2003年高考数学试题(全国理)及答案

2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学 理工农医类 一 选择题一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 已知 xtgxx2 5 4 cos 0 2 则 A B C D 24 7 24 7 7 24 7 24 2 圆锥曲线 的准线方程是 2 cos sin8 A B C D 2cos 2cos 2sin 2sin 3 设函数 的取值范围是则若 00 2 1 1 0 0 12 xxf xx x xf x A 1 1 B 1 C D 0 2 1 1 4 函数的最大值为 cos sinsin2xxxy A B C D 221 12 2 5 已知圆的弦长为时 则截得被当直线及直线ClyxlaxaxC 0 3 0 4 2 22 32 a A B C D 222 12 12 6 已知圆锥的底面半径为 R 高为 3R 在它的所有内接圆柱中 全面积的最大值是 A B C D 2 2 R 2 4 9 R 2 3 8 R 2 2 3 r 7 已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列 则 0 2 2 22 nxxmxx 4 1 nm A 1B C D 4 3 2 1 8 3 8 已知双曲线中心在原点且一个焦点为M N 两点 MN 中点的横坐标与其相交于直线1 0 7 xyF 为则此双曲线的方程是 3 2 A B C D 1 43 22 yx 1 34 22 yx 1 25 22 yx 1 52 22 yx 9 函数 2 3 2 sin 1 xfxxxf的反函数 A B 1 1 arcsin xx 1 1 arcsin xx C D 1 1 arcsin xx 1 1 arcsin xx 10 已知长方形的四个项点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 和 D 0 1 一质点从 AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后 依次反射到 CD DA 和 AB 上的点 P2 P3和 P4 入射解等于反射 角 设 P4坐标为 的取值范围是 tg 2x1 0 44 则若 x A B C D 1 3 1 3 2 3 1 2 1 5 2 3 2 5 2 11 lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 n n n CCCCn CCCC A 3B C D 6 3 1 6 1 12 一个四面体的所有棱长都为 四个项点在同一球面上 则此球的表面积为 2 A 3B 4C 3D 6 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 展开式中的系数是 92 2 1 x x 9 x 14 使成立的的取值范围是 1 log2 xxx 15 如图 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着色 要求相邻区 域不得使用同一颜色 现有 4 种颜色可供选择 则不同的着色方法共 有 种 以数字作答 16 下列五个正方体图形中 是正方体的一条对角线 点 M N P 分别为具所在棱的中点 能得出 面ll MNP 的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字的说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知复数 z 的辐角为 60 且是和的等比中项 求 1 z z 2 z z 18 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三形 ACB 90 侧棱 AA1 2 D E 分别是 CC1与 A1B 的中点 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G 求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 结果用反三角函数值表示 求点 A1到平面 AED 的距离 19 本小题满分 12 分 已知 设 0 c P 函数在 R 上单调递减 x cy Q 不等式的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确 求的取值范围 1 2 cxxc 20 本小题满分 12 分 在某海滨城市附近海面有一台风 据监测 当前台风中心位于城市 O 如图 的东偏南 方向 300km 的海面 P 处 并以 20km h 的速度向西偏北 45 方向移动 台风侵袭的范围为圆 10 2 arccos 形区域 当前半径为 60km 并以 10km h 的速度不断增大 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭 21 本小题满分 14 分 已知常数在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 4 O 为 AB 的中点 点 E F G 分别在 BC CD DA 0 aa 上移动 且 P 为 GE 与 OF 的交点 如图 问是否存在两个定点 使 P 到这两点的距离的 DA DG CD CF BC BE 和为定值 若存在 求出这两点的坐标及此定值 若不存在 请说明理由 22 本小题满分 12 分 附加题 4 分 设中所有的数从小到大排列成的数列 Z ts 0 2 2 t 且是集合tsa s n 即 12 10 9 6 5 3 654321 aaaaaa 将数列各项按照上小下大 左小右大的原则写成如下的三角形数表 n a 3 5 6 9 10 12 i 写出这个三角形数表的第四行 第五行各数 i i 求 100 a 本小题为附加题 如果解答正确 加 4 分 但全卷总分不超过 150 分 设中所有的数都是从小到大排列成的数列 已知Z ts r 0 22 2 r 且是集合tsrb st n k 1160 求 k b 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 理工农医类 答案 一 选择题 1 D 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 10 C 11 B 12 A 二 填空题 13 14 1 0 15 72 16 2 21 三 解答题 17 解 设 则复数由题设 60sin60cos rrz 2 r z的实部为 2 rzzrzz 1 2 12 12 0 12 421 2 2 1 1 2 1 2 222 zrrrr rrrrrzzzzzzzz 即舍去解得整理得 即 18 解 连结 BG 则 BG 是 BE 在 ABD 的射影 即 EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角 设 F 为 AB 中点 连结 EF FC 11 22 1 1 1 1 3 4 3 126 2 2 2 2 2 3 3 33 6122 sin arcsin 3333 D ECC ABDCABCCDEF DE GADBGDFEFD EFFG FDFDEFFD EDEGFCCDABABEB EG EBGABABD EB 分别是的中点又平面为矩形 连结是的重心在直角三角形中 分 于是 与平面所成的角是 解 FABEFEFEDABED 又 3 62 3 62 32 222 1 1 111 111 1111 111 的距离为到平面中在 的距离到平面是即平面垂足为作 面且面平面平面面又面 AEDA AB BAAA KAABA AEDAKAAEDKAKAEKA AEABAAEDABAAEDAEDEDABAED 19 解 函数在 R 上单调递减 x cy 1 0 c 不等式 1 2 1 2 上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx 1 2 1 0 1 2 1 0 2 1 121 2 2 2 2 2 2 22 2 的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果 的解集为不等式上的最小值为在函数 ccQPcQP ccRcxxcRcxxy cxc cxcx cxx 20 解 如图建立坐标系以 O 为原点 正东方向为 x 轴正向 在时刻 1 台风中心 P 的坐标为yx 2 2 20 10 27 300 2 2 20 10 2 300 ty tx 此时台风侵袭的区域是其中若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭 则有 22 tryyxx 6010 ttr 即 6010 0 0 222 tyx 22 2 2 20 10 27 300 2 2 20 10 2 300 tt 2412 028836 6010 22 tttt解得即 答 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 21 根据题设条件 首先求出点 P 坐标满足的方程 据此再判断是否存在的两定点 使得点 P 到两点距离的和为定值 按题意有 A 2 0 B 2 0 C 2 4a D 2 4a 设 10 k DA DC CD CF BC BE 由此有 E 2 4ak F 2 4k 4a G 2 4a 4ak 直线 OF 的方程为 0 12 2 ykax 直线 GE 的方程为 02 12 ayxka 从 消去参数 k 得点 P x y 坐标满足方程022 222 ayyxa 整理得 当时 点 P 的轨迹为圆弧 所以不存在符合题意的两点 1 2 1 2 22 a ayx 2 1 2 a 当时 点 P 轨迹为椭圆的一部分 点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 2 1 2 a 当时 点 P 到椭圆两个焦点 的距离之和为定值 2 1 2 a 2 1 2 1 22 aaaa 2 当时 点 P 到椭圆两个焦点 0 的距离之和为定值 2 2 1 2 a 2 1 0 2 1 22 aaaa a 22 本小题满分 12 分 附加题 4 分 解 i 第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 i i 解 设 只须确定正整数 00 22 100 ts a 00 ts 数列中小于的项构成的子集为 n a 0 2t 0 2 2 0 t tts s 其元素个数为满足等式的最大整数为 14 所以取 100 2 1 2 1 00002 0 tttt Ct依题意0 t 14 0 t 因为 100 1664022 8s 1 814 10000 2 14 asC由此解得 解 令 2221160 3710 k b 0 22 2B 116