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第四章协方差分析 AnalysisofCovariance 方差分析中 所接触到的各种处理多数都是人为控制的 有时一些变量很难或者不可能人为控制 对于这种情况则不能用第三章所述的方差分析方法 推断处理之间的差异而应用协方差分析的方法做推断 例如 在研究不同饲养条件下 动物的增重情况时 由于动物的原体重不同 如果只考虑饲料对增重的作用而不考虑原体重时增重的影响 显然是不全面的 动物的增重不仅与饲料有关 而且还与原体重有关 一般来讲 原体重高的增童较多 原体重低的增重较少 增重与原体重之间有回归关系 为了得到正确的结论 就要在排除原体重对增重的影响之后 推断处理的效应 这就是本章所要讨论的协方差分析 在协方差分析中 通常将动物增重称为反应变量 responsevariable Y 而与Y有线性回归关系的另一变量 原始体重 称为伴随变量 concomitantvariable 或协变量 covariate X 协方差分析就是通过反应变量与协变量之间的线性关系 调整观察的反应变量 假若不做这种调整 由于协变量的存在会使误差平方和加大 其结果有可能检验不出反应变量在不同处理之间所存在的真正差异 因此 协方差分析是一种调整无法控制又影响效应的变量的方差分析方法 是方差分析与回归分析的结合 在上述动物重实验中 很难将全部实验动物都选为具有相同体重的个体 动物的原体重是无法控制的变量 而原体重对增重又有明显的影响 使用协方差分析 便可排除原体重X对增重Y的影响 使结果更为可靠 第一节具一个协变量的一种方式分组的协方差分析 one wayclassificationwithasinglecovariate 本节讨论协方差分析中最简单的一种情况 即以只有一个协变量的单因素实验设计的协方差分析为例 说明协方差分析的基本原理和计算方法 单因素协方差分析的统计模型是 其中yij是第i次处理所得到的反应变量的第j次观察值 cij是相当于yij的协变量值 c 是cij的平均数 m是总平均数 ai是第i次处理效应 b是yij在cij上的线性回归系数 eij是随机误差成份 做协方差分析 需要满足以下几个条件 eij是服从正态分布的独立随机变量 b 0 即yij与cij之间存在线性关系 各处理的回归系数都相同 处理效应之和等于零 ai 0 以及协变量不受处理效应的影响等 从 4 1 式中可以看出 协方差分析的模型是方差分析和回归分析线性模型的结合 ai是单因素方差分析中的处理效应 b是回归分析中的回归系数 在 4 1 式中的协变量是以 cij c 的形式而不是以cij的形式表示的 因此参量m是总的平均值 统计模型的另一种形式是 其中m 并不等于总平均值 在这个模型中 总平均值为m bc 经常使用的模型是 4 1 式 协方差分析需要计算以下一些量 以上各式的符号 S T和E分别表示总的 处理的误差的平方和及交叉乘积和 它们之间的关系可用通式S T E表示 仔细阅读并分析以上各式 弄清楚各式的意义 对下面的学习是有益的 协方差分析的核心 就是通过协变量调整反应变量 下面讨论如何做这种调整 在统计模型 4 1 中 m的估计值为c b的估计值为b 处理效应ai的估计值为ci c b ci c 其中 在这个模型中 误差平方和SSe为 具a n 1 1自由度 实验误差均方由下式估计 若实验不存在处理效应 模型 4 1 将变为 具an 2自由度 其中S2XY SXX是由于Y和X的回归所产生的平方和 如果实验本身存在处理效应 但却按不存在处理效应对待 这时所计算出来的误差平方和SS e要大于按存在处理效应计算所得到的误差平方和SSe 两者的差 SS e SSe 是由于处理效应ai所产生的平方回归系数 具a 1自由度 可用F检验不存在处理效应的假设 若F Fa 1 a n 1 a 则接受H0 ai 0 若F Fa 1 a n 1 a 则拒绝H0 ai 0 将以上结果列在表4 1中 表4 1协方差分析 调整的方差分析 表4 1与方差分析表基本上是一致的 所不同的是没一项平方和都是经过调整的 因此 协方差分析又称为调整的方差分析 在变差来源一列中 总的变差是由具an 1自由度的SYY度量的 回归的变差由具1自由度的平方和S2XY SXX度量 假若不存在协变量 则SXY SXX EXY EXX 0 误差平方和将简化为EYY 处理平方和为SYY EYY TYY 成为一种方式分组的方差分析 然而由于存在协变量 我们必须通过Y在X上的回归 调整SYY和EYY 见表4 1 因为在调整平方和时 用了另一个参量b 所以调整的误差平方和具a n 1 1自由度 而不是a n 1 自由度 通常将协方差分析结果纳成协方差分析表 表4 2具一个协变量的一种方式分组实验的协方差分析表 在协方差分析表中 除列入检验假设所需要的处理效应平方和之外 还列入了全部平方和及交叉乘积和 协方差分析的结果 不论零假设是否可以接受 都需对处理平方数ci 给予解释 由于ci 包括处理效应和在协变量上的回归效应 因此对平方数也要做相应的调整 调整的方法如下 根据模型 4 2 协方差分析需满足以下要求 即 各处理的方差应具备齐性 它们都是从具有同一方差的正态总体中的来的 个处理的回归系数bi均等于b以及反应变量与协变量之间的回归系数b 0 因此 在对一组数据做协方差分析时 首先要对以上各个条件做检验 只有以上条件得到满足时 才能做协方差分析 第二节协方差分析的计算方法例4 1比较三种猪饲料A1 A2 A3对猪增重的影响 测得每头猪的增重 Y 和出生重 X 数据列在表4 3中 问三种饲料对猪增重是否有显著不同的效果 表4 3不同饲料对猪增重的影响 在这个问题中 若不考虑出生重 则是一个单因素方差分析的问题 若不同饲料的增重效果没有显著差异 则成为增重对出生重的一元回归问题 实际上 在研究动物增重问题时 不同饲料和出生重对增重的影响都要考虑 因此 在推断不同饲料的增重效应时 为了排除出生重的影响 应使用方差分析与回归分析相结合的方法 即以协方差分析的方法做推断 首先检验eij NID 0 s2 bi b及b 0是否可以得到满足 检验的方法如下 分别计算三种饲料饲养猪的出生重与增重间的回归系数bi 并列出回归方程 将三组数据合并 只需将三组数据的平方和与交叉乘积合并即可 计算公共的回归系数b 用公共的回归系数代替bi 可以得到三条平行的回归线 用每一处理的各自回归系数bi 计算剩余平方和 将三组剩余平方和相加 得到组内剩余平方和 相应的自由度为a n 2 18 用公共回归系数b 计算三条平行回归线的剩余平方和 它们的和就是误差平方和 见公式 4 9 4 13 相应的自由度为a n 1 1 20 检验方差齐性 中已计算出各处理的剩余平方和 各具8 1 1 6自由度 各处理的均方分别为 检验方差齐性的一个简便方法是用两个差异最大的均方做F检验 F6 6 0 05 4 82 F F0 05 可以认为各组方差具备齐性 检验回归线是否平行 bi b 在 中已经计算出组内剩余平方和SSeG和用公共回归系数b 计算得到的误差平方和SSe SSeG完全是由随机因素造成的 三条回归线用同一b 计算出的误差平方和SSe 包括由于随机误差及回归系数两种变差所产生的平方和 因而回归系数平方和 回归系数自由度为误差自由度与组内误差自由度之差 然后用MSeG对MS回归系数最检验 若两者差异不显著 说明由回归系数所产生的方差与由于随机因素所引起的方差差别不大 即可证明原来的三条回归线是平行的 用F检验 代入数值 F2 18 0 05 3 55 F F0 05 因此三条回归线是平行的 也可以将三条回归线做图 从图上观察它们是否近于平行 若接近平行的话 也可以不做以上的检验 检验回归是否显著 利用方差分析做检验 方差分析表如下 表4 4检验回归显著性的方差分析表 F1 20 0 01 8 1 F F0 01 回归是极显著的 这一步检验的许多计算 是在协方差分析过程中得出来的 所以这一步检验也可放在协方差分析的最后进行 在大多数生物学问题中 以上几点要求基本上都可以满足 在实际应用时 只要根据bi所做出的回归线是否平行 若近于平行 则可不必做繁琐的检验 直接进行以下的分析 将表4 3中的数据编码 每一个Y都减去90 每一个X都减去20 列成表4 5 表4 5协方差分析计算表 计算下列各值 由公式 4 15 求出 具an 2 3 8 2 22自由度 并由 4 13 式计算出 具a n 1 1 3 8 1 1 20自由度 将上述结果列成协方差分析表 表4 6 表的最后一行 是为了检验假设H0 ai 0所计算的平方和 具a 1 3 1 2自由度 表4 6协方差分析表 检验不同饲料的增重效果 即检验H0 ai 0 根据 4 16 式 F2 22 0 01 5 72 F F0 01 结论是不同饲料的增重效果极显著 公共回归系数 回归系数的显著性检验 H0 b 0 F1 20 0 01 8 1 F F0 01