2000年上海高考数学理科卷

2000 年全国普通高等学校招生统一考试年全国普通高等学校招生统一考试 上海上海 数学试卷 理工农医类 数学试卷 理工农医类 考生注意 本试卷共有 22 道试题 满分 150 分 一 填空题 本大题满分为 48 分 本大题共有 12 题 只要求直接填写结果 每个空格填对得 4 分 否则 一律得零分 1 已知向量 1 2 3 m 若 则 m OAOBOAOB 2 函数 的定义域为 x x y 3 12 log2 3 圆锥曲线的焦点坐标是 tgy x 3 1sec4 4 计算 lim 2 n n n n 5 已知的反函数为的图象经过点 则 bxf x 2 11 xfyxf 若 2 5 Qb 6 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告 1999 年上海市完成 GDP GDP 是指国内生 产总值 4035 亿元 2000 年上海市 GDP 预期增长 9 市委 市府提出本市常住人口每年的自然增长率将 控制在 0 08 若 GDP 与人口均按这样的速度增长 则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍 至少需 年 按 1999 年本市常住人口总数约 1300 7 命题 A 底面为正三角形 且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三 棱锥 命题 A 的等价题 B 可以是 底面为正三角形 且 的三棱锥是正三棱锥 8 设函数是最小正周期为 2 的偶函数 它在区间 0 1 上的图象为如 xfy 图所示的线段 则在区间 1 2 上 AB xf 9 在二项式的展开式中 系数最小的项的系数为 结果用数值表示 11 1 x 10 有红 黄 蓝三种颜色的旗帜各 3 面 在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1 2 和 3 现任取 出 3 面 它们的颜色与号码均不相同的概率是 11 在极坐标系中 若过点 3 0 且与极轴垂直的直线交曲线两点 则 BA cos4于 AB 12 在等差数列中 若 则有等式 n a0 z a 成立 类比上述性质 相就夺 在等此数列中 19 192121 Nnnaaaaaa nn n b 若 则有等式 成立 1 0 b 二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有 4 题 每题都给出代号为 A B C D 的四个结论 其中有 且只有一个结论是正确的 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内 选对得 4 分 不选 选错或者选 出的代号超过一个 不论是否都写在圆括号内 一律得零分 13 复数的三角形式是是虚数单位 5 sin 5 cos3iiz 5 6 sin 5 6 cos3 5 4 sin 5 4 cos3 5 sin 5 cos3 5 sin 5 cos 3 iDiC iBiA 答 14 设有不同的直线 和不同的平面 给出下列三个命题 aba 1 若 则 2 若 则 aa ab ba aa a a 3 若 则 a a 其中正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答 15 若集合是 TsRxxyyTRxyyS x 则 1 3 2 D C T B S 有限集 A 答 16 下列命题中正确的命题是 A 若点为角终边上一点 则 0 2 aaaPa 5 52 sin a B 同时满足的角有且只有一个 2 3 cos 2 1 sin aaa C 当时 的值恒正 1 a arcsinatg D 三角方程的解集为 3 3 xtg Zkkxx 答 三 解答题 本大题满分 86 分 本大题共有 6 题 解答下列各题必须写出必要的步骤 17 本题满分 12 分 已知椭圆的焦点分别为 长轴长为 6 设直交椭圆于 C 0 22 0 22 21 FF和 2 xyCA 两点 求线段的中点坐标 BAB 解 18 本题满分 12 分 如图所示四面体 ABCD 中 AB BC BD 两两互相垂直 且 AB BC 2 E 是 AC 中点 异面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为 求四面体 ABCD 的体积 10 10 arccos 解 19 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知函数 1 2 2 x x axx xf 1 当时 求函数的最小值 2 1 a xf 2 若对任意恒成立 试求实数的取值范围 0 1 xfx a 解 1 解 2 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 10 分 根据指令 机器人在平面上能完成下列动作 先原地旋转角度 r 180180 0 r 为正时 按逆时针方向旋转 为负时 按顺时针方向旋转 再朝其面对的方向沿直线行走 距离 r 1 现机器人在直角坐标系的坐标原点 且面对轴正方向 试给机器人下一个指令 使其移动到x 点 4 4 2 机器人在完成该指令后 发现在点 17 0 处有一小球正向 坐标原点作匀速直线滚动 已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度 的 2 倍 若忽略机器人原地旋转所需的时间 问机器人最快可在何处截 住小球 并给出机器人截住小球所需的指令 结果精确到小数点后两位 解 1 解 2 21 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 在 XOY 平面上有一点列对每个自然数 点 位于函数 222111 nnn baPbaPbaPnP 的图象上 且点 点构成一个以为顶点的等腰 x a y 10 2000100 a n P 0 1 0 nn与点 n P 三角形 1 求点的纵坐标的表达式 n P n b 2 若对每个自然数 以 为边长能构成一个三角形 求取值范围 n n b 21 nn bba 3 设 若取 2 中确定的范围内的最小整数 求数列的最大项 21 NnbbbB nn a n B 的项数 解 1 解 2 解 3 22 本小题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 8 分 已知复数均为实数 为虚数单位 且对yxyxiyxwyixzmmiz 0 1 0 其中和 i 于任意复数 2 0 zwzzwz 有 1 试求的值 并分别写出和用 表示的关系式 m x y xy 2 将 作为点的坐标 作为点的坐标 上述关系可以看作是坐标平面上点的xyP x y Q 一个变换 它将平面上的点变到这一平面上的点 PQ 当点在直线上移动时 试求点经该变换后得到的点的轨迹方程 P1 xyPQ 3 是否存在这样的直线 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上 若存在 试求出 所有这些直线 若不存在 则说明理由 解 1 解 2 解 3 2000 年全国普通高等学校招生统一考试年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷 理工农医类 答案要点及评分标准上海数学试卷 理工农医类 答案要点及评分标准 说明 1 本解答列出试题的一种或几种解法 如果考生的解法与所列解法不同 可参照解答中评分标准的 精神进行评分 2 评阅试卷 应坚持每题评阅以底 不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅 当考生 的解答在某一步出现错误 影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时 可视影响 程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半 如果有较严重的概念性错误 就 不给分 3 第 17 至第 22 题中右端所注的分数 表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数 给分或扣 分均以 1 分为单位 解答 一 第 1 题至第 12 题 每一题正确的给 4 分 否则一律得零分 1 4 2 3 4 0 6 0 4 5 1 6 9 3 2 1 2 e 7 侧棱相等 侧棱与底面所成角相等 8 X 9 462 10 11 14 1 12 32 17 172121 Nnnbbbbbb nn 二 第 13 题至第 16 题 第一题正确的给 4 分 题号13141516 代号CAAD 三 第 17 题至第 22 题 17 解 设椭圆 C 的方程为 2 1 2 2 2 2 分 b y a x 由题意 1 22 3 bca于是 4 1 9 2 2 分的方程为椭圆 y x C 0273610 1 9 2 2 2 2 xx y x xy 得由 因为该二次方程的判别式 0 所以直线与椭圆有两个不同交点 8 分 设 12 5 1 5 9 5 18 21 2211 分的中点坐标为故线段 则 设 AB xx yxByxA 18 解法一 如图建立空间直角坐标系 2 分 由题意 有 A 0 2 0 C 2 0 0 E 1 1 0 设 D 点的坐标为 0 0 z 则 0 z 10 4 4 10 1 4 2 cos 10 10 arccos 2cos42 BE 6 2 0 0 1 1 2 2 2 分的长度是故得 所成的角的大小为与且 则所成的角为与设 分 BDz z BEAD zBEADAD zADBE 又 4 3 8 6 1 分的体积是因此四面体 ABCD BDBCABVABCD 解法二 过 A 引 BE 的平行线 交与 CB 的延长线于 F DAF 是异面直线 BE 与 AD 所成的角 DAF 4 分 10 10 arccos E 是 AC 的中点 B 是 CF 的中点 AF 2BE 6 分 22 又 BF BA 分别是 DF DA 的射影 且 BF BC BA DF DA 8 分 三角形 ADF 是等腰三角形 20 cos 1 2 DAF AF AD 故 10 分 4 22 ABADBD 又 BDBCABVABCD 6 1 因此四面体 ABCD 的体积是 12 分 3 8 19 解 1 当 2 2 1 2 1 x xxfa时 在区间上为增函数 3 分 xf 1 地区间上最小值为 6 分 xf 1 2 7 1 f 2 解法一 在区让上 1 恒成立 8 分 020 2 2 2 axx x axx xf 恒成立 设 1 2 2 xaxxy 递增 当时 12 分 1 1 2 22 axaxxy1 xay 3 min 于是当且仅当时 函数恒成立 03 min ay 0 xf 故 14 分 3 a 2 解法二 当时 函数的值恒为正 8 分 1 2 x x a xxf0 a xf 当时 函数递增 故当 12 分 0 a xfaxfx 3 1 min 时 于是当且仅当时 函数恒成立 故 14 分 03 min axf 0 xf3 a 20 解 1 得指令为 4 分 45 24 r 45 24 2 设机器人最快在点处截住小球 6 分 0 xP 则因为小球速度是机器人速度的 2 倍 所以在相同时间内有 8 分 22 40 4 17 xxx 即 得或 0161123 2 xx 3 23 x7 x 要求机器人最快地去截住小球 即小球滚动距离最短 7 x 故机器人最快可在点处截住小球 10 分 0 7 P 所给的指令为 14 分 13 98 5 21 解 1 由题意 4 分 2 1 nan 2 1 10 2000 n n a b 解 2 函数递减 100 10 2000 a a y n 对每个自然数 n 有 则以为边长能构成一个三角形的充要条件是 21 nnn bbb 21 nnn bbb nnn bbb 12 即 7 分 01 10 10 2 aa 解得或 10 分 51 5 a 15 5 a10 15 5 a 解 3 12 分 10 15 5 a 7 a 2 1 10 7 2000 n n b 数列是一个递减的正数数列 对每个自然数 n b 1 2 nnn BbBn 于是当时 当时 1 n b 1 nn BB1 n b 1 nn BB 因此 数列的最大项的项数满足不等式且 n Bn1 n b1 1 n b 16 20 8 20 1 10 7 2000 2 1 分 得 由 n n b n n 22 解 1 由题设 2 2 000 zzzzzzw 于是由 3 分 3 0 41 2 mmm得且 因此由 iyxyxyixiiyx 3 3 31 得关系式 5 分 yxy yxx 3 3 解 2 设点在直线上 则其经变换后的点满足 yxP1 xy yxQ 7 分 1 13 3 31 xxy xx 消去 得 x232 32 xy 故点的轨迹方程为 10 分 Q232 32 xy 解 3 假设存在这样的直线 平行坐标轴的直线显然不满足条件 所求直线可设为 12 分 0 kbkxy 解法一 该直线上的任一点 其经变换后得到的点 yxP 仍在该直线上 3 3 yxyxQ byxkyx 3 3 即 bxkyk 3 13 当时 方程组无解 0 b kk k 3 1 13 故