平面向量讲义(学生)

精品文档 1欢迎下载 平面向量平面向量 一 向量有关概念一 向量有关概念 1 向量的概念向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线段来表示 注意不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 如 如 已知 A 1 2 B 4 2 则把向量按向量 1 3 平移后得到的向量是 AB a 2 零向量零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意的 0 3 单位向量单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是 AB AB AB 4 相等向量相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 记作 aba 规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行 b 提醒提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量共线 但两 条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 aa 如 如 下列命题 1 若 则 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点ab ab 相同 3 若 则是平行四边形 4 若是平行四边形 则 ABDC ABCDABCDABDC 5 若 则 6 若 则 其中正确的是 ab bc ac ab bc ac 二 向量的表示方法二 向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 AB 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 abc 精品文档 2欢迎下载 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 为基xyij 底 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的坐标 a axiy jx y x yaa 叫做向量的坐标表示 如果向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 x ya 三 平面向量的基本定理三 平面向量的基本定理 如果e e1和e e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一 向量a a 有且只有一对实数 使a a e e1 e e2 1 2 1 2 如如 1 1 若 则 1 1 ab 1 1 1 2 c c 2 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 A B 12 0 0 1 2 ee 12 1 2 5 7 ee C D 12 3 5 6 10 ee 12 13 2 3 24 ee 3 3 已知分别是的边上的中线 且 则可用向量 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC 表示为 a b 4 4 已知中 点在边上 且 则的值ABC DBC DBCD2 ACsABrCDsr 是 四 实数与向量的积四 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如下 a a 当 0 时 的方向与的方向相同 当 0 时 的方向与的方 1 2aa aa aa 向相反 当 0 时 注意注意 0 0a a 五 平面向量的数量积五 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角两个向量的夹角 对于非零向量 作 ab OAa OBb AOB 称为向量 的夹角 当 0 时 同向 当 时 反向 当 0 ab ab ab 时 垂直 2 ab 2 平面向量的数量积平面向量的数量积 如果两个非零向量 它们的夹角为 我们把数量ab 精品文档 3欢迎下载 叫做与的数量积 或内积或点积 记作 即 规定 cosa b aba ba bcosa b 零向量与任一向量的数量积是 0 注意数量积是一个实数 不再是一个向量 如如 1 1 ABC 中 则 3 AB4 AC5 BC BCAB 2 2 已知 与的夹角为 则等于 11 1 0 22 abcakb dab c d 4 k 3 3 已知 则等于 2 5 3aba b Aab 4 4 已知是两个非零向量 且 则的夹角为 a b abab 与aab 3 在在上的投影上的投影为 它是一个实数 但不一定大于 0 ba cosb 如如已知 且 则向量在向量上的投影为 3 a5 b12 ba a b 4 4 的几何意义的几何意义 数量积等于的模与在上的投影的积 a ba ba a ba 5 向量数量积的性质向量数量积的性质 设两个非零向量 其夹角为 则 ab 0aba b 当 同向时 特别地 当与反向时 aba ba b 2 22 aa aaaa ab 当为锐角时 0 且不同向 是为锐角的必要非充分条a ba b a b a b 0a b 件 当为钝角时 0 且不反向 是为钝角的必要非充分条件 a b a b 0a b 非零向量 夹角的计算公式 ab cos a b a b a ba b 如 如 1 1 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 2 a 2 3 b a b 2 2 已知的面积为 且 若 则夹角的取值范OFQ S1 FQOF 2 3 2 1 S FQOF 围是 3 3 已知与之间有关系式 cos sin cos sin axx byy a b 3 0kabakbk 且且 用表示 求的最小值 并求此时与的夹角的大小ka b a b a b 六 向量的运算六 向量的运算 1 几何运算几何运算 精品文档 4欢迎下载 向量加法 利用 平行四边形法则 进行 但 平行四边形法则 只适用于不共线的向量 如此之外 向量加法还可利用 三角形法则 设 那么向量叫做与的和 ABa BCb AC a b 即 abABBCAC 向量的减法 用 三角形法则 设 由减向 ABa ACbabABACCB 那么 量的终点指向被减向量的终点 注意 此处减向量与被减向量的起点相同 如 如 1 1 化简 ABBCCD ABADDC ABCDACBD 2 2 若正方形的边长为 1 则 ABCD ABa BCb ACc abc 3 3 若 O 是所在平面内一点 且满足 则的形状ABCA2OBOCOBOCOA ABCA 为 4 4 若为的边的中点 所在平面内有一点 满足 DABC BCABC P0PABPCP 设 则的值为 AP PD 5 5 若点是的外心 且 则的内角为 OABC 0OAOBCO ABC C 2 坐标运算坐标运算 设 则 1122 ax ybxy 向量的加减法运算向量的加减法运算 12 abxx 12 yy 如 如 1 1 已知点 若 则当 时 点 2 3 5 4 AB 7 10 C APABACR P 在第一 三象限的角平分线上 2 2 已知 则 1 2 3 1 4 sin cos 2 ABABxy 且 2 2 x y xy 3 3 已知作用在点的三个力 则合力的 1 1 A 123 3 4 2 5 3 1 FFF 123 FFFF 终点坐标是 实数与向量的积实数与向量的积 1111 ax yxy 若 则 即一个向量的坐标等于表示这个向量的 1122 A x yB xy 2121 ABxx yy 有向线段的终点坐标减去起点坐标 精品文档 5欢迎下载 如 如 设 且 则 C D 的坐标分别是 2 3 1 5 AB 1 3 ACAB 3ADAB 平面向量数量积平面向量数量积 1212 a bx xy y 如 如 已知向量 sinx cosx sinx sinx 1 0 1 若 x 求abc 3 向量 的夹角 2 若 x 函数的最大值为 求的值ac 4 8 3 baxf 2 1 向量的模向量的模 2 22222 axyaaxy 如 如 已知均为单位向量 它们的夹角为 那么 a b 60 3 ab 两点间的距离两点间的距离 若 则 1122 A x yB xy 22 2121 ABxxyy 如如如图 在平面斜坐标系中 平面上任一点 P 关于xOy60 xOy 斜坐标系的斜坐标是这样定义的 若 其中分别为与x 12 OPxeye 12 e e 轴 y轴同方向的单位向量 则 P 点斜坐标为 1 若点 P 的斜坐标为 2 2 求 P 到 O x y 的距离 PO 2 求以 O 为圆心 1 为半径的圆在斜坐标系中的方程 xOy 七 向量的运算律七 向量的运算律 1 交换律 abba aa a bb a 2 结合律 abcabc abcabc aba bab 3 分配律 aaaabab abca cb c 如 如 下列命题中 cabacba cbacba 2 ab 2 a 若 则或 若则 2 2 abb 0 ba0 a0 b a bc b ac 2 2 aa 其中正确的是 2 a bb a a 22 2 a bab 22 2 2abaa bb 提醒 提醒 1 1 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一个向量等式 可以移项 两边 平方 两边同乘以一个实数 两边同时取模 两边同乘以一个向量 但不能两边同除以一个向量 即两边不能约去一个向量 切记两向量不能相除切记两向量不能相除 相约相约 2 2 向量的 向量的 乘法乘法 不满足结合律不满足结合律 即 精品文档 6欢迎下载 为什么 cbacba 8 向量平行向量平行 共线共线 的充要条件的充要条件 0 abab 22 a ba b 1212 x yy x 如如 1 1 若向量 当 时与共线且方向相同 1 4 axbx xa b 2 2 已知 且 则x 1 1 4 abx 2uab 2vab uv 3 3 设 则k 时 A B C 共线 12 4 5 10 PAkPBPCk 九 向量垂直的充要条件九 向量垂直的充要条件 特别地0 aba babab 1212 0 x xy y ABACABAC ABACABAC 如如 1 1 已知 若 则 1 2 3 OAOBm OAOB m 2 2 以原点 O 和 A 4 2 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB 则点 B 的坐标是90B 3 3 已知向量 且 则的坐标是 na b nm nm m 十一 平移公式十一 平移公式 如果点按向量平移至 则 曲线 P x y ah k P x y xxh yyk 按向量平移得曲线 注意注意 1 1 函数按向量平移与平常 0f x y ah k 0f xh yk 左加右减 有何联系 2 2 向量平移具有坐标不变性 可别忘了啊 如如 1 1 按向量把平移到 则按向量把点平移到点 a 2 3 1 2 a 7 2 2 2 函数的图象按向量平移后 所得函数的解析式是 则xy2sin a12cos xy a 1212 向量中一些常用的结论 向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 特别地 当同向或有同向或有 ababab a b 0 abab 当反向或有反向或有 当不共线不共线 abab a b 0 abab abab a b 这些和实数比较类似 ababab 3 在中 若 则其重心的坐标为ABC 112233 A x yB xyC xy 精品文档 7欢迎下载 123123 33 xxxyyy G 如 如 若 ABC 的三边的中点分别为 2 1 3 4 1 1 则 ABC 的重心的坐标为 为的重心 特别地为 1 3 PGPAPBPC GABC 0PAPBPCP 的重心 ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 0 ACAB ABAC ABC BAC 的内心 0AB PCBC PACA PBP ABC 3 若 P 分有向线段所成的比为 点为平面内的任一点 则 特 12 PP M 12 1 MPMP MP 别地为的中点 P 12 PP 12 2 MPMP MP 4 向量中三终点共线存在实数使得且 PA PB PC ABC PAPBPC 1 如 如 平面直角坐标系中 为坐标原点 已知两点 若点满足O 1 3 A 3 1 BC OC 其中且 则点的轨迹是 OBOA 21 R 21 1 21 C 与向量有关的题目类型与向量有关的题目类型 题型一 三角函数平移与向量平移的综合 结合向量平移问题 考查三角函数解析式的题型一 三角函数平移与向量平移的综合 结合向量平移问题 考查三角函数解析式的 求法求法 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题 虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同 但它们实质 是一样的 它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 解答平移问题主要注意两个方面的确 定 1 平移的方向 2 平移的单位 这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例例 1 1 把函数 y sin2x 的图象按向量 3 平移后 得到函数 y sin x a 6 B B 0 0 的图象 则 和 B 的值依次为 2 精品文档 8欢迎下载 A 3B 3C 3D 3 12 3 3 12 例例 2 2 2007 年高考湖北卷 将的图象按向量平移 则平移后所得图 2cos 36 x y 2 4 a 象的解析式为 2cos2 34 x y 2cos2 34 x y 2cos2 312 x y 2cos2 312 x y 题型二题型二 三角函数与平面向量平行三角函数与平面向量平行 共线共线 的综合的综合 此题型的解答一般是从向量平行 共线 条件入手 将向量问题转化为三角问题 然后再利用三 角函数的相关知识再对三角式进行化简 或结合三角函数的图象与民性质进行求解 此类试题综合性 相对较强 有利于考查学生的基础掌握情况 因此在高考中常有考查 题型三题型三 三角函数与平面向量垂直 结合向量的夹角公式 考查三角函数中的求角问题三角函数与平面向量垂直 结合向量的夹角公式 考查三角函数中的求角问题 此题型在高考中是一个热点问题 解答时与题型二的解法差不多 也是首先利用向量垂直的充要 条件将向量问题转化为三角问题 再利用三角函数的相关知识进行求解 此类题型解答主要体现函数 与方程的思想 转化的思想等 例例 1 1 已知向量 3sin cos 2sin 5sin 4cos 2 且 a b 3 2 a b 求 tan 的值 求 cos 的值 2 3 例例 2 2 2006 年高考浙江卷 如图 函数 其中 的图像与2sin yxxR 0 2 轴交于点 0 1 y 求的值 设是图像上的最高点 M N是图像与轴的交点 求与的夹角PxPM PN 精品文档 9欢迎下载 余弦值 题型四题型四 三角函数与平面向量的模的综合三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 2 2 如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法 a a 1 先进行向量运算 再代入向量的坐标进行求解 2 先将向量的坐标代入向量的坐标 再利 用向量的坐标运算进行求解 例例 已知向量 cos sin cos sin 求 cos 的 a b a b 2 55 值 若 0 且 sin 求 sin 的值 2 2 5 13 题型五题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 考查三角函数的化简或求值三角函数与平面向量数量积的综合 考查三角函数的化简或求值 精品文档 10欢迎下载 此类题型主要表现为两种综合方式 1 三角函数与向量的积直接联系 2 利用三角函数与向 量的夹角交汇 达到与数量积的综合 解答时也主要是利用向量首先进行转化 再利用三角函数知识 求解 例例 1 1 设函数 f x 其中向量 m cosx 1 sinx 1 x R 且 f a b a b 2 2 求实数 m 的值 求函数 f x 的最小值 例例 2 2 2007 年高考安徽卷 已知 为的最小正周期 0 4 cos 2 8 f xx 求的值 tan 1 cos 2 4 aba bm 2 2cossin2 cossin 题型六 解斜三角形与向量 结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算题型六 解斜三角形与向量 结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的 说明正弦定理 余弦定理 与向量有着密切的联系 解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量 的坐标 要求根据向量的关系解答相关的问题 例例 1 1 已知角 A B C 为 ABC 的三个内角 其对边分别为 a b c 若 cos sin m A 2 A 2 cos sin a 2 且 n A 2 A 23 m n 1 2 若 ABC 的面积 S 求 b c 的值 3 求 b c 的取值范围 精品文档 11欢迎下载 例例 2 2 山东卷 在中 角的对边分别为 ABC A B C a b ctan3 7C 1 求 cosC 2 若 且 求 5 2 CB CA 9ab c 题型七 结合三角函数的有界性 考查三角函数的最值与向量运算题型七 结合三角函数的有界性 考查三角函数的最值与向量运算 例例 2007 年高考陕西卷 其中向量 f xa b cos2 amx 1 sin2 1 bx 且函数的图象经过点 xR yf x 2 4 求实数的值 m 求函数的最小值及此时值的集合 yf x x 题型八 结合向量的坐标运算 考查与三角不等式相关的问题题型八 结合向量的坐标运算 考查与三角不等式相关的问题 例例 2006 年高考湖北卷 设向量 函数 sin cos cos cos axx bxx xR f xaab 求函数的最大值与最小正周期 f x 精品文档 12欢迎下载 求使不等式成立的的取值集 3 2 f x x 练习题练习题 一 选择题 1 已知 cos40 sin40 cos20 sin20 则 a b a b A 1B C D 1 2 2 将函数 y 2sin2x 的图象按向量 平移后得到图象对应的解析式是 2 2 2 A 2cos2xB 2cos2xC 2sin2xD 2sin2x 3 已知 ABC 中 若 0 则 ABC 是 AB a AC b a b A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形 4 设 sin cos 且 则锐角 为 a 3 2 b 1 3 a b A 30 B 45 C 60 D 75 5 已知 sin 1 其中 则一定有 a1 cos b1 cos 3 2 A B C 与夹角为 45 D a b a b a b a b 6 已知向量 6 4 0 2 若 C 点在函数 y sinx 的图象上 实数 a b c a b 12 A B C D 5 2 3 2 5 2 3 2 7 由向量把函数 y sin x 的图象按向量 m 0 m 0 平移所得的图象关于y轴对称 则 5 6 a m 的最小值为 A B C D 6 3 2 3 5 6 8 设 0 2 时 已知两个向量 cos sin 2 sin 2 cos 则向量长度 OP1 OP2 P1P2 的最大值是 A B C 3D 2 2323 9 若向量 cos sin cos sin 则与一定满足 a b a b 精品文档 13欢迎下载 A 与的夹角等于 B a b a b C D a b a b a b 10 已知向量 cos25 sin25 sin20 cos20 若 t 是实数 且 t 则 a b u a b u 的最小值为 A B 1C D 2 1 2 11 O 是平面上一定点 A B C 是该平面上不共线的 3 个点 一动点 P 满足 OP OA AB AC 0 则直线 AP 一定通过 ABC 的 A 外心B 内心C 重心D 垂心 12 对于非零向量我们可以用它与直角坐标轴的夹角 0 0 来表示它的方向 称 a 为非零向量的方向角 称 cos cos 为向量的方向余弦 则 cos2 cos2 a a A 1B C D 0 1 2 二 填空题 13 已知向量 sin 2cos 若 则 sin2 的值为 m n3 1 2 m n 14 已知在 OAB O 为原点 中 2cos 2sin 5cos 5sin 若 5 则 S OA OB OA OB AOB的值为 15 将函数f x tan 2x 1 按向量a平移得到奇函数 g x 要使 a 最小 则a 3 16 已知向量 1 1 向量与向量夹角为 且 1 则向量 m n m 3 4 m n n 三 解答题 17 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 k k R AB AC BA BC 判断 ABC的形状 若 c 求 k 的值 2 18 已知向量 sinA cosA 1 1 且为锐角 求角 A 的大小 m n3 m n A 求函数 f x cos2x 4cosAsinx x R 的值域 精品文档 14欢迎下载 19 在 ABC 中 A B C 所对边的长分别为 a b c 已知向量 1 2sinA m sinA 1 cosA 满足 b c a 求 A 的大小 求 sin B 的值 n m n3 6 20 已知 A B C 的坐标分别为A 4 0 B 0 4 C 3cos 3sin 若 0 且 求角 的大小 AC BC 若 求的值 AC BC 2sin2 sin2 1 tan 21 ABC 的角 A B C 的对边分别为a b c 2b c a cosA cosC 且 m n m n 求角 A 的大小 当y 2sin2B sin 2B 取最大值时 求角的大小 6 B 22 已知 cosx sinx sinx cosx sinx 2cosx a b 精品文档 15欢迎下载 求证 向量与向量不可能平行 a b 若 f x 且 x 时 求函数 f x 的最大值及最小值 a b 4 4 23 设函数 其中向量 f xabc sin cos sin 3cos axx bxx cos sin cxx xR 求函数的最大值和最小正周期 xf 将函数的图像按向量平移 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称 求 xfy d 长度最小的 d 24 已知向量 sin 1 1 cos 22 ab 若 求 ab 求的最大值 ab 精品文档 16欢迎下载 与平面向量有关的高考题与平面向量有关的高考题 1 2012 高考全国文 9 中 边的高为 若 ABC ABCDCBa 则CAb 0a b 1a 2b AD A B C D 11 33 ab 22 33 ab 33 55 ab 44 55 ab 2 2012 高考重庆文 6 设 向量且 则xR 1 1 2 axb ab ab A B C D 5102 510 3 2012 高考浙江文 7 设 a b 是两个非零向量 A 若 a b a b 则 a b B 若 a b 则 a b a b C 若 a b a b 则存在实数 使得 b a D 若存在实数 使得 b a 则 a b a b 4 2012 高考四川文 7 设 都是非零向量 下列四个条件中 使成立的充分条件是a b ab ab A 且 B C D ab ab ab ab 2ab 5 2012 高考陕西文 7 设向量 1 与 1 2 垂直 则等于 a cos b cos cos2 A B C 0 D 1 2 2 1 2 6 2012 高考辽宁文 1 已知向量 a 1 1 b 2 x 若 a b 1 则 x A 1 B C D 1 1 2 1 2 7 2012 高考广东文 3 若向量 则 1 2 AB 3 4 BC AC 精品文档 17欢迎下载 A B C D 4