文科数学2010-2019高考真题分类训练专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用—后附解析答案

专题六 数列第十八讲 数列的综合应用一、选择题1(2018浙江)已知，成等比数列，且若，则A， B，C， D，2(2015湖北)设，若p：成等比数列；q：，则Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，成等比数列，则的前项和=A B C D4（2014浙江）设函数，记，则A B C D 二、填空题5(2018江苏)已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 6（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零若，成等比数列，且，则 ， 7（2013重庆）已知是等差数列，公差，为其前项和，若成等比数列，则8（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是_三、解答题9（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）10*（2017浙江）已知数列满足：，证明：当时（）；（）；（）*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考11（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列12（2016年四川）已知数列的首项为1，为数列的前项和，其中，()若成等差数列，求数列的通项公式；()设双曲线的离心率为，且，求13（2016年浙江）设数列的前项和为.已知=4，=2+1，.（I）求通项公式；（II）求数列的前项和.14(2015重庆)已知等差数列满足，前3项和（）求的通项公式；（）设等比数列满足，求前项和15（2015天津）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，（）求和的通项公式；（）设，求数列的前项和16(2015四川)设数列（=1,2,3）的前项和满足，且，+1，成等差数列（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，求17（2015湖北）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记=，求数列的前项和18(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）令=求数列的前项和19（2014浙江）已知数列和满足若为等比数列，且（）求与；（）设记数列的前项和为（）求；（）求正整数，使得对任意，均有20（2014湖南）已知数列满足（）若是递增数列，且成等差数列，求的值；（）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式21（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）（）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列 的前项和22(2014江苏)设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”（）若数列的前n项和(N)，证明: 是“H数列”；（）设 是等差数列，其首项，公差若 是“H数列”，求的值；（）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立23（2013安徽）设数列满足，且对任意，函数 ，满足（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和24（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列（）证明：；（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有25（2013湖北）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由26（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，其中为实数.（） 若，且，成等比数列，证明：；（） 若是等差数列，证明：27 (2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和28（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元（）用表示，并写出与的关系式；（）若公司希望经过（3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）29（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，数列满足，（）求；（）求数列的前项和30（2012山东）在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和31（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：（）设，求证：数列是等差数列；（）设，且是等比数列，求和的值32（2011天津）已知数列满足， （）求的值； （）设，证明是等比数列； （）设为的前项和，证明33（2011天津）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：34（2010新课标）设数列满足（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和35（2010湖南）给出下面的数表序列：其中表（=1,2,3 ）有行，第1行的个数是1，3，5，21，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和（）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（3）（不要求证明）；（）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，记此数列为，求和： 专题六 数列第十八讲 数列的综合应用答案部分1B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B解法二 因为，所以，则，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以与矛盾，所以，所以，所以，故选B2A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，当时，成立；当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件3A【解析】，成等比数列，即，解得，所以4B【解析】在上单调递增，可得，=在上单调递增，在单调递减， =在，上单调递增，在，上单调递减，可得因此527【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，= 441 +62= 503=540，符合题意故使得成立的的最小值为276【解析】由题可得，故有，又因为，即，所以764【解析】由且成等比数列，得，解得，故8【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是因此，所以9【解析】(1)由条件知：,因为对=1，2，3，4均成立，即对=1，2，3，4均成立，即11，13，35，79，得因此，的取值范围为(2)由条件知：,若存在，使得(=2，3，+1)成立，即(=2，3，+1)，即当时，满足因为，则，从而，对均成立因此，取=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当时，所以单调递减，从而当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，的取值范围为10【解析】（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故因此所以因此（）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（）因为所以得由得所以 故综上， 11【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，当时，.由知，将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，所以数列是等差数列.12【解析】（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等差数列，可得，所以，故.所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.所以，13【解析】（1）由题意得：，则，又当时，由，得，所以，数列的通项公式为.（2）设，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，所以，.14【解析】（）设的公差为，则由已知条件得化简得解得，故通项公式，即（）由（）得设的公比为，则，从而故的前项和 15【解析】（）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有 消去d，整数得，又因为0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为.（）解：由（）有 ,设的前n项和为，则，两式相减得，所以16【解析】() 由已知，有=(n2)，即(n2)，从而，又因为，+1，成等差数列，即2(1)，所以42(21)，解得2所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故()由()得，所以 17【解析】（）由题意有， 即，解得 或 故或（）由，知，故，于是， 可得，故18【解析】（）解得（），当为偶数时 19【解析】（）由题意，知，又由，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；（）（i）由（）知，所以；（ii）因为；当时，而，得，所以当时，综上对任意恒有，故20【解析】（I）因为是递增数列，所以。而，因此又成等差数列，所以，因而，解得当时，这与是递增数列矛盾。故.（）由于是递增数列，因而，于是 但，所以 . 又，知，因此 因为是递减数列，同理可得，故 由，即知，。于是 .故数列的通项公式为21【解析】（）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以因为点在函数的图象上，所以，所以又，所以（）由，函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而， 所以故22【解析】（）当时，当时，时，当时，是“H数列”（）对，使，即取得，又，（）设的公差为d令，对，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”的前项和，令，则对，是非负偶数，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证23【解析】（）由， 所以， 是等差数列.而，（） 24【解析】（）当时， （）当时，,当时，是公差的等差数列.构成等比数列，解得由（）可知， 是首项,公差的等差数列. 数列的通项公式为.（）25【解析】（）设数列的公比为，则，. 由题意得 即 解得 故数列的通项公式为（）由（）有 . 若存在，使得，则，即 当为偶数时， 上式不成立；当为奇数时，即，则.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为26【证明】（）若，则，又由题，是等差数列，首项为，公差为，又成等比数列，（）（）由题，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立整理得：关于恒成立，27【解析】（）由已知得：解得,所以通项公式为.（）由，得，即.，是公比为49的等比数列，28【解析】（）由题意得，（）由（）得整理得由题意，解得故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元29【解析】（）由=，得当=1时，；当2时，.由，得，.（）由（1）知，所以，30【解析】：（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，于是，即.（）对任意m，则，即，而，由题意可知，于是，即.31【解析】（）由题意知，所以，从而所以数列是以1为公差的等差数列（）所以，从而 (*)设等比数列的公比为，由知下证若，则故当，与（*）矛盾；若，则故当，与（*）矛盾；综上：故，所以又，所以是以公比为的等比数列，若，则，于是，又由，得，所以中至少有两项相同，矛盾所以，从而，所以32【解析】（）由，可得又，当当（）证明：对任意 -，得所以是等比数列。（）证明：，由（）知，当时，故对任意由得因此，于是，故33【解析】（）由可得又当时，由，可得；当时，可得；当时，可得；（）证明：对任意，得将代入，可得即又因此是等比数列.（）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于=1，不等式显然成立.所以，对任意34【解析】（）由已知，当n1时，而 所以数列的通项公式为（）由知 从而 -得 即 35【解析】（）表4为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列将结这一论推广到表（3），即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首