平面向量题型二：平面向量的共线问题

精品文档 1欢迎下载 题型二 平面向量的共线问题题型二 平面向量的共线问题 1 若A 2 3 B x 4 C 3 y 且AB 2AC 则x y 2 已知向量a a b b 且 a a 2b b 5a a 6b b 7a a 2b b 则一定共线的三点是 AB BC CD A A B D B A B C C B C D D A C D 3 如果e e1 e e2是平面 内两个不共线的向量 那么在下列各说法中错误的有 e e1 e e2 R 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 中的任一向量a a 使a a e e1 e e2的 有无数多对 若向量 1e e1 1e e2与 2e e1 2e e2共线 则有且只有一个实数k 使 2e e1 2e e2 k 1e e1 1e e2 若实数 使 e e1 e e2 0 0 则 0 A B C D 仅 4 若向量a a 1 1 b b 1 1 c c 2 4 则c c A a a 3b b B 3a a b b C a a 3b b D 3a a b b 5 已知 A 2 2 B 4 3 向量 p 的坐标为 2k 1 7 且 p AB 则 k 的值为 A 10 9 B 10 9 C 10 19 D 10 19 6 已知a 是以点 3 1 A 为起点 且与向量 3 4 b 平行的单位向量 则向量 a 的终点坐标是 7 7 给出下列命题 若 a b 则a b 若A B C D是不共线 的四点 则AB DC 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 若a b b c 则a c a b 的充要条件是 a b 且a b 若a b b c 则 a c 其中正确的序号是 8 8 平面向量a b 共线的充要条件是 A a b 方向相同 B a b 两向量中至少有一个为零向量 C R ba D 存在不全为零的实数 1 2 12 0ab 9 如图在三角形 ABC 中 AM AB 1 3 AN AC 1 4 BN 与 CM 相交于点 P 且 aAB bAC 试用a b 表示AP 精品文档 2欢迎下载 10 已知a a b b是不共线的向量 a a b b a a b b R R 那么 AB AC A B C三点共线的充要条件是 A 2 B 1 C 1 D 1 11 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 2 则 ADDBCDCBCA 3 1 A A B C D 3 2 3 1 3 1 3 2 12 设 a b 是不共线的两个非零向量 1 若 2 3 OAab OBab OC a 3b 求证 A B C 三点共线 2 若 8a kb 与 ka 2b 共线 求实数 k 的值 13 如图点 G 是三角形 ABO 的重心 PQ 是过 G 的分别交 OA OB 于 P Q 的一条 线段 且 mOAOP nOBOQ m Rn 求证 3 11 nm 精品文档 3欢迎下载 6 6 解 解 方法一 设向量a 的终点坐标是 x y 则 3 1 axy 则题意可知 22 4 3 3 1 0 311 xy xy 解得 12 5 1 5 x y 或 18 5 9 5 x y 故填 121 55 或 189 55 方法二 与向量 3 4 b 平行的单位向量是 1 3 4 5 故可得 3 4 5 5 a 从而向量a 的终点坐标是 3 1 x ya 便可得结果 归纳小结 归纳小结 向量的概念较多 且容易混淆 在学习中要分清 理解各概念的 实质 注意区分共线向量 平行向量 同向向量 反向向量 单位向量等概念 与a 平行的单位向量 a e a 7 7 解析 解析 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 正确 AB DC ABDC 且 ABDC 又A B C D是不共线 的四点 四边形ABCD为平行四边形 反之 若四边形ABCD为平行四边形 则 ABDC 且 ABDC 因此 AB DC 正确 a b a b 的长度相等且方向相同 又b c b c 的长度 相等且方向相同 a c 的长度相等且方向相同 故a c 不正确 当a b 且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b 且a b 不是a b 的充要条件 而是必要不充分条件 不正确 考虑b 0 这种特殊情况 综上所述 正确命题的序号是 归纳小结 归纳小结 本例主要复习向量的基本概念 向量的基本概念较多 因而容易遗 忘 为此 复习时一方面要构建良好的知识结构 另一方面要善于与物理中 生活中的模型进行类比和联系 帮助理解 加深记忆 8 8 解析 解析 若 a b 均为零向量 则显然符合题意 且存在不全为零的实数 12 使 12 0ab 若 0a 则由两向量共线知 存在 0 使得b a 即 0ab 符合题意 故选 精品文档 4欢迎下载 归纳小结 归纳小结 概念定理性的问题往往是看似简单 实则处处陷阱 所以应加强对 基础概念 定理的深入理解 明确问题关键之处 体会本质 9 9 分析 分析 本题是以向量为载体的平面几何题 所以我们很容易联想到点 M P C 三点在一条直线上 可用共线定理的充分必要条件求解 解 AM AB 1 3 AN AC 1 4 aABAM 3 1 3 1 bACAN 4 1 4 1 M P C 三点共线 可设 RMCMP 于是 MCaMPAMAP 3 1 abAMACMC 3 1 baAP 3 1 3 1 12 解 1 证明 AB 3a b 2a b a 2b 而BC a 3b 3a b 2a 4b 2 AB AB 与BC 共线 且有公共端点 B A B C 三点共线 2 8a kb 与 ka 2b 共线 存在实数 使得 8a kb ka 2b 8 k a k 2 b 0 a 与 b 是不共线的两个非零向量 Error Error 8 2 2 2 k 2 4 1313 分析 分析 本题是一道典型的平面几何证明 如果用平几方法则过程很复杂 如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多 因为注意 到 P G Q 三点在一条直线上 所以我们可以考虑 PQ与PG 共线 于是可以用 共线定理得方程组求解 证明 设 aOA bOB 则 amOP bnOQ 2 1 2 1 baOBOAOD 3 1 3 2 baODOG bamambaOPOGPG 3 1 3 1 3 1 即 ambnOPOQPQ 又 P Q G 三点在同一直线上 则PG与PQ共线 存在一个实数 使得 PQPG ambnbam 3 1 3 1 即 0 3