《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.2.1(二)

2 2 1 综合法和分析法综合法和分析法 二二 一 基础过关 1 已知 a 0 b 0 且 a b 2 则 A a B ab 1 2 1 2 C a2 b2 2 D a2 b2 3 2 已知 a b c d 正实数 且 则 a b c d A B a b a c b d c d a c b d a b c d C D 以上均可能 a b c d a c b d 3 下面四个不等式 a2 b2 c2 ab bc ac a 1 a 1 4 2 b a a b a2 b2 c2 d2 ac bd 2 其中恒成立的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 若实数 a b 满足 0 ab 1 P Q lg a lg b R lg 则 lg a lg b 1 2 a b 2 A R P Q B P Q R C Q P R D P R0 5 2 2 以其 22 中的两个论断为条件 另一个论断为结论 你认为正确的命题是 10 如果 a b 都是正数 且 a b 求证 a b b aab 11 已知 a 0 求证 a 2 a2 1 a22 1 a 12 已知 a b c R 且 a b c 1 求证 1 1 1 8 1 a 1 b 1 c 13 已知函数 f x x2 aln x x 0 对任意两个不相等的正数 x1 x2 证明 当 a 0 时 2 x f f x1 f x2 2 x1 x2 2 三 探究与拓展 14 已知 a b c d R 求证 ac bd 你能用几种方法证明 a2 b2 c2 d2 答案答案 1 C 2 A 3 C 4 C 5 a b c 6 EF SC AE 平面 SBC AE SB AB BC 7 C 8 B 9 10 证明 方法一 用综合法 a b b aab a a b b a b b a ab a b a b ab 0 a b 2 a b ab a b b aab 方法二 用分析法 要证 a b b aab 只要证 2 a b 2 a2 b b2 aabab 即要证 a3 b3 a2b ab2 只需证 a b a2 ab b2 ab a b 即需证 a2 ab b2 ab 只需证 a b 2 0 因为 a b 所以 a b 2 0 恒成立 所以 成立 a b b aab 11 证明 要证 a 2 a2 1 a22 1 a 只要证 2 a a2 1 a2 1 a2 a 0 故只要证 2 2 a2 1 a2 2 a 1 a 2 即 a2 4 4 a2 2 2 2 1 a2 a2 1 a2 1 a22 a 1 a 从而只要证 2 a2 1 a22 a 1 a 只要证 4 2 a2 1 a2 a2 2 1 a2 即 a2 2 而该不等式显然成立 故原不等式成立 1 a2 12 证明 方法一 分析法 要证 1 1 1 8 成立 1 a 1 b 1 c 只需证 8 成立 1 a a 1 b b 1 c c 因为 a b c 1 所以只需证 8 成立 a b c a a a b c b b a b c c c 即证 8 成立 b c a a c b a b c 而 8 成立 b c a a c b a b c 2 bc a 2 ac b 2 ab c 1 1 1 8 成立 1 a 1 b 1 c 方法二 综合法 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 1 1 a b c a a b c b a b c c b c a a c b a b c b c a c a b abc 8 2 bc 2 ac 2 ab abc 当且仅当 a b c 时取等号 所以原不等式成立 13 证明 由 f x x2 aln x 2 x 得 x x ln x1 ln x2 f x1 f x2 2 1 2 2 12 2 1 x1 1 x2 a 2 x x aln 1 2 2 12 2 x1 x2 x1x2x1x2 f 2 aln x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2且都为正数 有 x x x x 2x1x2 2 1 2 2 12 2 1 42 12 2 x1 x2 2 又 x1 x2 2 x x 2x1x2 4x1x2 2 12 2 x1 x2 x1x2 4 x1 x2 lnaln x1x2 x1 x2 2 由 得 f f x1 f x2 2 x1 x2 2 14 证明 方法一 用分析法 当 ac bd 0 时 显然成立 当 ac bd 0 时 欲证原不等式成立 只需证 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 即证 a2c2 2abcd b2d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 即证 2abcd b2c2 a2d2 即证 0 bc ad 2 因为 a b c d R 所以上式恒成立 故原不等式成立 综合 知 命题得证 方法二 用综合法 a2 b2 c2 d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 2acbd b2d2 b2c2 2bcad a2d2 ac bd 2 bc ad 2 ac bd 2 ac bd ac bd a2 b2 c2 d2 方法三 用比较法 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 bc ad 2 0 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 ac bd ac bd a2 b2 c2 d2 方法四 用放缩法 为了避免讨论 由 ac bd ac bd 可以试证 ac bd 2