2010年数学建模C题输油管的布置

1 输油管的布置输油管的布置 摘要摘要 本文针对两家炼油厂的输油管线的布置 从经济效益出发 建立了管线建设费用 最省的数学模型 并设计出输油管布置方案 问题一中 根据两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形 考虑 了有无共用管线及管线费用是否相同的情形 利用分类组合的思想 提出了三个设计 方案 并综合运用费尔马点定理 数形结合 对称思想建立了管线费用模型 其中无 共用管线时 费用模型为 1 w 2 2 lbad 有共用管线 单位长度的管线建设费用相同时 满足条件 最优值点落 3 l ba 在郊区 存在费用最优值 模型为 2 w 2 3lba d 有共用管线且非共用管线单位长度费用不同时 费用最优模型为 22 4 22 bam l mn w 问题二属于带约束条件的最优化问题 通过运用概率统计中数学期望知识 确定 附加费用的取值 并利用函数的知识建立了管线费用的目标函数 借助数学软件 Matlab 编程 用拟牛顿法求出了目标函数的最优值 经比较得出 当有共用管线 时 费用最优值为 万元 1934 282 w 在上述模型分析的基础上 考虑到问题三中单位管线铺设费用的多样性 引入了 新变量 列出目标函数 用拟牛顿法求出最优值为 万元 4633 251 w 关键词关键词 目标函数 费用最优值 拟牛顿法 费尔马点 2 一 问题的重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂 给增建的一个车站运送成品油 此车 站增建在铁路线上 油田设计院考虑到种模式具有一定的普遍性 所以希望建立一般 数学模型与方法使管线建设费用最省 1 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形 合理设计方案 若在此方案下有共用管线 应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形 2 目前还需要对两炼油厂铺设管道的设计方案进行考虑 其中 A 厂位于郊区 图 中的 I 区域 B 厂位于城区 图中的 II 区域 虚线表示两个区域的分界线 图中 各字母表示的距离 单位 千米 分别为a 5 b 8 c 15 l 20 若所有管线的铺设费用均为每千米 7 2 万元 铺设在城区的管线还需增加拆迁和 工程补偿等附加费用 设计院聘请三家工程咨询公司 其中公司一具有甲级资质 公 司二和公司三具有乙级资质 对此项附加费进行了估算 估算结果如下表所示 要求设计出管线布置方案并求出相应的费用 3 根据炼油厂的生产能力 选用相适应的油管 可以进一步节省费用 这时的管线 铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5 6 万元 输送 B 厂成品油的每千米 6 0 万元 共用管线费用为每千米 7 2 万元 拆迁等附加费用同上 要求给出管线最佳布 置方案及相应的费用 二 模型的假设二 模型的假设 1 假设铁路为一条直线 铁路宽度忽略不计 2 假设每千米的共用管线铺设费用介于非共用管线费用的一倍和二倍之间 3 假设铺设的每段管线都是直线型 4 管道不考虑直径 管道交接点不考虑接口长度 5 只考虑铺设与附加费用 其他费用不考虑 6 假设两炼油厂和车站均可看为质点 BA C 工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用 万元 千米 212420 3 7 假设在铁路线上的任意位置均可建立车站 三 符号说明三 符号说明 炼油厂距铁路线的距离aA 炼油厂距铁路线的距离bB 铺设共用与非共用管线每千米相同时的费用d 两炼油厂间的距离到铁路线的投影l 附加费用 公司资质 权重 p 铺设管线的长度S 总铺设费用w 四 模型的分析四 模型的分析 该问题实际上是一个计算最小值的问题 此题本意为建立不同条件下铺设管线费 用时的函数 并求解模型 确定管线的布置位置及管线的铺设费用 问题一中可暂时将两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离作为常量处理 分别 针对有无共用管线及管线建设费用是否相同的情形 建立出管线建设费用关于管线交 接点坐标的函数关系式 求其最优解 再讨论两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距 离的关系 提出设计方案 进行分析讨论 同时为使费用最低 只需考虑有一条共用 管线的情况 问题二及问题三是针对较复杂的情形进行具体方案设计 问题二中炼油厂分BA 处郊区和城区 在城区建设管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用 所以我们根据 工程咨询公司的资质等级 分别赋予三家公司权重 0 6 0 2 0 2 进而确定附加费用 在直角坐标系中利用函数知识建立目标函数 借助软件 用拟牛顿法求最优值 进行 比较筛选 针对问题三中的情形 考虑到输送厂成品油与输送厂成品油每千米的费用不同 AB 设置多个未知变量 建立目标函数 利用 Matlab 软件计算出点的坐标 并求出MP 各段管线的长度与建设费用 五 模型的建立与求解五 模型的建立与求解 1 问题一 我们建立了以点为原点 铁路为 X 轴 垂直于铁路的直线为 Y 轴的CCDCDAC 坐标系 如图 1 所示 点 在坐标系中的坐标分别为 ABDC a 0 bl 0 l 0 0 方案一 无共用管线方案一 无共用管线 车站建立在铁路线上 则问题转化为在铁路线上找一点 使为最MMBMAM 小 利用对称的思想 作点关于直线的对称点 连接交于点 则点BL B B A LM 4 为所求的车站 此时 所以铺设管线的总长度为 MBMMB BAS 1 的最小值恰为 如图 1 所示 BMAM BAS 1 易得的直线方程为 B A ax l ba y 令得 0 y ba al x 因此车站建在处 0 ba al M 当 即点到铁路的距离较点近时 建立的车站靠近点 ba ABC 当 即点到铁路的距离和点到铁路的距离相等时 车站建在中ba ABDC 间 当 即点更靠近铁路时 建立的车站靠近点 ba BD 管线长 ba lbaa AM 2 2 ba lbab BM 2 2 设每千米铺设管线的费用为万元 千米 所以管线的铺设费用 dAM ba lbaa dw 2 2 管线的铺设费用 BM ba lbab dw 2 2 这样铺设管线的总长度为 2 2 1 lbaBAS 铺设总费用为 1 wd 1 S 2 2 lbad 5 aA 0 CO 0 ba al M blB 0 lD blB KmX轴 Km Y轴 图 1 无共用管线时输油管布置坐标系 方案二 有方案二 有共用管线共用管线 方案二又可具体分两种情形考虑 第一种情形 设铺设共用管线费用和非共用管线费用相同 均为万元 千米 d 此问题可转化为在梯形区域内 包括边界 找一点 使得到点 ABCDNNA 点及到边距离之和最小 我们连接点 构成三角形 当时BCDAMPAMPba 始终我们可以在上找到一点使得三角形是锐角三角形 我们现在找一点 CDMAMPN 使得点到点 的距离之和最小 如图 2 所示 NAMP 设点的纵坐标为 利用费尔马点的相关知识和几何知识 易得 Ny 解得 30tan QBA l ybya QBA tan 6 33lba y 点在直线上 N 6 33lba y L 则铺设管线的总长度 即为铺设管道的最小值 NMBNANS 2 作关于的对称点 坐标 BL B B byl 2 则 yBAyBNANS 2 当时 最小 yBAS 22 S yabylS 2 2 2 2 的直线方程为 将代入方程得B A a x y 3 y 6 2 3lba x 共用管线和非共用管线的结点的坐标N 6 33 2 3lbalba 因为在点可取到最优解 所以即N 0 6 33 lba 3 l ba 由原命题成立 逆否命题就成立可知 推出当 时 3 l ba 0 6 33 lba 即交接点在铁路线的另一侧 不能使管线建设费用最省 其中等于 0 时 即符合无N 共用管线的情况 车站点坐标为M 0 2 3lba 求得 3 l baAN 3 l abBN 6 33lba MN 总管线长 2 3 2 lba S 段铺设输油管线的费用 AN 3 l badw 段铺设输油管线的费用 BN 3 l abdw 段铺设输油管线的费用 MN 6 33lba dw 铺设费总用 2 wd 2 S 2 3lba d 易证得 证明如下 铺设费用 12 SS 12 ww 证明 令 0 2 3 2 2 1 2 lba lba S S t 0 0 0 lba 所以 2 2 2 2 2 4 332 lba llbaba t 令 2 tu 0 u 化简得 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 4 323 1 lba lba lba llbaba u 故 所以 10 u 12 SS 7 M N 轴X 轴Y b 2y B l CO blB aA 0 yb ya L Q 30 图 2 有共用管线时输油管布置坐标系 第二种情形 铺设共用管线费用为万元 千米 非共用管线费用为万元 千米 mn nmn2 依题可知 myabylnw 2 2 2 求导得 wm abyl bayn 22 2 2 2 令得 w0 ba mn lm y 22 22 42 1 在梯形中 因为 故舍去ABCDbay 2 242 1 22 22 ba ba mn lm y 代入原式得 22 4 22 bam l mn w 直线方程B A ax mn m y 22 4 将点的纵坐标代入得N m mlmnba x 2 4 22 8 车站建在 0 m mlmnba 2 4 22 各管线长度 2 22 22 2 22 42 1 2 4 a mn lm ba m mlmnba AN 2 22 22 2 22 42 1 2 4 b mn lm bal m mlmnba BN ba mn lm MN 22 22 42 1 管线费用ANANnw 管线费用BNBNnw 管线费用MNMNmw 2 问题二 根据工程咨询公司资质等级分别赋予权重 用表示 并设附加费用为万元 千p 米 具体如表 1 所示 表 1 三家工程咨询公司赋权及其附加费用 公司 项目 公司一公司二公司三 资质等级甲级乙级乙级 权重 p 60 20 20 附加费用 212420 期望 332211 pppE 21 4 万元 千米 方案一 车站方案一 车站建立在郊区无共用管线建立在郊区无共用管线M 设 P 点 根据题意 管线铺设费用的目标函数 h 15 80 h 0 xM 2 2 2 2 22 58 6 281552 7 hhxxw 解得 1497 6 x1958 7 h 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元0304 284 w Km Y轴 KmX轴 5 0A CO 0 xM hP 15 0 20D 8 20 B 图 3 车站建立在郊区无共用管线输油管布置坐标系M 方案二 建立在郊区有公共用管线方案二 建立在郊区有公共用管线 设 P 点 管线铺设费用的目标函数 h 15 80 h 0 xM yxN 2 2222 2 58 8 281552 7 hyyhxyxw 解得 4513 5 x3656 7 h8527 1 y 9 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元 1934 282 w 5 0A CO 0 20D KmX轴 Km Y轴 yxN 8 20B hP 15 图 4 车站建立在郊区有共用管线输油管布置坐标系M 方案三 建立在城区无共用管线方案三 建立在城区无共用管线 设 管线铺设费用的目标函数 hP 15 0 xM 2 22 2 2 2 208 6 2815 6 281552 7xhxhw 解得 15 x0 h 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元 6539 383 w 5 0A CO 0 xM KmX轴 0 20D Km Y轴 8 20B hP 15 图 5 车站建立在城区无共用管线输油管布置坐标系M 10 方案四 建立在城区有共用管线方案四 建立在城区有共用管线 设 hP 15 yxN 管线铺设费用的目标函数 yyxhyxyw 2222 2 2 82015 6 281552 7 解得 0000 15 x5741 0 h5741 0 y 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元0587 385 w 综上 将四种方案铺设费用进行比较 方案二的费用最少 所以选择方案二 铺设费用更省 点 8527 1 4513 5 N 3656 7 15P 管线的具体布置方案如下 管线长度千米2946 6 AN 管线千米 026 11 PN 管线千米8527 1 NM 管线千米0401 5 BP 铺设管线费用万元 AN3211 45 w 铺设管线费用万元 PN3872 79 w 铺设管线费用万元 MN3394 13 w 铺设管线费用万元 BP1464 144 w yxN CO 0 xM KmX轴 0 20D Km Y轴 8 20B hP 15 5 0A 图 6 车站建立在城区有共用管线输油管布置坐标系M 3 问题 3 求解 方案一 在郊区无共用管线方案一 在郊区无共用管线 11 设 P 点 管线铺设费用的目标函数 h 15 80 h 0 xM 258 4 27156256 5 2 2 2 2 hhxxw 解得 求解过程见附录五 7545 6 x2683 7 h 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元 4808 252 w 因此 P 点坐标为 2736 7 15 所以最终万元 4808 252 w 方案二 在郊区有共用管线方案二 在郊区有共用管线 设 P 点 管线铺设费用的目标函数 h 15 80 h 0 xM yxN yhyhxyxw2 7258 4 2715656 5 2222 2 解得 求解过程见附录六 7358 6 x1375 0 y2768 7 h 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元 4633 251 w 方案三 在城区无共用管线方案三 在城区无共用管线 设 管线铺设费用的目标函数 hP 15 0 xM 6420 4 2715271556 5 2 2 2 2 2 xhxhw 求得 求解见附录七 15 x0 h 用 Matlab 软件编程采用拟牛顿法求解 管线铺设费用最优值为 万元 0349 347 w 方案四方案四 在城区有共用管线在城区有共用管线 据题意 2222 2 2 1527820 4 27 6 281556 5yhxyxyhw 求得 求解见附录八 15 x0 h0 y 求得总费用万元0349 347 w 综上方案 方案二计算出的费用最少 所以选择方案二 铺设费用更省 求得未知点坐标 1375 0 7358 6 N 0 7358 6 M 2768 7 15 P 管线的具体布置方案如下 千米 千米 千米 千米 3075 8 AN9209 10 PN1375 0 MN0520 5 PB 铺设管线铺设管线万元 AN5220 46 w 铺设管线费用万元 PN5254 65 w 铺设管线费用万元 MN9900 0 w 铺设管线费用万元 BP4248 138 w 六 模型的评价与推广六 模型的评价与推广 评价 该模型对炼油厂和车站的位置及管线的铺设问题进行了分析 且假设合理 方法简单 易于操作 运用表格和图形 使其形象 直观便于观察 理解 分类清楚 一目了然 建立适当的模型 设计出了管线的具体铺设方案 这样可以减少了管线的 铺设费用 但是由于所给材料和所学知识有限 无法对所得答案进行检验 不考虑直 12 径 管道交接点 不考虑接口长度 把铁路看作一条直线 在实际中无法实现 推广 该模型不仅可以运用输油管道布置问题 而且还可以运用到货物运输路线布 置和天然气管道布置等类似问题的解决 参考文献参考文献 1 胡良剑 孙晓君 MATLAB 数学实验 北京 高等教育出版社 2006 2 吴赣昌 高等数学 理工类 高职高专版 第二版 北京 中国人民大学出版社 2009 3 费浦生 羿旭明 数学建模及其基础知识详解 武汉 武汉大学出版社 2006 4 林建良 关于费尔马点的几点注解 广州 华南理工大学学报 自然科学版 01 期 2004 13 附录附录 附录一 f Inline function f x 7 2 sqrt x 1 2 25 sqrt 15 x 1 2 x 2 2 28 6 sqrt 8 x 2 2 25 x0 67 x 6 1497 7 1958 z 284 0304 附录二 f Inline function f x 7 2 sqrt x 1 2 x 2 5 2 sqrt 15 x 1 2 x 3 x 2 2 x 2 28 6 sqrt 25 8 x 3 2 x0 6 5 7 x 5 4513 1 8527 7 3656 z 282 1934 附录三 function f ch10 2fun x f 7 2 sqrt 5 x 1 2 225 28 6 sqrt 15 x 2 2 x 1 2 28 6 sqrt 64 x 2 20 2 function c ceq confun x c x 1 5 x 2 15 x 2 20 x 1 x 2 ceq x fval fmincon ch10 2fun 2 17 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 5 15 20 0 0 x 0 15 fval 383 6539 附录四 function f ch10 2fun x f 7 2 sqrt 225 5 x 1 2 28 6 sqrt x 2 15 2 x 3 x 1 2 sqrt x 2 20 2 x 3 8 2 x 3 c x 1 5 x 2 15 x 2 20 x 1 x 2 ceq x fval fmincon ch10 2fun 2 17 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 5 15 20 0 0 x 0 5741 15 0000 0 5741 fval 385 0587 附录五 f inline 5 6