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抽象函数的周期问题抽象函数的周期问题 思考一 思考一 设是定义在上的偶函数 其图象关于直线对称 证明是周期函数 且是f x Rxa a 0f x 2a 它的一个周期 证明 证明 关于直线对称 f x xa f xfaxxR 2 又由是偶函数知 f x fxf xxR fxfaxxR 2 将上式中以代换 得 是上的周期函数 且是它的一个周 xxf xfaxxR 2 f x R2a 期 思考二 思考二 设是定义在上的函数 其图象关于直线和对称 证明是周期函数 且f x Rxa xb ab f x 是它的一个周期 2 ba 证明 证明 关于直线对称 f x xaxb 和 f xfaxxR f xfbxxR faxfbxxR 2 2 22 将上式的以代换得 xx faxfbxxR 22 f xbafxabfxaaf xxR 22222 是上的周期函数 且是它的一个周期 f x R2 ba 若把这道高考题中的 偶函数 换成 奇函数 还是不是周期函数 经过探索 我们得到f x 思考三 思考三 设是定义在上的奇函数 其图象关于直线对称 证明是周期函数 且 4 是它的一个f x Rx 1f x 周期 证明 证明 关于对称 f x x 1 f xfxxR 2 又由是奇函数知 f x fxf xxR fxfxxR 2 将上式的以代换 得 xx fxf xxR f xfx f x f x f xxR 2 422 2 是上的周期函数 且 4 是它的一个周期 f x R 是奇函数的实质是的图象关于原点 0 0 中心对称 又的图象关于直线对称 可得f x f x f x x 1 是周期函数 且 4 是它的一个周期 由此进行一般化推广 我们得到f x 思考四 思考四 设是定义在上的函数 其图象关于点中心对称 且其图象关于直线对f x RM a 0 xb ba 称 证明是周期函数 且是它的一个周期 f x 4 ba 证明 证明 关于点对称 f x M a 0 faxf xxR 2 关于直线对称 f x xb f xfbxxR fbxfaxxR 2 22 将上式中的以代换 得 xx fbxfaxxR f xba fbxba faxba fbxa faxa f xxR 22 4 224 224 22 22 是上的周期函数 f x R 且是它的一个周期4 ba 由上我们发现 定义在上的函数 其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴 则是Rf x f x 上的周期函数 进一步我们想到 定义在上的函数 其图象如果有两个对称中心 那么是否为周期RRf x f x 函数呢 经过探索 我们得到 思考五 思考五 设是定义在上的函数 其图象关于点和对称 证明是周期函f x RM a 0N bab 0 f x 数 且是它的一个周期 2 ba 证明 证明 关于对称 f x M aN b 00 faxf xxR fbxf xxR faxfbxxR 2 2 22 将上式中的以代换 得
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