南水北调工程水指标的分配问题

精品文档 1欢迎下载 南水北调工程水指标的分配问题南水北调工程水指标的分配问题 摘要摘要 南水北调中线工程建成后 有限的水资源需要我们合理分配利用 本文根 据 2000 年的统计数据 用 Excel 软件计算处理数据 计算出每个城市具体分配 的水量 针对问题一 对生活用水 工业用水和服务综合业的用水的分配 我们首 先按 2000 年的用水标准对各城市进行初始分配 对于剩余的水 采用简化后的 公平席位分配 Q 值法进行再分配 针对问题二 我们将所调用的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目 标函数 建立以总产值最大为目标的线性规划模型 限制各城市用于工业增加 值和综合服务业的调水量在 2000 年平均值的 50 150 的范围内 利用 matlab 程序求得城市获得最大经济效益的调水分配 并求得最大收益为 7080 亿元 关键词 南水北调 Excel Q 值法 线性规划 经济效益 精品文档 2欢迎下载 1 问题重述 南水北调中线工程建成后 预计 2010 年年调水量为 110 亿立方米 主要用 来解决京 津 冀 豫四省 市 的沿线 20 个大中城市的生活用水 工业用水 和综合服务业的用水 分配比例分别为 40 38 22 这样可以改善我国中 部地区的生态环境和投资环境 推动经济发展 用水指标的分配总原则是 改 善区域的缺水状况 提高城市的生活水平 促进经济发展 提高用水效益 改 善城市环境 根据 2000 年的统计数据 各城市的人口数量差异大 基本状况和 经济情况也不相同 缺水程度也不同 如下表 要研究的问题是 1 请你综合考虑各种情况 给出 2010 年每个城市的调水分配指标 使得各 城市的总用水情况尽量均衡 2 由于各城市的基本状况和自然条件不同 对相同的供水量所产生的经济 效益不同 请从经济效益的角度 给出调水指标的分配方案 但是 要注意到 每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制 不可能在短时间内无 限制的增长 2 问题分析 本题属于分配问题 分配的关键在于要适当照顾各城市经济发展的均衡 在此基础上再对各城市进行生活用水 工业和综合服务业用水的分配 对于生活用水的分配 我们首先要考虑保障人民的生活用水 先按 2000 年 人均用水量标准进行初始分配 对初始分配有剩余的情况 为了体现公平原则 采取公平席位分配中的 Q 值法进行再分配 但这里的 Q 值法要进行简化处理 对工业用水和综合服务业用水的分配 我们可以采用类似的方法进行分配 精品文档 3欢迎下载 对于问题二 既要考虑经济利益的最大化 又要适当照顾各城市经济发展 的均衡 因此我们采用单目标线性规划的方法 将所调的工业用水和综合服务 业用水产值总和作为目标函数 使其达到最大即可 约束条件中 工业用水和 综合服务业用水总量均有限制 更重要的是要考虑各城市的均衡发展 在这里 我们可以从 2000 年各城市用于工业增加值和综合服务业的调水量的平均值出发 限定该值得范围在 50 150 内 进而求得最大经济效益下各城市调水分配 3 模型假设 1 原有各城市的供水量不变 运水过程中水量未曾损耗 2 各城市的经济相互独立 互不影响 3 不考虑水的循环利用 4 城市人口 工业产值及综合服务业年均产值增产值不变 4 符号说明 2000 年第 i 个城市的人口数 i p 2000 年第 i 个城市的人均生活用水量 i x 2010 年第 i 个城市生活用水初始分配量 i S 2010 i j年万元工业新增产值总量 i i r 城市工业年增长率 2010i 2010i 2010 x i rini o i o i i i i i s s s i yi z 年城市万元工业新增用水总量值 年城市万元服务业新增用水总量值 i 城市年综合服务人均产值 分配城市生活用水总量指标 分配城市工业用水总量指标 分配城市综合服务业用水总量指标 第年给种水的分配比例 精品文档 4欢迎下载 5 模型的建立与求解 5 1 问题一模型准备 5 1 1 Q 值法介绍 设 A B 两方人数分别为 分别占有 和个席位 则两方每个席 21 p p 1 n 2 n 位所代表的人数分别为 和 则相对公平的席位分配方案为 1 1 n p 2 2 n p 如果两方分别占有和席 当总席位增加 1 席时 应该分配给 A 还 AB 1 n 2 n 是 B 不妨设 即对 A 不公平 当再分配一个席位时 有以下三种情 1122 p npn 况 I 当时 这说明即使给 A 增加 1 席 仍然对 A 不公平 所以这一 2 2 1 1 1 pp nn 席显然应给 A 方 II 当时 这说明给 A 增加 1 席 变为对 B 不公平 此时对 B 的相 2 2 1 1 1 pp nn 对不公平值为 2 21 12 12 1 1 1 B p n rnn p n III 当时 这说明给 B 增加 1 席 将对 A 不公平 此时对 A 的相对 2 2 1 1 1 pp nn 不公平值为 精品文档 5欢迎下载 3 12 12 21 1 1 1 A p n rn n p n 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小 所以如果 4 1212 11 BA rnnrn n 则这 1 席给 A 方 反之这 1 席给 B 方 由 2 3 可知 4 等价于 5 21 22 2211 11 pp n nn n 不难证明上述的第 I 种情况也与 5 式等价 于是我们的结论是 2 2 1 1 1 pp nn 当 5 式成立时 增加的 1 席应给 A 方 反之给 B 方 若记 2 1 2 1 i i ii p Qi n n 则增加的 1 席给 Q 值大的一方 5 1 2 Q 值法简化应用说明 表示 2010 年第 i 个城市的总人口数 表示 2000 第 i 个城市的人均用水 i p i x 量 所以第 i 个城市的 Q 值为 2 2 i i i p Q x 剩余水对第 i 个城市的分配量 剩余水量 20 1 i i i Q X Q 精品文档 6欢迎下载 5 2 问题一模型的建立 5 2 1 生活用水分配模型 针对问题一 在分配供水时应充分满足用户的需求 故先从 2000 年新增人 口生活用水新增总量为初始分配量 初步分配后发现有剩余 我们将剩余的水 进行合理公平的分配 因此可采用席位分配模型 我们选取简化的 Q 值分配模 型 根据生活用水初始分配量 城市新增人口数 人均用水量 则有 10 1 x iiiii Sprp 1 2 20 i 先以 2000 年各城市人均生活用水为标准进行初始分配 计算结果如下表 城市序号 12345678910 初始分配 亿立方米 0 34180 15980 04780 06250 01870 03190 11780 0144 0 025 5 0 06 6 城市序号 11121314151617181920 初始分配 亿立方米 0 0280 01630 0260 08340 0690 03460 03470 0128 0 014 7 0 054 1 由上表可知初始分配的水的总量为 1 2597 亿立方米 由于 110 亿立方米的 水中有 40 用于生活用水 即 44 亿立方米 所以经初始分配后剩余的水有 42 7403 亿立方米 根据简化 Q 值模型公式计算各城市的 Q 值如下表 城 市 序 号 12345678910 Q 值 103 018 5 84 91 2 0 470 5 0 605 0 521 7 1 6284 5 5 754 0 815 6 1 002 1 0 576 1 城 市 序 号 11121314151617181920 精品文档 7欢迎下载 Q 值 0 3208 0 470 7 1 713 5 2 258 7 14 961 6064 2 887 1 0 321 1 263 6 3 03 再根据模型计算剩余水的分配如下表所示 城 市 序 号 12345678910 剩 余 水 分 配 1 19 315 4 15 920 5 0 088 2 0 113 4 0 097 8 0 305 3 1 045 1 0 152 9 0 187 9 0 10 8 城 市 序 号 11121314151617181920 剩 余 用 水 0 06020 0882 0 321 3 0 423 5 2 804 9 0 301 2 0 541 3 0 060 2 0 236 9 0 56 8 所以各城市生活用水分配如下所示 城 市 序 号 12345678910 生 活 用 水 19 657 2 16 080 3 0 1360 176 0 116 5 0 337 2 1 162 9 0 167 3 0 213 4 0 174 城 市 序 号 11121314151617181920 精品文档 8欢迎下载 生 活 用 水 0 08810 1046 0 347 2 0 506 9 2 873 9 0 335 9 0 5760 073 0 251 6 0 622 1 同理 对于工业用水及综合服务业用水的分配我们可以采用类似的方法进 行分配 最终得到各城市三种用水的分配方案如下表所示 生活用 水量 工业用 水量 序号 城市名 称 亿立 方米 亿立 方米 综合服 务用水 量 亿 立方米 1 北京 19 65724 485513 631 2 天津 16 080319 80587 6323 3 廊坊 0 1360 49560 4132 4 保定 0 1761 69050 1044 5 沧州 0 11652 54080 0639 6 衡水 0 33720 40530 0439 7 石家庄 1 16294 17660 7276 8 邢台 0 16730 33940 0573 9 邯郸 0 21344 53110 1023 10 安阳 0 1740 02750 0628 11 鹤壁 0 08810 00390 0823 12 濮阳 0 10460 03570 0557 13 焦作 0 34720 01360 0818 14 新乡 0 50690 01340 0521 精品文档 9欢迎下载 15 郑州 2 87392 88940 8957 16 许昌 0 33590 02010 0432 17 平顶山 0 5760 04070 0436 18 周口 0 0730 03560 0307 19 漯河 0 25160 02010 0511 20 南阳 0 62210 2050 0247 5 3 问题二的模型建立 5 3 1 工业用水及综合服务业用水的分配模型 对于问题二 我们要从经济效益的角度考虑工业用水和综合服务业用水的 分配 同时注意到每个城市工业和综合服务业发展受到产业规模限制 不可能 在短时间内无限制地增长 故对每个城市的调水指标都应有上下限的约束 我 们指定实际用水可调度量可在该城市用水需求量的 50 150 的范围内波动 使得各大城市在工业和综合服务业所产生的经济效益最大 于是以工业和服务业 总经济效益最大为目标得到目标函数为 2020 01 11 1 max ii i ii yz G ss 从而得到总经济效益最大的线性规划数学模型为 2020 01 11 1 max ii i ii yz Q ss 精品文档 10欢迎下载 S t 20 1 20 1 00 000 0 38 110 0 22 110 0 5 1 5 0 5 1 5 0 1 2 20 i i i i i ii i iii ii y z y NN yi z OO zsp y z i 根据已有的条件限制 我们利用 matlab 软件计算 得到如下的分配结果 表 程序见附录 生活用 水量 工业用 水量 序号 城市名 称 亿立 方米 亿立 方米 综合服 务用水 量 亿 立方米 1 北京 19 65722 62475 1769 2 天津 16 080328 542 7126 3 廊坊 0 1361 05461 2138 4 保定 0 1761 65170 2432 5 沧州 0 11652 371 0203 6 衡水 0 33721 02171 1054 7 石家庄 1 16292 79760 7708 8 邢台 0 16730 94020 431 9 邯郸 0 21342 49271 0326 10 安阳 0 1740 8010 6893 11 鹤壁 0 08810 77390 57 精品文档 11欢迎下载 12 濮阳 0 10460 82540 6719 13 焦作 0 34720 77611 0616 14 新乡 0 50690 81530 2927 15 郑州 2 87393 02990 9847 16 许昌 0 33590 80890 7051 17 平顶山 0 5760 8060 6398 18 周口 0 0730 80580 3647 19 漯河 0 25160 79330 5693 20 南阳 0 62210 93081 0524 求得 2010 年各城市获得工业经济效益为 995 亿元 服务经济效益为 6085 亿 元 并求得最大收益为 7080 亿元 6 模型的推广与评价 6 1 模型的推广 本题属于规划问题 建立的是单目标线性规划模型 这个模型不仅仅适用 于水的资源配置问题 它对规划类问题的求解都可以起到指导作用 通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系 决策者要通过概念 抽象 关系分析可将各类影响因子放入规划模型中 可以通过相关的计算机软 件得到兼顾全局的最优解 本模型涉及预测 资源调度分配及合理优化使效益最大等问题 可在于发 电厂的电力分配 公司生产销售及资源调度优化配置等领域有着广泛的应用 6 2 模型的评价 1 在生活用水公平分配模型中我们采用了简化的 Q 值法 对初始分配后剩余的 水按 Q 值比例进行分配 达到了公平的效果 但模型中缺乏对简化 Q 值法合理性 的讨论 这使得简化方法应用的根据不足 2 在工业用水和综合服务业用水的分配模型中 我们采用了单目标线性规划的 方法 并且充分利用了有限的水资源创造最大的经济效益 不过在分配水资源 时没有考虑到每个城市之间的公平性问题 精品文档 12欢迎下载 7 参考文献参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊 数学建模 北京 高等教育出版社 2010 2 刁在筠 刘桂真 宿洁 马建华 运筹学 高等教育出版社 2010 8 附录 8 1 分配给工业用水的最优解的程序 c 1 143 1 72 1 102 1 96 1 110 1 120 1 86 1 131 1 126 1 186 1 210 1 170 1 205 1 180 1 88 1 210 1 189 1 210 1 200 1 180 r2 0 236088 v1 4 4855 v2 19 8057 v3 0 4956 v4 1 6904 v5 2 5407 v6 0 4053 v7 4 1766 v8 0 3394 v9 4 5311 v10 0 0275 v11 0 0039 v12 0 0357 v13 0 0136 v14 0 0134 v15 2 8894 精品文档 13欢迎下载 v16 0 0201 v17 0 0407 v18 0 0356 v19 0 0201 v20 0 2050 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 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