行列式的计算方法(课堂讲解版)

精品文档 1欢迎下载 计算计算 n n 阶行列式的若干方法举例阶行列式的若干方法举例 n n 阶行列式的计算方法很多 除非零元素较少时可利用定义计算 阶行列式的计算方法很多 除非零元素较少时可利用定义计算 按照某一列或某一行展按照某一列或某一行展 开开 完全展开式 外 更多的是利用行列式的性质计算 特别要注意观察所求题目的特点 灵活完全展开式 外 更多的是利用行列式的性质计算 特别要注意观察所求题目的特点 灵活 选用方法 值得注意的是 同一个行列式 有时会有不同的求解方法 下面介绍几种常用的方法 选用方法 值得注意的是 同一个行列式 有时会有不同的求解方法 下面介绍几种常用的方法 并举例说明 并举例说明 1 利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0010 0200 1000 000 n D n n 解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 112211 nnnnn aaaan 该项列标排列的逆序数t n 1 n 2 1n 等于 1 2 2 nn 故 1 2 2 1 nn n Dn 2 利用行列式的性质计算 例 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称 nij Da 1 2 ijji aai jn 行列式 证明 奇数阶反对称行列式为零 证明 由知 即 ijji aa iiii aa 0 1 2 ii ain 故行列式Dn可表示为 由行列式的性质 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa T AA 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa 12131 12232 13233 123 0 0 1 0 0 n n n n nnn aaa aaa aaa aaa 1 n n D 当n为奇数时 得Dn Dn 因而得Dn 0 精品文档 2欢迎下载 3 化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形 其结果为行列式主对角线上元素的乘积 因此 化三角形是行列式计算中的一个重要方法 化三角形法是将原行列式化为上 下 三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法 这是 计算行列式的基本方法重要方法之一 因为利用行列式的定义容易求得上 下 三角形行列式或 对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算 原则上 每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式 但对于阶数高的行列式 在 一般情况下 计算往往较繁 因此 在许多情况下 总是先利用行列式的性质将其作为某种保值 变形 再将其化为三角形行列式 例例 1 1 计算行列式 11231 33795 20421 357146 4410102 D 解解 这是一个阶数不高的数值行列式 通常将它化为上 下 三角行列式来计算 2342 21 31 41 51 3 2 3 4 11231112311 12 31 00102020410204 1 020410010200 10 2 0215302153001 12 00222002220022 2 rr rr rr rrrrrr D 54 43 53 22 1123111231 0304102041 1 211612 0010200102 0001000010 0002600006 rr rr rr 例例 2 2 计算n阶行列式 123 123 123 123 1 1 1 1 n n n n aaaa aaaa Daaaa aaaa 解解 这个行列式每一列的元素 除了主对角线上的外 都是相同的 且各列的结构相似 因 此 n 列之和全同 将第 2 3 n列都加到第一列上 就可以提出公因子且使第一列的元素全 是 1 精品文档 3欢迎下载 122323 122323 1 122323 1 122323 1 1 2 2 11 1111 c 11111 1111 1 nnn nnn n i nnin i nnn n i i i in in aaaaaaaaa aaaaaaaaa c Daaaaaaaaaa aaaaaaaaa rr a 23 11 1 0100 111 0010 0001 A n nn ii ii aaa aa 例 3 计算n阶行列式 abbb babb Dbbab bbba 解 这个行列式的特点是每行 列 元素的和均相等 根据行列式的性质 把第 2 3 n列都加到第 1 列上 行列式不变 得 1 1 1 1 anbbbb anbabb Danbbab anbbba 1 1 1 1 1 bbb abb anbbab bba 1 000 1 000 000 bbb ab anbab ab 1 1 nanb ab 例例 4 4 浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题 重庆大学 2004 年攻 读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题 的解答中需要计算如下行列式的值 1231 2341 34512 1221 n nn n D nnn 分析分析 显然若直接化为三角形行列式 计算很繁 所以我们要充分利用行列式的性质 注意 到从第 1 列开始 每一列与它一列中有 n 1 个数是差 1 的 根据行列式的性质 先从第 n 1 列开 精品文档 4欢迎下载 始乘以 1 加到第 n 列 第 n 2 列乘以 1 加到第 n 1 列 一直到第一列乘以 1 加到第 2 列 然 后把第 1 行乘以 1 加到各行去 再将其化为三角形行列式 计算就简单多了 解 解 1 1 2 2 1 1111111111 211111000 311112000 11111000 1000 000 100 000 200 11 1 2 000 2000 000 100 1 1 2 i i n n in rr in rr n nn Dnn nnnn n n n n n n n nn n n n nn n n n n 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 nn n n n n n 4 降阶法 按行 列 展开法按行 列 展开法 降阶法是按某一行 或一列 展开行列式 这样可以降低一阶 为了使运算更加简便 往往 是根据行列式的特点 先利用列式的性质化简 使行列式中有较多的零出现 然后再展开 例例 1 1 计算 20 阶行列式 20 123181920 212171819 321161718 201918321 D 分析分析 这个行列式中没有一个零元素 若直接应用按行 列 展开法逐次降阶直至化许许多多个 2 阶行列式计算 需进行 20 20 1 次加减法和乘法运算 这人根本是无法完成的 更何况是 n 阶 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素 则很快就可算出结果 注意到此行列式的相邻两列 行 的对应元素仅差 1 因此 可按下述方法计算 解 解 精品文档 5欢迎下载 2019 1918 21 1 20 20 118 2 20 111111 123181920 211111 212171819 311111 321161718 1911111 201918321 2011111 111111 302222 400222 21 1 2 2000002 2100000 i cc cc cc i rr D 18 21 2 例 2 计算n阶行列式 0001 0000 0000 0000 1000 n a a a D a a 解 将Dn按第 1 行展开 1 000000 000000 1 000 000 0001000 n n aa aa Daa a a 12 1 1 nnnn aa 2nn aa 例例 3 3 计算n n 2 阶行列式 0001 0000 0000 1000 a a Da a 精品文档 6欢迎下载 解解 按第一行展开 得 1 000 000 000 000 1 000 000 1000 n a a a a Da a a 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开 则可得到 111 2222 111 nn nnnnn Daaaaaa 5 递 逆 推公式法 递推法是根据行列式的构造特点 建立起 与 的递推关系式 逐步推下去 从而求 出 的值 有时也可以找到 与 的递推关系 最后利用 得到 的值 注意 注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话 即很难找出递 推关系式 从而不能使用此方法 例例 1 1 计算行列式 1000 000 0010 001 000 n D 解 将行列式按第列展开 有 n 21 nnn DDD 112112 nnnnnnnn DDDDDDDD 得 nn nnnn DDDDDD 12 2 32 2 1 同理得 n nn DD 1 1 11 nn n n n D 例例 2 2 计算 ayyy xayy xxay xxxa Dn 精品文档 7欢迎下载 解 1 1 1 1 01 001 0001 0 0 0 n n n n xayDya xaxyxy xaxy xa yDya ayyy xayy xxay xxxy ayy xay xxa xxxya D 同理 1 1 n nn yaxDxaD 联立解得 yx yx xayyax D nn n 当时 yx 121 12 211 2 2 2 1 nn nnn nnn Dax Dx axaxDx ax axDnx axaxanx 例例 3 3 计算n阶行列式 1221 1000 0100 0000 0001 n nnn x x x D x aaaaax 解解 首先建立递推关系式 按第一列展开 得 111 11 12321 1000 10000 0100 1000 0000 111 0100 0001 0001 nnn nnnnnn nnn x x x x DxaxDaxDax x x aaaaax 这里与有相同的结构 但阶数是的行列式 1n D n D1n 现在 利用递推关系式计算结果 对此 只需反复进行代换 得 22122 21213211221 nn nnnnnnnnnnnnnn Dx xDaax DaxaxxDaaxaxDa xaxaxa 因 故 111 Dxaxa 1 11 nn nnn Dxa xaxa 精品文档 8欢迎下载 最后 用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的 当时 显然成立 设对阶的情形结果正确 往证对n阶的情形也正确 由1n 1n 121 112111 nnnn nnnnnnnn DxDax xa xaxaaxa xaxa 可知 对n阶的行列式结果也成立 根据归纳法原理 对任意的正整数n 结论成立 例例 4 4 证明n阶行列式 210000 121000 1 000121 000012 n Dn 证明证明 按第一列展开 得 210000100000 121000121000 2 000121000121 000012000012 n D 其中 等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式 记作 第二 n D1n 1n D 个行列式 若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式 记 n D2n 作 2n D 这样 就有递推关系式 12 2 nnn DDD 因为已将原行列式的结果给出 我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的 当时 结论正确 当时 结论正确 1n 1 2D 2n 2 21 3 12 D 设对的情形结论正确 往证时结论也正确 1kn kn 由 可知 对n阶行列式结果也成立 12 2211 nnn DDDnnn 根据归纳法原理 对任意的正整数n 结论成立 例例 5 5 2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10 小题要证如下行列式等式 000 100 0100 0001 n D 11 nn n D 证明 其中 虽然这是一道证明题 但我们可以直接求出其值 从而证之 分析 分析 此行列式的特点是 除主对角线及其上下两条对角线的元素外 其余的元素都为零 这种行列式称 三对角 行列式 1 从行列式的左上方往右下方看 即知 Dn 1与 Dn具有相同的结 精品文档 9欢迎下载 构 因此可考虑利用递推关系式计算 证明 证明 Dn按第 1 列展开 再将展开后的第二项中 n 1 阶行列式按第一行展开有 12nnn DDD 这是由 Dn 1 和 Dn 2表示 Dn的递推关系式 若由上面的递推关系式从 n 阶逐阶往低阶递推 计 算较繁 注意到上面的递推关系式是由 n 1 阶和 n 2 阶行列式表示 n 阶行列式 因此 可考虑将 其变形为 11212nnnnnn DDDDDD 或 11212nnnnnn DDDDDD 现可反复用低阶代替高阶 有 23 1122334 222 21 1 nnnnnnnn nnn DDDDDDDD DD 同样有 23 1122334 222 21 2 nnnnnnnn nnn DDDDDDDD DD 因此当时 由 1 2 式可解得 证毕 11nn n D 6 利用范德蒙行列式 根据行列式的特点 适当变形 利用行列式的性质 如 提取公因式 互换两行 列 一行乘以适当的数加到另一行 列 去 把所求行列式化成已知的或简单的形式 其中范 德蒙行列式就是一种 这种变形法是计算行列式最常用的方法 例 1 计算行列式 12 222 1122 121212 1122 111 111 n nn nnnnnn nn xxx Dxxxxxx xxxxxx 解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行 把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行 以此类推直到把新的 第n 1 行的 1 倍加到第n行 便得范德蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 n nij n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 精品文档 10欢迎下载 例 2 计算阶行列式 其1n 1221 111111 11 1221 222222 22 1221 11111111 nnnnn nnnnn nnnnn nnnnnnnn aabababb aababa bb D aabababb 中 121 0 n a aa 解解 这个行列式的每一行元素的形状都是 0 1 2 n 即按降幂排列 n kk ii ab k i a 按升幂排列 且次数之和都是n 又因 若在第i行 1 2 n 提出公因子 i b0 i a i n i a 则D可化为一个转置的范德蒙行列式 即 2 111 111 2 2221 121 222 11111 2 111 111 1 1 1 n n n j nnnni niijij ij inj in ij n nnn nnn bbb aaa bbb b b Da aaab aa b aaa aa bbb aaa 例例 3 3 计算行列式 xyxzyz zyx zyx D 222 解 222 222 1 3 22 222 1 3 yzxzxyxzyzxy xzyzxyzxzyzxyyxzyzxyx zyx zyx xyzyzxzyzyyzxzxy zyx zyx D x zy 例例 4 4 计算行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 解 作如下行列式 使之配成范德蒙行列式 精品文档 11欢迎下载 nn n nn nn n nn nn n nn n n yxxx yxxx yxxx yxxx yxxx yP 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 nij ji n i i xxxy 11 易知等于中 的系数的相反数 而中 的系数为 n D yP 1 n y yP 1 n y 因此 nij ji n k k xxx 11 n knij jikn xxxD 11 例例 5 5 计算 n 阶行列式 1111 2222 1 2 1 1 2 1 121 1111 nnnn nnnn n ananaa ananaa D ananaa 解 显然该题与范德蒙行列式很相似 但还是有所不同 所以先利用行列式的性质把它化为 范德蒙行列式的类型 先将的第 n 行依次与第 n 1 行 n 2 行 2 行 1 行对换 再将得到到的新的行列式的第 n 行与第 n 1 行 n 2 行 2 行对换 继续仿此作法 直到最后将第 n 行与第 n 1 行对换 这 样 共经过 n 1 n 2 2 1 n n 1 2 次行对换后 得到 1 2 2222 1111 1111 121 1 1 2 1 1 2 1 n n n nnnn nnnn ananaa D ananaa ananaa 上式右端的行列式已是范德蒙行列式 故利用范德蒙行列式的结果得 1 1 22 11 1 1 n nn n n j i nj i n Danianjij 7 加边法 升阶法 加边法 又称升阶法 是在原行列式中增加一行一列 且保持原行列式不变的方法 它要求 1 保持原行列式的值不变 2 新行列式的值容易计算 根据需要和原行列式的特点选取 所加的行和列 加边法适用于某一行 列 有一个相同的字母外 也可用于其第 列 行 的元素 分别为 n 1 个元素的倍数的情况 精品文档 12欢迎下载 例 1 计算n阶行列式 12 12 12 12 n n nn n xaaa axaa Daaa aaxa 解 1 1 0 0 n n n aa D D 12 1 100 2 1100 100 n i aaa x inx x 第行减第1行 12 1 1 000 000 000 n j n j a aaa x x x x 1 1 n jn j a x x 例 2 计算n n 2 阶行列式 其中 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n n a a Da a 12 0 n a aa 解解 先将添上一行一列 变成下面的阶行列式 n D1n 显然 1 12 1111 0111 0111 0111 n n a Da a 1nn DD 将的第一行乘以后加到其余各行 得 1n D 1 1 12 1111 100 1010 100 n n a Da a 因 将上面这个行列式第一列加第i 列的倍 得 0 i a 2i 1n 1 1 i a 精品文档 13欢迎下载 1 1 1 12 2 1 2 12 11 1 11111111 100 000 100 000 100 000 00 00 11 1 1 00 n i i nn n n nn n ii ii n a a a DDa a a a a a a aa aa a A 8 数学归纳法 当 与 是同型的行列式时 可考虑用数学归纳法求之 一般是利用不完全归纳法 寻找出行列式的猜想值 再用数学归纳法给出猜想的证明 因此 数学归纳法一般是用来证明行 列式等式 因为给定一个行列式 要猜想其值是比较难的 所以是先给定其值 然后再去证明 数学归纳法的步骤大家都比较熟悉 这里就不再说了 例 1 计算n阶行列式 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaax 解 用数学归纳法 当n 2 时 212 21 1 x Dx xaa axa 2 12 xa xa 假设n k时 有 12 121 kkk kkk Dxa xa xaxa 则当n k 1 时 把Dk 1按第一列展开 得 11kkk DxDa 1 111 kk kkk x xa xaxaa 12 111 kk kkk xa xaxa xa 由此 对任意的正整数n 有 12 121 nn nnnn Dxa xaxaxa 例例 2 2 计算行列式 cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos n D 精品文档 14欢迎下载 解解 于是猜想 2cos cos 21 DD nDncos 证明证明 对级数用第二数学归纳法证明 时 结论成立 假设对级数小于时 结论成立 将级行列式按第行展开 有1 nnnn nn nnn nn DD DD n n n n n n nn cos 1cos sin 1sin cos 1cos 1cos cos2 2cos 1 1cos cos2 1 cos2 11000 0cos2000 00cos210 001cos21 0001cos 1 cos2 12 2 12 1 1 12 1 例例 3 3 计算行列式 解 解 猜测 证明 1 n 1 2 3 时 命题成立 假设n k 1 时命题成立 考察 n k 的情形 精品文档 15欢迎下载 故命题对一切自然数 n成立 9 拆开法 拆项法是将给定的行列式的某一行 列 的元素写成两数和的形式 再利用行列式的性质将 原行列式写成两行列式之和 把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的 使问题简化以利计算 例 1 计算行列式 n D 112 122 12 n n nn aaa aaa aaa 解 n D 12 122 12 n n nn aaa aaa aaa 12 22 0 00 n n nn aa aa a 12 2 0 00 n n n aaa a 11n D 1211nn aD 12 1 1 n i n i i a 例 2 计算n n 2 阶行列式 11121 21222 12 12 12 12 n n n nnnn x yx ynx y x yx ynx y D x yx ynx y 解解 将按第一列拆成两个行列式的和 即 n D 12111121 22221222 212 122 122 122 nn nn n nnnnnnn x ynx yx yx ynx y x ynx yx yx ynx y D x ynx yx yx ynx y 再将上式等号右端的第一个行列式第i列 3 n 减去第一列的i倍 第二个行列式2i 提出第一列的公因子 则可得到 1 y 精品文档 16欢迎下载 1211121111 2222222222 121 22 1212 1212 1212 nn nn nn nnnnnnnnnn x yx yxx ynx yxxxn x yx yxx ynx yxxxn Dyyyy x yx yxx ynx yxxxn 当n 3 时 当时 0 n D 2n 22121 2Dxxyy 例 3计算n阶行列式 n xaaa axaa Daaxa aaax 0a 解解 将第一行的元素都表成两项的和 使变成两个行列式的和 即 n D 000000 n xaaaaaxaaaaa axaaaxaaaxaa Daaxaaaxaaaxa aaaxaaaxaaax 将等号右端的第一个行列式按第一行展开 得 1 000 n xa axaa xa Daaxa aaax 这里是一个与有相同结构的阶行列式 将第二个行列式的第一行加到其余各行 得 1n D n D1n 1 022 002 000 n aaaaaaaa axaaxaaa a xaaaxaxaa aaaxxa 于是有 1 1 1 n nn Dxa Da xa 另一方面 如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和 n D 仿