数学系常微分方程试卷C及答案

精品文档 1欢迎下载 试卷 试卷 C C 试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程 题 号一二三四五六七总 分 分 数 阅卷人 第 1 页 共 5 页 试卷说明 1 该门考试课程的考试方式 闭卷 2 考试所用时间 120 分钟 3 使用班级 数计学院 数 11 级 一 填空题 每小题 3 分 本题共 15 分 1 方程所有常数解是 0dcosdsin yxyxyx 2 方程的基本解组是 02 yyy 3 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 1 d d y x y 4 函数组的朗斯基行列式在区间 I 上不恒等于零 是它们在区 21 xxx n 间 I 上线性无关的 条件 5 的通解是 3 2 yyxy 二 单项选择题 每小题 3 分 本题共 15 分 6 方程的奇解是 y x y d d A B C D xy 1 y1 y0 y 7 方程过点共有 个解 2 1 d d y x y 1 2 A 一 B 无数 C 两 D 三 8 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 个 n A B 1 C 1 D 2nnnn 密 封 线 数计学院 系 级 班 姓名 学号 任课教师 审题人 精品文档 2欢迎下载 年 月 日 9 微分方程的通解 yyxx ln A B 21 lncxxcy 1ln 1 xxcy C D xxyln 21 1lncxxcy 10 如果 都在平面上连续 那么方程的任一解的存 yxf y yxf xoy d d yxf x y 在区间 A 必为 B 必为 0 C 必为 D 将因解而定 0 三 简答题 每小题 6 分 本题共 30 分 11 解方程 yy x y ln d d 12 解方程 x y x y x y 2 1 d d 密 封 线 精品文档 3欢迎下载 第 2 页 共 5 页 年 月 日 13 解方程 1 d d x y x y 14 解方程 2 e dd0 x xyxx y 15 解方程01 2 yyy 密 封 线 精品文档 4欢迎下载 第 3 页 共 5 页 年 月 日 四 计算题 每小题 10 分 本题共 20 分 16 求方程的通解 2 6535 x yyyex 17 求下列方程组的通解 yx t y yx t x 43 d d 2 d d 密 封 线 精品文档 5欢迎下载 第 4 页 共 5 页 年 月 日 五 综合能力与创新能力测试题 每小题 10 分 共 20 分 18 一质量为m的质点作直线运动 从速度等于零的时刻起 有一个和时间成正比 比例系数 为k1 的力作用在它上面 此质点又受到介质的阻力 这阻力和速度成正比 比例系数为k2 试求此质点的速度与时间的关系 19 设在上连续 且 求证 方程 xf 0 0 lim xf x d d xfy x y 的一切解 均有 xy0 lim xy x 密 封 线 精品文档 6欢迎下载 第 5 页 共 5 页 12 13 212 13 2 学期期末考试学期期末考试 常微分方程常微分方程 C C 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 制卷 赵志锟 审核 一 填空题 每小题 3 分 本题共 15 分 1 或 2 2 1 0 kky 2 1 0 2 kkx xx xe e 3 或不含x 轴的上半平面 0 2 yRyxD 4 充分 5 3 2CCxy 二 单项选择题 每小题 3 分 本题共 15 分 6 D 7 B 8 A 9 D 10 D 三 简答题 每小题 6 分 本题共 30 分 11 解 当 时 分离变量取不定积分 得0 y1 y 3 分 Cx yy y d ln d 通积分为 6 分 x Cyeln 12 解 令 则 代入原方程 得xuy x u xu x y d d d d 3 分 2 1 d d u x u x 分离变量 取不定积分 得 C x x u u ln d 1 d 2 0 C 通积分为 6 分 Cx x y lnarcsin 13 解 对应齐次方程的通解为 dyy dxx 2 分 Cxy 令非齐次方程的特解为 精品文档 7欢迎下载 3 分 xxCy 代入原方程 确定出 4 分 1 c x x 再求初等积分得 5 分 CxxC ln 因此原方程的通解为 6 分 Cxy xxln 14 解 积分因子为 3 分 2 1 2 2ln 2 1 x x eyx dx dx xxyx x xeee x 取 则原方程的通积分为 00 1 0 xy 5 分 1 01 2 dd eCyx x y yx x 即 6 分 1 eeC x y x 15 解 原方程为恰当导数方程 可改写为 1 y y 则 2 分 1 Cxyy 分离变量 取积分 4 分 21 d dCxCxyy 得原方程的通积分为 6 分 2 2 1 2 2 1 2 1 CCxy 四 计算题 每小题 10 分 本题共 20 分 16 解 对应的齐次方程为 我们有650yyy 通解为 2 分 2 12 650 1 5 5 12 xx yC eC e 又由迭加原理 分别求出二方程的特解 2 653 655 x x yyye yyye 精品文档 8欢迎下载 其中第一个为 1 3 4 x yAxeA 第二个为 5 分 2 2 1262 1 525 yAxBxC ABC 则 为原方程的一个特解 其通解为 2 12 31262 4525 x yyxexx 10 分 25 12 31262 4525 xxx yxexxC eC e 17 解 方程组的特征方程为 0 43 21 EA 即 1 分 023 2 特征根为 2 分 1 1 2 2 对应的解为1 1 3 分 t b a y x e 1 1 1 1 其中是对应的特征向量的分量 满足 11 b a1 1 4 分 0 0 143 211 1 1 b a 可解得 5 分 1 1 11 ba 同样可算出对应的特征向量分量为 8 分 2 2 3 2 12 ba 所以 原方程组的通解为 10 分 t t t t CC y x 2 2 21 e3 2e e e 五 综合能力与创新能力测试题 每小题 10 分 共 20 分 18 解 由物理知识得 1 分 F 为质点受到的合外力为质点的加速度 其中 合 合 a m F a 根据题意 2 分vktkF 21 合 故 0 221 kvktk dt dv m 精品文档 9欢迎下载 即 5 分 12 t m k v m k dt dv 式为一阶非齐线性方程 根据其求解公式有 22 1 cdtet m k eV dt m k dt m k 7 分 222 2 2 1 2 1 ce k mk et k k e t m k t m k t m k 又当t 0 时 V 0 故c 9 分 2 2 1 k mk 因此 此质点的速度与时间的关系为 10 分 22 1 2 2 1 2 k m t k k e k mk V t m k 19 证明 设是方程任一解 满足 该解的表达式为 xyy 00 yxy 4 分 0 0 0 0 e de e 0 xx x x xs xx ssf y xy 取极限 0 0 0 0 e de lim e lim lim 0 xx x x xs x xx xx