用数学软件mathematica做微积分

上海大学上海大学 2011 2012 学年冬季学期课程论文学年冬季学期课程论文 课程名称 微积分 课程编号 01014106 论文题目 用数学软件 mathematica 做微积分 作者姓名 学 号 成 绩 论文评语 评阅人 评阅日期 用数学软件用数学软件 MathematicaMathematica 做微积分做微积分 姓名 学号 摘要 摘要 Mathematica 是著名的数学软件 具有强大的的数学运算能 力和绘图功能 本报告用 Mathematica 来计算微积分中的各种习题 并绘制了很 多图形 在本报告中 我运用软件 mathematica 解决了在微积分学习过程中 学到的很多知识和所遇到的问题 本款软件可以解决我们从开始学习微积分到目前为止所有的问 题 从求极限 导数 积分 空间解析几何到多元微分学 多元微 分学的应用 重积分 曲线积分 曲面积分等等 无不包含其中 关键词 关键词 Mathematica 数学软件 微积分 正文 正文 首先我想从最简单的求函数极限到多远微分学慢慢来展现这款软件对微积分 学习的帮助 一 求函数极限一 求函数极限 1 自变量趋于有限值的极限 例 假设求极限 0 sin lim x x x 我们只需输入 f x Sin x x Limit f x x 0 则会输出 1 2 求单侧极限 例 求右极限 0 1 lim arctan x x 只需输入 f x ArcTan 1 x Limit f x x 0 Direction 1 输出 2 3 自变量趋于无穷大的极限 例 求极限 2 2 1 limsin 3 x x x 输入 f x x 2Sin 3 x 2 Limit f x x Infinity 输出 3 4 单向极限 例 求极限lim arctan x x 输入 f x ArcTan x Limit f x x Infinity 输出 2 例 求极限lim arctan x x 输入 f x ArcTan x Limit f x x Infinity 输出 2 5 无穷大的极限 例 求极限 1 0 lim x x e 输入 f x Exp 1 x Limit f x x 0 Direction 1 输出 正无穷 6 列表观察数列的极限 输入 f 1 N Sqrt 2 10 f n N Sqrt 2 f n 1 10 Do Print n f n n 10 结果 1 1 414213562 2 1 847759065 3 1 961570561 4 1 990369453 5 1 997590912 6 1 999397637 7 1 999849404 8 1 999962351 9 1 999990588 10 1 999997647 描点作图 二 导数二 导数 1 用定义求导数 导数的定义 或 00 0 0 lim x f xxf x fx x 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 例 设 求左导数 0 sin 0 xx f x x x 0 f f x Which x 0 Sin x 定义分段函数 a 0 Direvative Limit f x a f a x a x a 结果 1 2 高阶导数 例 设 求二阶导数和三阶导数 2 sin 23 f xx fx fx 二阶导数 f x Sin 2x 2 3 f x 或 D f x x 2 结果 4 Cos 3 2 x2 16 x2 Sin 3 2 x2 4 Cos 3 2 x2 16 x2 Sin 3 2 x2 三阶导数 f x Sin 2x 2 3 f x D f x x 3 结果 64 x3 Cos 3 2 x2 48 x Sin 3 2 x2 64 x3 Cos 3 2 x2 48 x Sin 3 2 x2 三 导数的应用三 导数的应用 1 微分中值定理 例 在区间上对函数验证拉格朗日中值定理的正 0 1 32 452f xxxx 确性 解 即验证存在 使得 0 1 1 0 1 0 ff f f x 4x 3 5x 2 x 2 a 0 b 1 Solve f x f b f a b a x 结果为 x 1 12 5 13 x 1 12 5 13 得到两个解 并判断这两个解是否在 0 1 内 0 5 Sqrt 13 12 1 0 5 Sqrt 13 12Axis V Pi Integrate f x 2 x 0 2 体积 体积 1 Sin 4 4 f x Sin x r1 Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Filling Axis r2 Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Filling Axis r3 ParametricPlot 2 0 1Cos t Sin 2 Sin t t 0 2Pi PlotStyle Red Show r1 r2 r3 PlotRange All AspectRatio 1 下图 3 弧长 曲线 的弧长为 L yy x axb 2 1 b a sy xdx yy x a b yy x a b 例 曲线的弧长 并作图 2 1 3 yxx f x x 2 A Plot f x x 1 3 B Plot f x x 1 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B s Integrate Sqrt 1 f x 2 x 1 2 解析解 s N Integrate Sqrt 1 f x 2 x 1 2 数值解 1123 2 4 6 8 结果 1 4 2 5 4 17 ArcSinh 2 ArcSinh 4 解析解 3 16784 数值解 曲线 的弧长为 L xx tyy t t 22 sx ty tdt 4 旋转曲面面积 曲线 绕轴旋转的旋转曲面的面积为 L yy x axb x 2 2 1 b a Ay xy xdx yy x yy x 例 曲线绕 x 轴旋转的旋转曲面的面积 并作图 2 1 3 yxx f x x 2 A Plot f x x 1 2 5 B Plot f x x 1 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B AspectRatio Automatic s 2Pi Integrate f x Sqrt 1 f x 2 x 1 2 解析解 s N 2Pi Integrate f x Sqrt 1 f x 2 x 1 2 数值解 1 0 0 50 51 01 52 02 5 1 2 3 4 5 6 结果 1 32 18 5 132 17 ArcSinh 2 ArcSinh 4 解析解 49 4162 数值解 六 多元微分学六 多元微分学 1 偏导数 例 设 求偏导数 2 sin 2 f x yxy x fx y y fx y 1 2 x f f x y Sin x 2 2 y D f x y x D f x y y D f x y x x 1 y 2 结果 2 x Cos x2 2 y 2 Cos x2 2 y 2 Cos 5 2 高阶偏导数 例 设 求偏导数 和 2 sin 2 f x yxy xx fx y yx fx y xy fx y 1 2 xy f f x y Sin x 2 2 y D f x y x x D f x y y x D f x y x y D f x y x y x 1 y 2 结果 2 Cos x2 2 y 4 x2 Sin x2 2 y 4 x Sin x2 2 y 4 x Sin x2 2 y 4 Sin 5 3 全微分 例 设 求全微分 2 cos 2 f x yxy df x y f x y x 2 Cos 2 y dz D f x y x dx D f x y y dy 结果 dz 2 dx x 2 dy Sin 2 y 七 多元微分学的应用七 多元微分学的应用 1 梯度与方向导数 例 设 求梯度和 并作梯度场的 2 cos 2 f x yxy f x ygrad 1 3 fgrad 图形 f x y x 2 Cos 2 y grad D f x y x y grad x 1 y 3 结果 2 x 2 Sin 2 y 2 2 Sin 6 例 设 求函数在处沿方向的方向导 2 cos f x y zx zzy 1 2 3 1 4 3 a 数 f x y z x 2 z Cos z y grad D f x y z x y z Grad grad x 1 y 2 z 3 a 1 4 3 FXDS Grad a Norm a FXDS Grad Normalize a N 4 结果 2 x z z Sin y z x2 y Sin y z 6 3 Sin 6 1 2 Sin 6 6 3 1 2 Sin 6 12 Sin 6 26 0 917136 2 二元函数的极值 例 求函数 的驻点和极值 并作图 3322 339f x yxyxyx f x y x 3 y 3 3x 2 3y 2 9x fx D f x y x fy D f x y y Zhudian Solve fx 0 fy 0 结果 9 6 x 3 x2 6 y 3 y2 x 3 y 0 x 3 y 2 x 1 y 0 x 1 y 2 驻点 fxx D f x y x x fyy D f x y y y fxy D f x y x y delta fxx fyy fxy 2 判别式 结果 6 6 x 6 6 y 0 6 6 x 6 6 y delta fxx f x y x 3 y 0 delta fxx f x y x 3 y 2 delta fxx f x y x 1 y 0 delta fxx f x y x 1 y 2 结果 72 12 27 判别式0 A0 A 0有 在 1 0 有极小值 5 72 12 1 判别式 0 在 1 2 处无极值 函数的图形 f x y x 3 y 3 3x 2 3y 2 9x qumian Plot3D f x y x 5 5 y 5 5 X ParametricPlot3D x 0 0 x 4 4 PlotStyle AbsoluteThickness 3 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 4 4 PlotStyle AbsoluteThickness 3 Z ParametricPlot3D 0 0 z z 2 50 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show X Y Z Show qumian XYZ BoxRatios 1 1 1 5 ViewPoint 1 2 1 PlotRange 10 50 函数的等值线 f x y x 3 y 3 3x 2 3y 2 9x ContourPlot f x y x 4 4 y 4 4 Axes True Frame False Contours 200 ContourShading None 八 重积分八 重积分 1 二重积分 例 X型区域 计算二次积分 其中 22 11 xyx xyx dxf x y dy 13 24 Dx yxy 2 f x yx yx f x y x 2 y x x1 1 x2 3 y1 x 2 y2 x 4 Integrate f x y x x1 x2 y y1 x y2 x 结果 60 画出以上积分区域 f x y x 2 y x a 1 b 3 g x 2 h x 4 Quyu ParametricPlot3D x y 0 x a b y g x h x PlotStyle Red Me sh False Show Quyu PlotRange 0 4 0 5 0 0 01 Axes Automatic AspectRat io 1 4 Ticks 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 ViewPoint 0 0 1 Boxed False 立体图 f x y x 2 y x a 1 b 3 g x 2 h x 4 Quyu ParametricPlot3D x y 0 x a b y g x h x PlotStyle Red Me sh False qumian Plot3D f x y x a b y g x h x PlotStyle Yellow Mesh 6 Filling Bottom FillingStyle Opacity 0 2 X ParametricPlot3D x 0 0 x 2 4 PlotStyle AbsoluteThickness 3 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 2 4 5 PlotStyle AbsoluteThickness 3 Z ParametricPlot3D 0 0 z z 0 30 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show X Y Z Show Quyu qumian XYZ PlotRange All Axes False BoxRatios 1 1 0 8 Boxed False ViewPoint 4 2 1 九 泰勒公式与函数逼近九 泰勒公式与函数逼近 1 对 f x cos x 重复上面的实验 1 在 x 0 出展开泰勒公式 输入如下命令 t t T Ta ab bl le e N No or rm ma al l S Se er ri ie es s C Co os s x x x x 0 0 i i i i 2 2 1 14 4 2 2 P Pr re ep pe en nd dT To o t t C Co os s x x P Pl lo ot t E Ev va al lu ua at te e t t x x P Pi i P Pi i 得下图 3 2 1123 4 3 2 1 1 在同一坐标系下比较与 y cos x 的逼近程度 输入如下命令 F Fo or r i i 2 2 i i 1 12 2 a a N No or rm ma al l S Se er ri ie es s C Co os s x x x x 0 0 i i P Pl lo ot t a a C Co os s x x x x P Pi i P Pi i P Pl lo ot tS St ty yl le e R RG GB BC Co ol lo or r 0 0 0 0 1 1 R RG GB BC Co ol lo or r 1 1 0 0 0 0 i i i i 2 2 出现如下六幅图 3 2 1123 4 3 2 1 1 3 2 1123 1 0 5 0 5 1 3 2 1123 1 0 5 0 5 1 3 2 1123 1 0 5 0 5 1 3 2 1123 1 0 5 0 5 1 3 2 1123 1 0 5 0 5 1 可以看出 cos x 在 x 0 展开的 10 阶泰勒公式与 cos x 逼近程度很高 2 过大显示区间范围 观察偏离 x 0 时泰勒公式对函数的逼近情况 输入如下命令 F Fo or r i i 8 8 i i 1 18 8 a a N No or rm ma al l S Se er ri ie es s C Co os s x x x x 0 0 i i P Pl lo ot t a a C Co os s x x x x 2 2P Pi i 2 2P Pi i P Pl lo ot tS St ty yl le e R RG GB BC Co ol lo or r 0 0 0 0 1 1 R RG GB BC Co ol lo or r 1 1 0 0 0 0 i i i i 2 2 出现如下六幅图 6 4 2246 1 1 2 3 4 6 4 2246 5 4 3 2 1 1 6 4 2246 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 6 4 2246 1 0 5 0 5 1 6 4 2246 1 0 5 0 5 1 6 4 2246 1 0 5 0 5 1 可以看出阶数越高 吻合程度越好 如 cos x 的 18 阶泰勒展开式 3 固定阶数 n 6 观察对函数的逼近情况 输入如下命令 t tt t x x0 0 n n N No or rm ma al l S Se er ri ie es s C Co os s x x x x x