第二十四章复习课

1 第二十四章 复 习 课 编号 13 班级 姓名 学习小组 1 知道圆的有关概念 能说出垂径定理 圆心角 弧 弦之间的相等关系的 定理以及圆周角定理 并会用这些定理解决有关问题 2 知道点和圆 直线与圆的位置关系 知道切线的概念 切线的性质 能判 定一条直线是否为圆的切线 会过圆上一点画圆的切线 3 能利用正多边形和圆的关系进行正多边形的有关计算 会计算弧长和扇 形面积 4 通过用圆的知识解决问题 体会分类讨论的思想 体会数学来源于生活 应用于生活 5 重点 垂径定理 圆周角定理及推论 切线的性质和判定 有关圆的计算 体系构建体系构建 理清下面的知识结构图 核心梳理核心梳理 1 垂直于弦的直径 平分弦 并且 平分 弦所对的两条弧 2 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧 相等 所对的弦 相等 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角 相等 所对的弦 相等 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角 相等 所 对的弧 相等 4 同弧或等弧所对的圆周角 相等 都等于这条弧所对的 圆心角的一 半 半圆 或直径 所对的圆周角是 直角 90 的圆周角所对的弦是 直径 在 同圆和等圆中 如果两个圆周角相等 它们所对的弧 一定相等 圆内接四边 形 对角互补 2 5 圆是 轴对称图形 任何一条直径所在的直线 是它的对 称轴 圆也是 中心对称图形 6 点与圆的位置关系 若圆的半径为r 某一点到圆心的距离为d 则 1 点 在圆外 d r 2 点在圆上 d r 3 点在圆内 d r 7 不在同一条直线上 的三个点确定一个圆 8 直线和圆的位置关系 设 O的半径为r 圆心O到直线l的距离为d 则 1 直线l和 O相交 dr 9 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆 的切线 切线的性质定理 圆的切线 垂直于经过切点的半径 10 弧长l n为圆心角度数 R为扇形半径 180 11 S扇形 lR n为圆心角度数 R为半径 l为弧长 2 360 1 2 12 S锥侧 rl r为圆锥底面圆的半径 l为圆锥的母线 专题一专题一 垂径定理及推论垂径定理及推论 1 如图 O的半径为 5 弦AB的长为 8 M是弦AB上的动点 则 线段OM长的最小值为 A 2 B 3 C 4 D 5 2 如图 已知AB是 O的直径 CD AB 垂足为点E 如果 BE OE AB 10 cm 求 ACD的周长 解 连接OC AB是 O的直径 CD AB CE DE CD AB 10 cm AO BO CO 5 cm BE OE BE OE cm AE m 在 Rt COE中 CD AB OE2 CE2 OC2 CE cm CD 5cm 同理可得AC cm AD 5 cm ACD的周长为 15 cm 3 圆O的直径为 10 cm 弦AB CD AB 6 cm CD 8 cm 求AB和CD的距离 解 1 当AB CD在圆心的同侧时 如图 1 过点O作OM AB交AB于点M 交CD 于N 连接OB OD 得 Rt OMB Rt OND 然后由勾股定理 求得OM 4 cm ON 3 cm 故AB和CD的距离为 1 cm 3 2 当AB CD在圆心的异侧时 如图 2 仍可求得OM 4 cm ON 3 cm 故AB和CD 方法归纳交流方法归纳交流 圆中求线段的长圆中求线段的长 常利用常利用 垂径垂径 定理定理 转化为在直角三转化为在直角三 角形中利用角形中利用 勾股定理勾股定理 求边长解决求边长解决 专题二专题二 圆心角 圆周角 弧 弦之间的关系圆心角 圆周角 弧 弦之间的关系 4 如图 AB是 O直径 AOC 130 则 D等于 B A 65 B 25 C 15 D 35 5 如图 CD平分 ACB DE AC 求证 DE BC 证明 CD平分 ACB ACD BCD DE AC ACD CDE DE BC 1 变式训练变式训练 在上题中 若DE AC DE BC 求证 CD平分 ACB 证明 DE BC BCD CDE DE AC ACD CDE ACD BCD CD平分 ACB 方法归纳交流方法归纳交流 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 圆心角 圆周角 弧 弦之间的相等圆心角 圆周角 弧 弦之间的相等 关系可以相互转化关系可以相互转化 知道其中一组量相等知道其中一组量相等 则它们所对应的其他各组量也则它们所对应的其他各组量也 相等相等 4 6 如图 AB是 O的弦 半径OC OD分别交AB于点E F 且 AE BF 请你找出弧AC与弧BD的数量关系 并给予证明 解 弧AC与弧BD相等 连接OA OB 则 OAB ABO 因为OA OB AE BF 所以 OAE OBF 即 AOC BOD 即 专题三专题三 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 7 已知两个同心圆的圆心为O 半径分别是 2 和 3 且 2 OP 3 那么点P在 A 小圆内B 大圆内C 小圆外大圆内D 大圆外 8 在 ABC中 C 90 AC BC 4 cm D是AB边的中点 以点A为圆心 4 cm 为 半径作圆 则A B C D四点中 在圆内的点有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9 矩形的两条邻边长分别为 2 5 和 5 若以较长一边为直径作半圆 则矩形的各 边与半圆相切的线段有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 10 如图 在平面直角坐标系中 以A 5 1 为圆心 以 2 个单位长度为半径的 A交x轴于点B C 解答下列问 题 1 将 A向左平移 3 个单位长度与y轴首次相切 得到 A 此时点A 的坐标为 2 1 阴影部分的面 积S 6 2 求BC的长 解 连接AC 过点A作AD BC于点D 则BC 2DC 由A点的坐标为 5 1 可得AD 1 又 AC 2 在 Rt ADC中 DC 方法归纳交流方法归纳交流 判断点和圆 直线和圆的位置关系判断点和圆 直线和圆的位置关系 常转为两点间的距常转为两点间的距 离 离 点到直线的距离点到直线的距离 与半径比较大小解决与半径比较大小解决 专题四专题四 切线的性质和判定切线的性质和判定 11 如图 AB是半圆的直径 O为圆心 AD BD是半圆的弦 且 PDA PBD 1 判断直线PD是否为 O的切线 并说明理由 2 如果 BDE 60 PD 求PA的长 3 解 1 PD是 O的切线 连接OD ADB 90 DBA DAB 90 OD OA DAO ODA ODA DBA 90 DBA PDA PDA ODA 90 OD PD PD 为 O的切线 2 BDE 60 ODB 30 OD OB ODB OBD 30 DOP 60 5 DO 1 PO 2 PA 1 12 如图 AB是 O的直径 C为圆周 上一点 BD是 O的切线 B为切点 1 在图 中 BAC 30 求 DBC的度数 2 在图 中 BA1C 40 求 DBC的度数 3 在图 中 BA1C 求 DBC的大小 4 通过 1 2 3 的探究 你发现了什么 用自己的语言叙述你的发现 解 1 30 2 连接AC 根据 1 可得 DBC 40 3 连接AC 根据 1 可得 DBC 4 在图 中 BAC DBC 在图 图 中 CBD BA C 由此可得 圆的 切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角 13 如图 已知 O的半径为 1 DE是 O的直径 过D点 作 O的切线 C点是AD的中点 AE交 O于B点 四边形 BCOE是平行四边形 1 求AD的长 2 BC是 O的切线吗 若是 给出证明 若不是 说明理由 解 1 连接BD 则 DBE 90 四边形BCOE是平行四边形 BC OE BC OE 1 在 Rt ABD中 C为AD的中点 BC AD 1 AD 2 2 是 理由 连接OB 由 1 得BC OD 且BC OD 四边形BCDO是平行四边形 又 AD是 O的切线 OD AD 四边形BCDO是矩形 OB BC BC是 O的切线 方法归纳交流方法归纳交流 题目条件中有圆的切线时题目条件中有圆的切线时 常连接过切点的常连接过切点的 半径半径 证证 明圆的切线时明圆的切线时 切点已知切点已知 则连则连 半径半径 证证 垂直垂直 切点未知切点未知 则作则作 垂直垂直 证证 半径半径 专题五专题五 圆中的计算问题圆中的计算问题 14 如图 PA PB是 O的切线 切点是A B 已知 P 60 OA 3 那么 AOB所 对弧的长度为 D A 6 B 5 C 3 D 2 6 15 如图 从一个直径为 4 dm 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 3 60 的扇形ABC 并将剪下来的扇形围成一个圆锥 则圆锥的底面 半径为 1 dm 16 如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图 圆心为O 水位线CD 平行于直径AB OE CD于点E 1 若水面距离洞顶最高处仅 1 m 已测得水位线CD长为 10 m 求半径OD 2 根据设计要求 通常情况下 水位线CD与桥洞圆心O的夹角 COD 120 此 时桥洞截面充水面积是多少 精确到 0 1 m2 参考数据 3 14 1 73 3 1 41 2 解 1 在 Rt