABC的重心 故 1 3 AGab 又 1 11 33 PGAGAPab 21 PQAQAPba 因为PG 与PQ 共线 所以PQPG 即 112 11 0 33 ab 又a 与b 不共线 所以 11 1 3 及 2 1 3 消去 得 1212 3 12 1111 1 1 321 pq 故1 pq pq 1 21 1 1 313 那么 1 2 sin sin SAPAQBAC SABACBAC 2 1 12 2 1 1 1 139 31 24 当P与B重合时 1 1 当P位于