北师大九级上《第四章图形的相似》单元测试含答案解析.doc

第四章 图形的相似一、选择题：1如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，SDEF=12cm2，则SAOB的值为（）A12cm2B24cm2C36cm2D48cm22如图，ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）AB10C或10D以上答案都不对3（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）ABCD4点P是ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A2条B3条C4条D5条5如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD6正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）A8B6C4D37已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出ABP与ECP相似的是（）AAPB=EPCBAPE=90CP是BC的中点DBP：BC=2：38如图，矩形ABCD中，BEAC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）ABF2=AF2BBF2=AF2CBF2AF2DBF2AF29（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）ABCD10在坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A6条B3条C4条D5条二、填空题：11如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为12已知： =，2b+3d5f=9，则2a+3c5e=13如图，在RtABC中，C=90，MNAB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为14如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则AFD与四边形DEFC的面积之比是15如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AFBC，CG=3，GA=1，若AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为16如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=三、解答题：（共36分）17已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F求证：CF2=GFEF18（8分）已知：如图ADAB=AFAC，求证：DEBFEC19以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=ADDM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？20已知：如图，AD是RtABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FBFC21已知，如图，在RtABC中，ACB=90，AD平分CAB交BC于点D，过点C作CEAD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EGBC交AB于点G，AEAD=16，（1）求AC的长；（2）求EG的长第四章 图形的相似参考答案与试题解析一、选择题：1如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，SDEF=12cm2，则SAOB的值为（）A12cm2B24cm2C36cm2D48cm2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2DE，OD=OB，DCAB，求出DFEBFA，推出=， =（）2=， =，求出AFB的面积是48cm2，ADF的面积是24cm2，求出ABD的面积即可【解答】解：E为DC的中点，DC=2DE，四边形ABCD是平行四边形，AB=DC=2DE，OD=OB，DCAB，DFEBFA，=， =（）2=（）2=， =，SDEF=12cm2，AFB的面积是48cm2，ADF的面积是24cm2，ABD的面积是72cm2，DO=OB，ADO和ABO的面积相等，SAOB的值为72cm2=36cm2，故选C【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出AFB的面积和ADF的面积2如图，ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）AB10C或10D以上答案都不对【考点】相似三角形的性质【专题】分类讨论【分析】ADE与ABC相似，则存在两种情况，即AEDACB，也可能是AEDABC，应分类讨论，求解【解答】解：如图（1）当AED=C时，即DEBC则AE=AC=10（2）当AED=B时，AEDABC，即AE=综合（1），（2），故选C【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题3（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）ABCD【考点】勾股定理【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可【解答】解：在直角三角形中，两直角边分别为3和4，斜边为5，斜边上的高为=（由直角三角形的面积可求得）这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5： =故选A【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度4点P是ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A2条B3条C4条D5条【考点】相似三角形的判定【专题】常规题型；压轴题【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条【解答】解：（1）作APD=CA=AAPDABC（2）作PEBCAPEABC（3）作BPF=CB=BFBPABC（4）作PGACPBGABC所以共4条故选C【点评】本题考查相似三角形的判定的运用5如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【考点】相似三角形的判定【专题】网格型【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可【解答】解：根据题意得：AB=，AC=，BC=2，AC：BC：AB=：2： =1：，A、三边之比为1：2，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；B、三边之比为：3，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；C、三边之比为1：，图中的三角形（阴影部分）与ABC相似；D、三边之比为2：，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似故选C【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键6正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）A8B6C4D3【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】压轴题；探究型【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出CEFADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出=，再根据DF=DEEF即可得出EF的长【解答】解：如图所示：四边形ABCD是正方形，E是BC中点，CE=AD，ADBC，ADF=DEC，AFD=EFC，CEFADF，=， =，即=，解得EF=4故选C【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出CEFADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键7已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出ABP与ECP相似的是（）AAPB=EPCBAPE=90CP是BC的中点DBP：BC=2：3【考点】相似三角形的判定；正方形的性质【专题】压轴题【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一进行判断A、B可用两角对应相等的两个三角形相似；D可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断只有C中P是BC的中点不可推断故选C【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似8如图，矩形ABCD中，BEAC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）ABF2=AF2BBF2=AF2CBF2AF2DBF2AF2【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；射影定理【分析】此题即是探求BF2与AF2之间的关系利用ABFCEF所得比例线段探究求解【解答】解：根据射影定理可得BF2=AFCF；ABFCEF，CF：AF=CE：AB=1：2BF2=AFAF=AF2故选A【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质9（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】根据正方形的性质可得到AMECDE，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH，EF的长，从而即可求得阴影部分的面积【解答】解：如图，过点E作HFABAMCD，DCE=EAM，CDE=EMA，AMECDEAM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1EH=，EF=阴影部分的面积=S正SAMESCDESMBC=1=故选B【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键10在坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A6条B3条C4条D5条【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质【专题】常规题型；分类讨论【分析】AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条【解答】解：以点D，C，O为顶点的三角形中COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条故选C【点评】本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键二、填空题：11如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为【考点】相似多边形的性质【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB矩形ABCD=设AD=x，AB=y，则AE=x则=，即： x2=y2=2x：y=：1即原矩形长与宽的比为：1故答案为：1【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键12已知： =，2b+3d5f=9，则2a+3c5e=【考点】比例的性质【分析】根据等比性质解答即可【解答】解： =，=，2b+3d5f=9，2a+3c5e=9=6故答案为：6【点评】本题考查了比例的性质，熟记并理解等比性质是解题的关键13如图，在RtABC中，C=90，MNAB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由AMNACB，推出=，由AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根据四边形BCNM的面积=SABCSAMN即可解决问题【解答】解：MNAB，AMN=C=90，A=A，AMNACB，=，AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，BC=15，3k=15，k=5，AC=20，AB=25，MN=6，AN=8，四边形BCNM的面积=SABCSAMN=201586=126故答案为126【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型14如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则AFD与四边形DEFC的面积之比是【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】压轴题【分析】根据题意，先设CE=x，SBEF=a，再求出SADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来【解答】解：设CE=x，SBEF=a，CE=x，BE：CE=2：1，BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；BCADEBF=ADF，又BFE=DFA；EBFADFSBEF：SADF=，那么SADF=aSBCDSBEF=S四边形EFDC=S正方形ABCDSABESADF，x2a=9x23x2x，化简可求出x2=；SAFD：S四边形DEFC=： =： =9：11，故答案为9：11【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方15如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AFBC，CG=3，GA=1，若AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为【考点】相似三角形的判定与性质；梯形【分析】先求出AFG的面积，然后找出SCEG=9SAFG=3，再求出SAFD=2SAFC=2=，SDEB=SAFD=，最后用面积差即可【解答】解：AFBC，CG=3，GA=1，FG=EF，AFBC，D是AB的中点，AD=BD，ED=FD，FD=EF，=，SAFG=SAEG=，AFBC，CEGAFG，SCEG=9SAFG=3，FG=EF，FD=EF，FD=2FG，DG=FG，SAFD=2SAFC=2=，BEDAFD，SDEB=SAFD=，S四边形BDGC的面积=SCGESBED=3=【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出AFG的面积16如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】根据题意，可得出AMPCDP和ANQCDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值【解答】解：由已知得：AMPCDP，AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，ANQCDQ，AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），解、得：AQ=AC，PQ=AQAP=AC，QC=ACAQ=AC，AP：PQ：QC=5：3：12【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用三、解答题：（共36分）17已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F求证：CF2=GFEF【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质【专题】证明题【分析】根据平行四边形的性质得ADBC，ABCD，再根据平行线分线段成比例定理得=， =，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，=， =，=，即CF2=GFEF【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例也考查了平行四边形的性质18（8分）已知：如图ADAB=AFAC，求证：DEBFEC【考点】相似三角形的判定【专题】证明题【分析】利用两边对应比值相等，且夹角相等的两三角形相似，进而得出即可【解答】证明：ADAB=AFAC，=，又A=A，DEBFEC【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键19以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=ADDM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割；勾股定理；正方形的性质【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PFPA=PDPA，DM=ADAM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得： =，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点【解答】（1）解：在RtAPD中，PA=AB=1，AD=2，PD=，AM=AF=PFPA=PDPA=1，DM=ADAM=2（1）=3；（2）证明：AM2=（1）2=62，ADDM=2（3）=62，AM2=ADDM；（3）点M是AD的黄金分割点理由如下：AM2=ADDM，=，点M是AD的黄金分割点【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断20已知：如图，AD是RtABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FBFC【考点】相似三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】首先连接AF，可证得AFCBFA，然后由