3.3.1两条直线的交点坐标教案

1 12 张喜林制 3 3 1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 教学目标教学目标 1 掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系 并且会通过直 线方程系数判定解的情况 2 当两条直线相交时 会求交点坐标 3 学生通过一般形式的直线方程解的讨论 加深对解析法的理解 培养转化能力 重点难点重点难点 教学重点 根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点 教学难点 对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解 教学过程教学过程 导入新课导入新课 问题问题 1 作出直角坐标系中两条直线 移动其中一条直线 让学生观察这两条直线的位 置关系 课堂设问 由直线方程的概念 我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系 那如果两直线相交于一点 这一点与这两条直线的方程有何关系 你能求出它们的交点坐 标吗 说说你的看法 问题问题 2 你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标 这节课我们就来研究这个问题 新知探究新知探究 提出问题提出问题 已知两直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 如何判断这两条直线的关系 如果两条直线相交 怎样求交点坐标 交点坐标与二元一次方程组有什关系 解下列方程组 由学生完成 022 0243 yx yx 2 1 3 1 0362 xy yx 2 1 3 1 062 xy yx 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系 当 变化时 方程 3x 4y 2 2x y 2 0 表示什么图形 图形有什么特点 求出图 形的交点坐标 讨论结果 讨论结果 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手 看下表 并填空 几何元素及关系代数表示 点 AA a b 直线 ll Ax By C 0 点 A 在直线上 直线 l1与 l2的交点 A 学生进行分组讨论 教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组 2 12 的关系 设两条直线的方程是 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 如果这两条直线相交 由于交点同时在这两条直线上 交点的坐标一定是这两个方程的唯 一公共解 那么以这个解为坐标的点必是直线 l1和 l2的交点 因此 两条直线是否有交点 就要 看这两条直线方程所组成的方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 是否有唯一解 若二元一次方程组有唯一解 则 l1与 l2相交 若二元一次方程组无解 则 l1与 l2平行 若二元一次方程组有无数解 则 l1与 l2重合 即 直线 l1 l2联立得方程组 21 21 21 平行 重合 相交 无解 无穷多解 唯一解 转化 ll ll ll 代数问题 几何问题 引导学生观察三组方程对应系数比的特点 2 3 1 4 2 1 3 1 6 3 1 2 1 6 3 1 2 2 1 1 一般地 对于直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 A1B1C1 0 A2B2C2 0 有 方程组 0 0 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 222 111 平行无解 重合无穷多解 相交唯一解 ll C C B B A A ll C C B B A A ll B B A A CyBxA CyBxA 注意 注意 a 此关系不要求学生作详细的推导 因为过程比较繁杂 重在应用 b 如果 A1 A2 B1 B2 C1 C2中有等于零的情况 方程比较简单 两条直线的位置关系很 容易确定 a 可以用信息技术 当 取不同值时 通过各种图形 经过观察 让学生从直观上 得出结论 同时发现这些直线的共同特点是经过同一点 b 找出或猜想这个点的坐标 代入方程 得出结论 c 结论 方程表示经过这两条直线 l1与 l2的交点的直线的集合 应用示例应用示例 例 1 求下列两直线的交点坐标 l1 3x 4y 2 0 l2 2x y 2 0 解解 解方程组 022 023 yx yx 得 x 2 y 2 所以 l1与 l2的交点坐标为 M 2 2 变式训练变式训练 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 l1 x 2y 2 0 l2 2x y 2 0 解解 解方程组 x 2y 2 0 3 12 2x y 2 0 得 x 2 y 2 所以 l1与 l2的交点是 2 2 设经过原点的直线方程为 y kx 把点 2 2 的坐标代入以上方程 得 k 1 所以所求直线方程为 y x 点评点评 此题为求直线交点与求直线方程的综合运用 求解直线方程也可应用两点式 例 2 判断下列各对直线的位置关系 如果相交 求出交点坐标 1 l1 x y 0 l2 3x 3y 10 0 2 l1 3x y 4 0 l2 6x 2y 1 0 3 l1 3x 4y 5 0 l2 6x 8y 10 0 活动 活动 教师让学生自己动手解方程组 看解题是否规范 条理是否清楚 表达是否简 洁 然后再进行讲评 解解 1 解方程组 01033 0 yx yx 得 3 5 3 5 y x 所以 l1与 l2相交 交点是 3 5 3 5 2 解方程组 2 0126 1 043 yx yx 2 得 9 0 矛盾 方程组无解 所以两直线无公共点 l1 l2 3 解方程组 2 01086 1 0543 yx yx 2 得 6x 8y 10 0 因此 和 可以化成同一个方程 即 和 表示同一条直线 l1与 l2重合 变式训练变式训练 判定下列各对直线的位置关系 若相交 则求交点 1 l1 7x 2y 1 0 l2 14x 4y 2 0 2 l1 3 2 x y 7 l2 x 3 2 y 6 0 3 l1 3x 5y 1 0 l2 4x 3y 5 答案 答案 1 重合 2 平行 3 相交 交点坐标为 2 1 例例 3 求经过两直线 2x 3y 3 0 和 x y 2 0 的交点且与直线 3x y 1 0 平行的直线方程 思路解析 思路解析 根据本题的条件 一种思路是先求出交点坐标 再设所求直线的点斜式方 程求出所要求的直线方程 另一种思路是利用直线系 平行系或过定点系 直接设出方程 根据条件求未知量 得出所求直线的方程 4 12 解 解 方法一 由方程组 0 2yx 0 3 3y 2x 得 5 7 5 3 y x 直线 l 和直线 3x y 1 0 平行 直线 l 的斜率 k 3 根据点斜式有 y 5 7 3 x 5 3 即所求直线方程为 15x 5y 16 0 方法二 直线 l 过两直线 2x 3y 3 0 和 x y 2 0 的交点 设直线 l 的方程为 2x 3y 3 x y 2 0 即 2 x 3 y 2 3 0 直线 l 与直线 3x y 1 0 平行 1 32 1 3 3 2 解得 2 11 从而所求直线方程为 15x 5y 16 0 点评 考查熟练求解直线方程 注意应用直线系快速简洁解决问题 变式训练变式训练 求经过两条直线 l1 x y 4 0 和 l2 x y 2 0 的交点 且与直线 2x y 1 0 垂直的直线方程 例例 4 求证 不论 m 取什么实数 直线 2m 1 x m 3 y m 11 0 都经过一个定点 并 求出这个定点的坐标 思路解析 思路解析 题目所给的直线方程的系数含有字母 m 给 m 任何一个实数值 就可以得 到一条确定的直线 因此所给的方程是以 m 为参数的直线系方程 要证明这个直线系中的直 线都过一定点 就是证明它是一个共点的直线系 我们可以给出 m 的两个特殊值 得到直 线系中的两条直线 它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点 另一个思路是 由于方程对任意的 m 都成立 那么就以 m 为未知数 整理为关于 m 的一 元一次方程 再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标 解 解 解法一 对于方程 2m 1 x m 3 y m 11 0 令 m 0 得 x 3y 11 0 令 m 1 得 x 4y 10 0 解方程组 0 104yx 0 11 3y x 得两条直线的交点为 2 3 将点 2 3 代入已知 直线方程左边 得 2m 1 2 m 3 3 m 11 4m 2 3m 9 m 11 0 这表明不论 m 为什么实数 所给直线均经过定点 2 3 解法二 将已知方程以 m 为未知数 整理为 2x y 1 m x 3y 11 0 由于 m 的取值的任意性 有 0 113yx 0 1 y2x 解得 3 y 2 x 所以所给直线不论 m 取什么实数 均经过定点 2 3 点评点评 含参直线过定点问题的解题思路有二 一是曲线过定点 即与参数无关 则参数 的同次幂的系数为 0 从而求出定点 二是分别令参数为两个特殊值 得方程组 求出点 的坐标 代入原方程满足 则此点为所求定点 5 12 变式训练变式训练 当 a 为任意实数时 直线 a 1 x y 2a 1 0 经过的定点是 A 2 3 B 2 3 C 1 2 1 D 2 0 解析 解析 直线方程可化为 a x 2 x y 1 0 由 3 2 01 02 y x yx x 得定点 2 3 答案 答案 B 课堂小结课堂小结 本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系 得出了方程系数比 的关系与直线位置关系的联系 培养了同学们的数形结合思想 分类讨论思想和转化思想 通 过本节学习 要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系 并且会通过直线方程系数判定解的情况 培养学生树立辩证统一的观点 当两条直线相交时 会求交点坐标 注意语言表述能力的训练 通过一般形式的直线方程解的讨论 加深对解析法 的理解 培养转化能力 以 特殊 到 一般 培养探索事物本质属性的精神 以及运动变化 的相互联系的观点 当堂检测当堂检测 导学案课内探究部分 板书设计板书设计 一 两条直线的交点坐标 二 例题 例 1 变式 1 例 2 变式 2 作业布置 课本习题 3 3 A 组 1 2 3 选做 4 题 及导学案课后练习与提高 3 3 1两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 3 3 2 课前预习学案课前预习学案 一 预习目标 根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点 二 预习内容 1 阅读课本 阅读课本 102 104 找出疑惑之处 找出疑惑之处 同学们 通过你的自主学习 你还有那些疑惑 6 12 请填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 2 知识概览 知识概览 两直线相交 则交点同时在这两条直线上 交点的坐标一定是两直线方程的解 若两直 线的方程组成的方程组只有一个公共解 则以这个解为坐标的点必是两直线的交点 两直线 A1x B1y C1 0 与 A2x B2y C2 0 的交点情况 取决于方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的解的情况 若方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 有唯一解 则两直线相交 若方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 无解 则两直线平行 若方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 有无数个解 则两直线重合 3 思考 思考 当 变化时 方程 3x 4y 2 2x y 2 0 表示什么图形 图形有何特点 3 提出疑惑 同学们 通过你的自主学习 你还有那些疑惑 请填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 7 12 课内探究学案课内探究学案 一 学习目标一 学习目标 1 掌握判断两条直线相交的方法 会通过解方程组求两条直线的交点坐标 2 了解过两条直线交点的直线系方程的问题 教学重点 根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点 教学难点 对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解 二 学习过程二 学习过程 自主学习自主学习 知识点一 两条直线的交点 如果两条直线相交 则交点坐标分别适合两条直线的方程 即 把两条直线的方程组成方程组 若方程组有 解 则两条 直线相交 此解就是交点的坐标 若方程组 则两条直线无公共点 此时两条直线 平行 若方程组有 则两条直线有无数个公共点 此时两条直线重合 知识点二 直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系 表示直线系的方程叫做直线系方程 方程的特点是除含坐标变量 x y 以外 还含有待定系数 也称参变量 1 共点直线系方程 经过两直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 交点的直线方 程为 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 其中 是待定系数 在这个方程中 无论 取什么实 数 都得不到 A2x B2y C2 0 因此它不能表示直线 l2 2 平行直线系 与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 是参变量 3 垂直直线系方程 与 Ax By C 0 A 0 B 0 垂直的直线系方程是 4 特殊平行线与过定点 x0 y0 的直线系 当斜率 k 一定而 m 变动时 表示 斜率为 k 的平行线系 表示过定点 x0 y0 的直线系 不含直线 x x0 问题问题 设两条直线的方程为 l1 A1x B1y C1 0 和 l2 A2x B2y C2 0 如果这两条直线相 交 你能分析它们的系数满足什么关系吗 探究探究 我们可以先解由两直线方程联立的方程组 2 0CyBxA 1 0CyBxA 222 111 B2 B1 得 A1B2 A2B1 x B2C1 B1C2 0 当 A1B2 A2B1 0 时 得 x 1221 1121 BABA BCCB 再由 A2 A1 当 A1B2 A2B1 0 时 可 得 y 1221 2112 BABA CACA 因此 当A1B2 A2B1 0 时 方程组有唯一一组解 x y 这时两条直线相交 交点的坐标就是 x y 因此这两条直线相交时 系数满足的关系 为 A1B2 A2B1 0 精讲点拨精讲点拨 例 1 求下列两直线的交点坐标 l1 3x 4y 2 0 l2 2x y 2 0 8 12 变式训练变式训练 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 l1 x 2y 2 0 l2 2x y 2 0 例 2 判断下列各对直线的位置关系 如果相交 求出交点坐标 1 l1 x y 0 l2 3x 3y 10 0 2 l1 3x y 4 0 l2 6x 2y 1 0 3 l1 3x 4y 5 0 l2 6x 8y 10 0 变式训练变式训练 判定下列各对直线的位置关系 若相交 则求交点 1 l1 7x 2y 1 0 l2 14x 4y 2 0 2 l1 3 2 x y 7 l2 x 3 2 y 6 0 3 l1 3x 5y 1 0 l2 4x 3y 5 问题 当 变化时 方程 3x 4y 2 2x y 2 0 表示什么图形 图形有何特点 例 3 求经过两直线 2x 3y 3 0 和 x y 2 0 的交点且与直线 3x y 1 0 平行的直线方程 变式训练变式训练 求经过两条直线 l1 x y 4 0 和 l2 x y 2 0 的交点 且与直线 2x y 1 0 垂直的直线方程 例例 4 求证 不论 m 取什么实数 直线 2m 1 x m 3 y m 11 0 都经过一个定点 并 求出这个定点的坐标 9 12 变式训练变式训练 当 a 为任意实数时 直线 a 1 x y 2a 1 0 经过的定点是 A 2 3 B 2 3 C 1 2 1 D 2 0 反思总结反思总结 1 两条直线的交点 直线相交的问题转化为求方程组的解的问题 且解的 个数决定两条直线的位置关系 两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解 2 直线系方程 如果在求直线方程的问题中 有一个已知条件 另一个条件待定时 可选 用直线系方程来求解 当堂检测当堂检测 1 两条直线 l1 2x 3y m 0 与 l2 x my 12 0 的交点在 y 轴上 那么 m 的值为 A 24 B 6 C 6 D 以上答案均不对 2 无论 k 为何值 直线 k 2 x 1 k y 4k 5 0 都过一个定点 则定点坐标为 A 1 3 B 1 3 C 3 1 D 3 1 3 求经过两条直线 l1 x y 4 0 和 l2 x y 2 0 的交点 且与直线 2x y 1 0 平行直线方程 参考答案参考答案 1 解析解析 l1 2x 3y m 0 在 y 轴上的截距为 3 m l2 x my 12 0 在 y 轴上的截距为 m 12 根 据两直线的交点在 y 轴上得 3 12m m m 6 答案 答案 C 2 思路解析思路解析 直线方程展开按是否含参数 k 合并同类项 得 2x y 5 k x y 4 0 由直线 系方程 知此直线过两直线的交点 即为 0 5 y2x 0 4 y x 解得 1 y 3 x 交点为 3 1 3 解析解析 由 3 1 02 04 y x yx yx 得 l1与 l2的交点为 1 3 1 解法一 设与直线 2x y 1 0 平行的直线为 2x y c 0 则 2 3 c 0 c 1 所求直线方程为 2x y 1 0 解法二 所求直线的斜率 k 2 且经过点 1 3 所求直线方程为 y 3 2 x 1 即 2x y 1 0 10 12 课后巩固练习与提高课后巩固练习与提高 知能训练知能训练 课本本节练习 1 2 拓展提升拓展提升 1 已知直线 mx 4y 2 0 与 2x 5y n 0 互相垂直 垂足为 1 p 则 m n p 为 A 24 B 20 C 0 D 4 2 已知点 P 1 0 Q 1 0 直线 y 2x b 与线段 PQ 相交 则 b 的取值范围是 A 2 2 B 1 1 C 2 1 2 1 D 0 2 3 三条直线 x y 2 x y 0 x ay 3 构成三角形 求 a 的取值范围 4 已知两直线 l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 当 m 为何值时 直线 l1与 l2 相交 平行 重合 垂直 5 三条直线 l1 ax y 1 0 l2 x ay 1 0 l3 x y a 0 构成三角形的条件是什么 2 由 0 y x 2 yx 可得直线 x y 2 和直线 x y 0 的交点坐标为 1 1 若三线共点 则点 1 1 在直线 x ay 3 上 所以有 1 a 3 解得 a 2 综上 可知 a 满足的条件为 a 1 1 2 11 12 4 解解 联立方程组 023 2 06 myxm myx 1 当 m 0 时 则 l1 x 6 0 l2 2