2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷

北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 北京工业大学 2006 2007 学年第二学期 高等数学 期末试卷 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 请将正确结果的字母写在括号内 1 假定函数f x y 在点处取得极大值 此时下列结论正确的是 00 yx A 在处导数等于零 B 在处导数大于零 0 f x y 0 xx 0 f x y 0 xx C 在处导数小于零 D 在处导数未必存在 0 f x y 0 xx 0 f x y 0 xx 2 其中为 的值等于 222 222 ln 1 zxyz dxdydz xyz 222 2xyz A 2 B 1 C 0 D 1 3 级数 的敛散情况是 2 1 1 ln n n n A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定 4 将三重积分 其中 dvzyxI 222 1 222 zyx 化为球面坐标下的三次积分为 A B 1 00 2 0 drdd 1 0 2 0 2 0 rdrdd C D 1 0 4 0 2 0 sin drrdd 1 0 2 0 2 0 sin drrdd ddrdrdvsin 2 注意到体积元素 5 定义在上的函数展开为以为周期的傅立叶级数 其和函数记为 f xx 2 则 xS S A 0 B C D 2 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 得分 得分 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 6 曲线在点处的切线方程为 32 tztytx 1 1 1 P 法平面方程为 7 设为球面的表面 则 2222 xyza dSzyx 222 8 函数的麦克劳林级数的第 5 项为 收敛域为 4 1 x xf 9 已知函数 其中是大于 的实数 有一个极值点 23 ab f x yxyxy a b1 1 1 则 此时函数 的极大值为 f x y 10 确定了隐函数 则在点处的全微 3 3zxyzxyz yxzz yxzz 0 0 1 分为 三 计算下列各题 本大题共 6 小题 每小题 9 分 共 54 分 解答应写出主要过程或演算步 骤 11 设函数 其中具有二阶连续偏导数 求 x zfyxye f z x yx z 2 12 计算二次积分 其中实数 并求极限 2 0 ax y a I adxedy 0a lim a I a 得 分 得 分 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 13 利用高斯公式计算曲面积分 其中是锥面 2dxdy zxdzdxydydzI 介于平面与平面之间部分的外侧 22 yxz 0z 3z 14 已知曲线积分 与积分路径无关 其中 0 0 yx x dyxydxxeyxI 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 是二阶可导函数 且 x 0 0 0 0 1 求 x 2 求 1 1 I 15 求 1 幂级数的收敛域 1 12 n n n n x 2 幂级数的和函数 1 12 n n n n x 3 级数的和 1 1 2 n n n n 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 16 函数具有连续的导数 满足 且 求 xf 0 d1 x axx f xef attae 0 2fa 的值及函数 a xf 12 2 xx exex f xeeee 四 证明题 本题共 1 题 6 分 17 已知无穷级数满足 其中实数 证明 2 n n u 22 222 ln 1 xy n xya n undxdy 0a 级数 当时收敛 当时发散 但 总收敛 2 n n u 1a 1a 2 1 n n n u 北京工业大学 2006 2007 学年第二学期 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 高等数学 期末试卷 参考答案 一 单项选择题 1 D 2 C 3 A 4 C 5 B ddrdrdvsin 2 注意到体积元素 二 填空题 6 3 1 2 1 1 1 zyx 0632 zyx 7 4 4 a 8 5 4 4 x 4 4 9 33 2 ba 10 dydxdz 2 1 2 1 三 计算题 11 解 设 则 x uyx vye x uv z fye f x 2 2 1 xx uvuuuv xxx vuvvv xxx uuuvvvv z fye ffe f x yy yefe fe f feyfyefe f 12 解 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 222 22 0000 0 1 1 2 axaaay yyy ax a ya dxedydxedydyedx yedye 从而 1 lim 2 a I a 13 解 补平面上侧 9 3 z 22 1 yx 1 I xy D dxdy92zdv 81dz2 3 0 3 z 2 81 14 解 1 x exx xCxCYcossin 21 代入方程得 x Aey x ey 2 1 通解 x exCxCy 2 1 cossin 21 2 1 0 2 1 0 22 CC 2 1 0 2 1 0 11 CC 2 1 cos 2 1 sin 2 1 x exxx 2 1 1 0 0 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 1 1 1 dyexxydxxxeI xx 1 0 2 1 1sin 2 1 1cos 2 1 2 1 1sin 2 1 1cos 2 1 edye 15 解 北京工业大学北京工业大学 06 级第二学期期末考试级第二学期期末考试 1 收敛半径为 收敛区间为 2 2 1 12 n n n n x 2r 2 容易知道 0 1 2 1 2 n n n S x x x 两边求导有得的和函数为 1 12 n n n n x 2 1 2 1 2 x 3 利用 2 有 1 2 1 29 n n n n 16 解 首先由关系式有 由此可以得到 同时 0 1fa 1a 0 2f 由 我们有 0 d1 x xx f xef ttae 0 d1 x xx ef xf tte 两边同时对求导化简得 x 1 1 x fxef x 利用常数变易法可得 2 xx exex f xcee 再由得 从而得